学习必备欢迎下载第五章实际问题与二元一次方程组经典例题知识要点梳理列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差开始时两者相距的路程；(2)相遇问题 :相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和总路程。(3)航行问题：船在静水中的速度水速船的顺水速度；船在静水中的速度水速船的逆水速度；顺水速度逆水速度2水速。注意： 飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。2工程问题：工作效率工作时间=工作量 . 3商品销售利润问题：(1)利润售价成本(进价 )；(2)；(3)利润成本（进价）利润率；(4) 标价成本 (进价 )(1利润率 )；(5)实际售价标价打折率；打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4储蓄问题：利息本金利率期数本息和本金利息本金本金利率期数本金(1利率期数) 利息税利息利息税率本金利率期数利息税率。税后利息利息(1利息税率 ) 。5配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。6增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量(1增长率 )增长后的量；原量 (1减少率 )减少后的量 . 7和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量较小量多余量，总量倍数倍量. 8数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n 为整数时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载奇数可表示为2n+1(或 2n-1)，偶数可表示为2n 等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数 =十位数字10+个位数字9优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。类型一：列二元一次方程组解决 行程问题1甲、乙两地相距160 千米， 一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 小时 20 分相遇 . 相遇后， 拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机 . 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？举一反三：【变式 1】甲、乙两人相距36 千米，相向而行，如果甲比乙先走2 小时，那么他们在乙出发2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走2 小时，那么他们在甲出发3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？类型二：列二元一次方程组解决 工程问题2一家商店要进行装修，若请甲、 乙两个装修组同时施工，8 天可以完成， 需付两组费用共3520 元；若先请甲组单独做6 天，再请乙组单独做12 天可完成，需付两组费用共3480 元，问： (1) 甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2) 已知甲组单独做需12 天完成，乙组单独做需24 天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？举一反三：【变式 3】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6 周完成需工钱5.2 万元；若甲公司单独做4 周后，剩下的由乙公司来做，还需9 周完成，需工钱4.8 万元 . 若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载类型三：列二元一次方程组解决 商品销售利润问题3有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46 元。价格调整后，甲商品的利润率为4% ，乙商品的利润率为5% ，共可获利44 元，则两件商品的进价分别是多少元？举一反三：【变式 4】某商场用36 万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6 万元，其进价和售价如下表：A B 进价（元 /件）1200 1000 售价（元 /件）1380 1200 （注：获利 = 售价 进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；类型五：列二元一次方程组解决生产中的配套问题5某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 米的某种布料可做上衣的衣身3 个或衣袖5 只 . 现计划用 132 米这种布料生产这批秋装( 不考虑布料的损耗)， 应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？举一反三：【变式 7】现有 190 张铁皮做盒子，每张铁皮做8 个盒身或22 个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？类型七：列二元一次方程组解决 和差倍分问题7. （20XX年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载千顶，现某地震灾区急需帐篷14 千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6 倍、 1.5 倍，恰好按时完成了这项任务求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？举一反三：【变式 11】 (20XX 年北京门头沟区中考一模试题) “地球一小时”是世界自然基金会在20XX年提出的一项倡议号召个人、社区、企业和政府在每年3 月最后一个星期六20 时 30 分 21 时 30 分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活中国内地去年和今年共有119 个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3 倍少 13 个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动类型八：列二元一次方程组解决 数字问题8. 一个两位数，减去它的各位数字之和的3 倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是 5，余数是1，这个两位数是多少？举一反三：【变式 12】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？类型十：列二元一次方程组解决 几何问题10用长 48 厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3 厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？举一反三：【变式 16】一块矩形草坪的长比宽的2 倍多 10m ，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载类型十一：列二元一次方程组解决 年龄问题11今年父亲的年龄是儿子的5 倍， 6 年后父亲的年龄是儿子的3 倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？举一反三：【变式 17】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一. 小李发现， 12 年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一 . 试求出今年小李的年龄. 类型十二：列二元一次方程组解决优化方案问题：12某商场计划拨款9 万元从厂家购进50 台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500 元，乙种每台2100 元，丙种每台2500 元。(1) 若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50 台，用去9 万元，请你研究一下商场的进货方案；(2) 若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150 元、 200 元、 250 元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？举一反三：【变式 18】某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000 元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500 元 . 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16 吨；如果进行细加工，每天可加工 6 吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15 天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载规律方法指导1学习列二元一次方程解应用题，通过深入挖掘隐含的条件，渗透解题的简捷性的数学美以及准确的设元，发挥解题的创造性的数学美2实际问题主要包括： （1）行程问题： （ 2）工程问题 ;（3）销售中的盈亏问题; （4）储蓄问题 ;（ 5）产品配套问题;（6）增长率问题;（ 7）和差倍分问题; （8）数字问题 ; （9）浓度问题 ; （ 10）几何问题 ; （11）年龄问题 ; （12）优化方案问题. 3注意问题：a:（1）行程问题中注意单位的变换及时间的早晚问题；（ 2）工程问题注意总的工程量是由几部分组成的；（3）利润问题中注意利润和利息的算法；（4）零件配套问题对零件的配套关系容易弄混。b:（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去。（2） “设” “答”两步，都要写清单位名称。（3）一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页