第一讲函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。2、函数的性质，奇偶性、有界性奇函数：)()(xfxf，图像关于原点对称。偶函数：)()(xfxf，图像关于y 轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设 ，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则（1）若0lim，则是比高阶的无穷小量。（2）若clim（不为 0） ，则与是同阶无穷小量特别地，若1lim，则与是等价无穷小量（3）若lim，则与是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于0 的速度快，谁就趋向于0 的本领高。4、两个重要极限（1）100xxxxxxsinlimsinlim使用方法：拼凑000sinlimsinlim，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致（2）exxxxxx10111)(limlime101)(lim使用方法1 后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。5、mnmnmnbaXQxPmnx,lim000xPn的最高次幂是n,xQm的最高次幂是m.,只比较最高次幂， 谁的次幂高， 谁的头大， 趋向于无穷大的速度快。mn,以相同的比例趋向于无穷大；mn，分母以更快的速度趋向于无穷大；mn，分子以更快的速度趋向于无穷大。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页7、左右极限左极限：Axfxx)(lim0右极限：Axfxx)(lim0AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000充分必要条件是注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。8、连续、间断连续的定义：0)()(limlim0000xfxxfyxx或)()(lim00xfxfxx间断：使得连续定义)()(lim00xfxfxx无法成立的三种情况)()(lim)(lim)()(00000xfxfxfxfxfxxxx不存在无意义不存在，记忆方法： 1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等9、间断点类型（1） 、第二类间断点：)(lim0xfxx、)(lim0xfxx至少有一个不存在（2） 、第一类间断点：)(lim0xfxx、)(lim0xfxx都存在)(lim)(lim)(lim)(lim0000xfxfxfxfxxxxxxxx跳跃间断点：可去间断点：注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质（1）最值定理：如果)(xf在ba,上连续，则)(xf在ba,上必有最大值最小值。（2）零点定理：如果)(xf在ba,上连续，且0)()(bfaf，则)(xf在ba,内至少存在一点，使得0)(f第三讲中值定理及导数的应用1、 罗尔定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页如果函数)(xfy满足：（1）在闭区间ba,上连续；（ 2）在开区间（a,b）内可导； （3）)()(bfaf，则在 (a,b)内至少存在一点，使得0)(f记忆方法：脑海里记着一幅图：2、 拉格朗日定理如果)(xfy满足（ 1）在闭区间ba,上连续（2）在开区间（a,b）内可导；则在 (a,b)内至少存在一点，使得abafbff)()()(脑海里记着一幅图：ab（ *）推论1 ：如果函数)(xfy在闭区间ba,上连续，在开区间（a,b）内可导，且0)(xf，那么在),(ba内)(xf=C 恒为常数。记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。（*）推论 2：如果)(),(xgxf在ba,上连续，在开区间),(ba内可导，且),(),()(baxxgxf，那么cxgxf)()(记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等3、 驻点满足0)(xf的点，称为函数)(xf的驻点。几何意义：切线斜率为0 的点，过此点切线为水平线4、极值的概念设)(xf在点0x的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有)()(0xfxf，则称)(0xf为函数)(xf的极大值，0x称为极大值点。设)(xf在点0x的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有)()(0xfxf，则称)(0xf为函数ab 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页)(xf的极小值，0x称为极小值点。记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。5、 拐点的概念连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。注3xy在原点即是拐点6、 单调性的判定定理设)(xf在),(ba内可导，如果0)(xf，则)(xf在),(ba内单调增加；如果0)(xf，则)(xf在),(ba内单调减少。记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，0)(xf；在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，0)(xf；7、 取得极值的必要条件可导函数)(xf在点0x处取得极值的必要条件是0)(0xf8、 取得极值的充分条件第一充分条件：设)(xf在点0x的某空心邻域内可导，且)(xf在0x处连续，则（1）如果0xx时，0)(xf; 0)(0xfxx时，,那么)(xf在0x处取得极大值)(0xf；（2）如果0xx时，0)(xf；0)(0xfxx时，那么)(xf在0x处取得极小值)(0xf；（3）如果在点0x的两侧，)(xf同号，那么)(xf在0x处没有取得极值；记