学习必备欢迎下载年级初三学科数学版本华东师大版内容标题中考第一轮复习方程（组）与不等式（组）编稿老师史继生【本讲教育信息 】一. 教学内容：中考第一轮复习方程（组）与不等式（组）二. 重点、难点扫描：1. 一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程的定义、方程的解的概念；2. 一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程的解法；3. 一元一次方程、二元一次方程（组）、一元二次方程的简单应用；4. 可化为一元一次方程的分式方程及简单应用；5. 不等式的性质；6. 一元一次不等式（组）的概念；一元一次不等式（组）的解集的概念；7. 一元一次不等式（组）的解法与应用。三. 知识梳理：（一）一元一次方程1. 会对方程进行适当的变形解一元一次方程解方程的基本思想就是转化，即对方程进行变形，变形时要注意两点，一是方程两边不能乘（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程的解可能不同；二是去分母时，不要漏乘没有分母的项，一元一次方程是学习二元一次方程组、一元二次方程、 一元一次不等式及函数问题的基本内容。2. 正确理解方程的解的定义，并能应用等式性质巧解考题方程的解应理解为，把它代入原方程是适合的，其方法就是把方程的解代入原方程，使问题得到了转化。3. 正确列一元一次方程解应用题列方程解应用题，关键是寻找题中的等量关系，可采用图示、列表等方法，根据近几年的考试题目分析，要多关注社会热点，密切联系实际，多收集和处理信息，解应用题时还要注意检查结果是否符合实际意义。4. 可化为一元一次方程的分式方程的应用会根据具体情景列出分式方程，并会求解，注意验根这一步不可少。（二）一元二次方程1. 灵活运用四种解法解一元二次方程一元二次方程的一般形式：ax2bxc0（ a0）四种解法：直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法。公式法： x42aca2-bb（b24ac0）注意：掌握一元二次方程求根公式的推导；主要数学方法有：配方法，换元法，“消元”与“降次”。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载2. 一元二次方程的应用解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程。?最后还要注意求出的未知数的值，是否符合实际意义。（三）二元一次方程（组）1. 二元一次方程（组）及解的应用注意：方程（组）的解适合于方程，任何一个二元一次方程都有无数个解，有时考查其整数解的情况，还经常应用方程组的概念巧求代数式的值。2. 解二元一次方程组解方程组的基本思想是消元，常用方法是代入消元和加减消元，转化思想和整体思想也是本章考查重点。3. 二元一次方程组的应用列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系，题目内容往往与生活实际相贴近，与社会关系的热点问题相联系，请平时注意搜集、观察与分析。（四）一元一次不等式（组）1. 判断不等式是否成立判断不等式是否成立，关键是分析判定不等号的变化，变化的依据是不等式的性质，特别注意的是，不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，要改变不等号方向；反之，若不等式的不等号方向发生改变，则说明不等式两边同乘以（或除以）一个负数。因此，在判断不等式成立与否或由不等式变形求某些字母的范围时，要认真观察不等式的形式与不等号方向。2. 解一元一次不等式（组）解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤大致相同，应注意的是： 不等式两边所乘以（或除以） 的数的正负， 并根据不同情况灵活运用其性质。不等式组解集的确定方法：若 ab，则有：（1）xaxb； （2）xaxb； （3）xaxb； （4）xaxb。说明：一元一次不等式（组）常与分式、根式、一元二次方程、函数等知识相联系，解决综合性问题。3. 求不等式（组）的特殊解不等式（组）的解往往是有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解、非负整数解，要求这些特殊解，首先是确定不等式（组）的解集，然后再找到相应的答案。在这类题目中，要注意对数形结合思想的应用。4. 确定不等式（组）中字母的取值范围已知不等式（组）的解集，确定不等式（组）中字母的取值范围，有以下几种方法：逆用不等式（组）解集；分类讨论确定；从反面求解确定；借助数轴确定。5. 列不等式（组）解应用题从题意出发，设好未知数之后，用心体察题目的实际情境，分析题目中的不等关系，还要结合实际情况检验不等式（组）的解，考查的热点是与实际生活密切相联的不等式（组）应用题。注意渗透函数思想，解决一些实际问题。注意弄清楚“超过” 、 “不超过”“至少”、 “最多”、 “不大于”、 “不少于”等术语与不等号“”、 “、“” 、 “”之间的关系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载【典型例题】例 1. 若关于x的一元一次方程23132xkxk的解是1x，则k的值是（）A. 27B. 1 C. 1311D. 0 解析： 根据方程的解的意义，将1x代入原方程，得到一个关于k的一元一次方程，解之，从而求得k的值为 1，故选 B。例 2. 请你编制一个有.2, 1yx这个解且未知数系数不是1 的二元一次方程_。解析： 这是一道条件开放题型，将1 和 2 先写成一个等式，再根据等式性质，在方程两边分别乘除或加减一些数，一步一步地变形，即可找到满足条件的二元一次方程。如：2x3y 4。例 3. 已知方程组2,231yxmyxm的解 x、y 满足 2xy0，则 m 的取值范围是（）A. m43B. m43C. m1 D. 43m1 解析： 此题是通过解关于x、y的二元一次方程组，分别用含m的代数式表示x、y，再将其代入不等式，得到关于m的一元一次不等式，解这不等式从而得到的取值范围。本题选 A。例 4. 解不等式组)6(3)4(4,5351xxxx解析：解方程组或不等式组是历年中考题中的常考题型，解方程组主要是转化思想的运用，解不等式组主要是数形结合思想的运用。本题答案是1x2。例 5. 在实数范围内定义一种运算“*” ，其规则为a*ba2 b2，根据这个规则，方程（x2）*50 的解为 _。解析： 与一元二次方程有关的内容的考题，近些年来在实验区中考中有所减少。基本不见了根的判别式以及根与系数的关系的题型，本题是通过定义新运算综合了一元二次方程的解法。通过因式分解法或者直接开平方法可得解为：1x3，2x 7。例 6. 解分式方程：xxx31321。解析： 解分式方程的关键是转化思想的运用，即化分式方程为整式方程，另外，检验是解分式方程必不可少的一步，解法如下：xxx31321 2x1x 3，2x 4 x2 检验：把 x2 代入原方程得：左边1右边精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载x2 是原方程的根。例 7. 某城市 20XX 年底已有绿化面积300 公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到20XX 年底增加到363 公顷。设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（）A. 300（1x） 363 B. 300（1x）2363 C. 300（1 2x） 363 D. 300（1x）2363 解析：解一元二次方程在中考中一般不出现，但考查用解一元二次方程的思想方法解决实际问题的却很多。此题就是如此， 增长率问题以及商品的定价问题是常考题型。此题选 B。例 8. 近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨。请你根据下面的信息，帮小明计算今年5 月份汽油的价格。解析：列可化为一元二次方程的分式方程解情景应用问题也是中考常考题目。解题关键是根据情景或对话内容，正确地列出代表题意的分式方程，并注意解题过程中的检验，不可忽略。本题若设今年5 月份汽油价格为x 元升，则去年5 月份的汽油价格为（x1.8）元升。 根据题意， 得15015018.751.8xx。整理， 得 x2l.8x 14.4 0，解这个方程，得 x14.8，x2 3。经检验两根都为原方程的根，但x2 3 不符合实际意义，故舍去。答： 今年 5 月份的汽油价格为4.8 元升。例 9. 将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5 个苹果， 则还剩 12 个苹果； 若每位小朋友分8 个苹果， 则有一个小朋友分不到8 个苹果。 求这一箱苹果的个数与小朋友的人数。解析： 设有x个小朋友，y个苹果。根据“每位小朋友分5 个苹果，则还剩12 个苹果”易知，512yx；由“每位小朋友分 8 个苹果，则有一个小朋友分不到8 个苹果”可知，81818xyx。故由题意，得51281818yxxyx把代入，并转化成不等式组，得81512512818xxxx解这个不等式组，得2043x。 x为正整数x5 或 6。当x5 时，51237x人；当x6 时，51242x人。答： 当小朋友有5 人时，这一箱苹果有37 个；小朋友有6 人时，这一箱苹果有42 个。例 10. 为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动， 星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序。若每一个路口安精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载排 4 人，那么还剩下78 人；若每个路口安排8 人，那么最后一个路口不足8 人，但不少于4 人。求这个中学共选派值勤学生多少人？共到多少个交通路口安排值勤？解析： 设这个学校选派值勤学生x人，共到y个交通路口值勤。根据条件“每一个路口安排4 人，那么还剩下78 人”可知478xy；再由“若每个路口安排8 人，那么最后一个路口不足8 人，但不少于4 人”易知48(1)8xy。故由题意，得47848(1)8xyxy将代入，得8) 1(84784yy，解得， 19.55 .20y，根据实际意义y应为整数，所以y20，此时x158。答： 学校派出的是158 名学生，分到了20 个交通路口安排值勤。例 11. 根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？根据对话的内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少元？解析： 设一盒饼干的标价为x 元，一袋牛奶的标价为y 元。根据“小朋友， 本来你用10 元钱买一盒饼干是够的，但要再买一袋牛奶就不够了！”这句话知10x且10xy；再由“今天是儿童节，我给你买的饼干打9 折，两样东西请拿好！还有找你的8 角钱。 ” 这句话可知，0.9100.8xy。故由题意，得108 .0109.010xyxyx由得9.20.9yx，把代入，得9.20.910xx解得，8x，再由得8x10。 一盒饼干的标价是整数元，x9。将9x代入，得9.20.991.1y。答： 一盒饼干的标价为9 元，一袋牛奶的标价为1.1 元。【模拟试题】（答题时间： 50 分钟）一、选择题（每小题3 分 共 30 分）1、已知2x是方程042mx的一个根，则m的值为【】A. 8 B. 8C. 0 D. 2 2、不等式523x1的最大的整数解为【】A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载3、二元一次方程组522yxyx的解是【】A. 61yxB. 23yxC. 23yxD. 41yx4、关于x的方程)3(4)2(3xkxxk的解是负数，则k的取值范围是【】A. 53kB. 53kC. 53kD. 53k5、已知 3 是关于x的方程012342ax的一个根，则a2的值是【】A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 6、如果a、b、c是一个直角三角形的三边（c是斜边），那么关于x的方程0)(2)(2acbxxca的解的情况是【】A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 以上情况都有可能7、 已知x、y是方程组3313yxkyx的解，那么当4k2时，yx值的范围是 【】A. 21yx0B. 2yx1C. 1yx1D. 1yx08、如果m、n、是关于方程0200820072xx的两个不相等的根，那么nm的值是【】A. 2005 B. 2006 C. 2007 D. 2008 9、分式方程0211)11(2xx的解为【】A. 1，2 B. 1，2C. 0，3 D. 0，2310、已知实数x、y满足2) 1)(2222yxyx，那么22yx的值是【】A. 2 B. 1C. 2 或1D. 2或 1 二、填空题（每小题2 分 共 20 分）1、a与b的和比1大，用不等式表示为_。2、如果12yx是方程组03aybxbyax的解，则baba的值为 _。3、如果关于x的不等式组1m2x1mx无解，那么m的取值范围是_。4、如果解方程032mxx有一个根为2，则另一个根为_，m_。5、如果设yx12，那么方程012)1(222xx可以转化为关于y的一元二次方程是 _。6、当x的取值在 _条件下，代数式3312xx的值总是比代数式32x的值大。7、如果方程01)1(2)2(22xkxk有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载8、如果关于x的方程xkx1645的解在2 和 10 之间，那么k可以取的整数为_。9、已知不等式15)1x(3x 5的最小整数解，同时也是方程35)(3axxa的解，那么a的值是 _。三、解答题（共24 分）1、 （8 分）解下列方程（组）与不等式（组）的解：xxx32)2(233121；12113yxyx；0762xx；x410x915x46x5。2、 （16 分）解答下列各题：已知01)52(2baba，求以a、b为根的一元二次方程。已知3x是方程1210xkx的一个根，求k的值和方程其余的根。已知在关于x的一元一次方程2632bkxakx中，不论k取任何值，它的解总是1x，求a、b的值。k取怎样的最小整数时，能使方程组4332kyxykx的解满足0y0x？四、应用题（共26 分）1、 （6 分）改革开放使得山乡发生了巨大变化。某村富裕起来的农民自发组织到外地参加文化旅游活动， 于是包租一辆租价为180 元的面包车。 在临近出发时又有两位要求参加，因此每个人分摊的车费比原来少1元。问该村共有多少人参加这次活动？2、 （6 分）由于技术革新，我国铁路多次进行了比较大的提速。某铁路局的K120 次空调快速列车的平均速度，在一次提速后比提速前的速度增加了44 千米时，提速前的列车时刻表如下表所示：行驶区间车次起始时刻到站时刻历时全程里程A 地B 地K120 2：00 6：00 4 小时264 千米请你根据题目提供的信息填写提速后的列车时刻表，并写出计算过程。行驶区间车次起始时刻到站时刻历时全程里程A 地B 地K120 2：00 264 千米3、 （7 分）某校九年级（1）班的学生不久就要毕业了，班委商量利用原来勤工俭学节余的 66 元钱为同学们购买纪念品。根据学生在毕业联欢会上的表现分出A、B、C 三种纪念品，其单价分别为3 元、 2 元、 1 元。要求购买的B 种纪念品比A 种多 2 件，而购买的A种纪念品不少于10 件，并且购买的A 种纪念品费用不超过总费用的一半。如果班委派你去购买并且把钱正好用完，你有几种购买方案？每种方案A、 B、 C 三种纪念品各购买多少件？4、 （7 分）某市某区为改善居民的住房条件，每年都新建一批住房，人均住房面积逐年增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载加（该区人口 总数该区住房 总面积人均住房面积，单位：人/2m） ，该区 20XX 年到 20XX 年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果分别如图所示。请根据图中所提供的信息，解答下列问题：该区 20XX 年和 20XX 年两年中， 哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少万2m？由于经济发展需要，预计到20XX 年底，该区人口将比20XX 年底增加2 万，为使20XX 年底该区人均住房面积达到211m/人，试求20XX 年和 20XX 年这两年该区人均住房面积的年平均增长率应达到百分之几？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载【试题答案】一、选择题：1、A 2、B 3、D 4、A 5、C 6、B 7、D 8、C 9、D 10、A 二、填空题：1、1ba2、313、2m4、1，2m5、0322yy6、21x7、23k且2k8、2，3 9、21三、解答题：1、2x，32yx，232,1x，1x62、由题意，得01052baba，解得21ba，以a、b为根的一元二次方程为0232xx解：把3x代入得3k，另一根为2x。解：方程的解总是1x，令0k及1x代入得2613a，即213a；再取1k及1x、213a代入得26132132b，4b。213a，4b。解方程组得6832kkx，6942kky，由0y0x，09k408k3，49k38，k2。四、应用题：1、解：设该村共有x人参加这次活动，根据题意，得11802180xx，解得201x，182x，经检验都是所列方程的根，但182x不符合题意，舍去。答：该村共有20人参加这次活动。2、解：表中到站时刻填4 24（注意： 0.4 小时化成24 分） ，历时 2.4 小时。设列车提速后行驶时间为x小时。根据题意，得264)444264(x，4 .2x，经检验，4.2x符合精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载题意。答：到站时刻为4：24，历时 2.4 小时。3、有两种购买方案。解：设A、B、C 三种纪念品各购买x、y、z件，根据题意，得26623xyzyx，2562xyxz。10x且2663x，1110x。x为整数，10x或11x。当10x时，122xy，12562xz；当11x时，132xy，7562xz。 A、 B、C 三种纪念品各购买件数分别为10、12、 12或 11、13、7。4 、 解 ： 住 房 面 积20XX年 增 加6.01)96 .9(（ 万2m） ； 20XX年 增 加8.02)6 .910(（万2m） 。20XX 年比上一年增加的住房面积多，多2. 06. 08.0（万2m） 。设 20XX 年和 20XX 年这两年该区人均住房面积的年平均增长率为x，根据题意， 得)220(11)1 (20102x，解得，%101 .01x，1. 22x（不符合题意，舍去） ，答： 20XX 年和 20XX 年这两年该区人均住房面积的年平均增长率为10%。精选学习资料 - 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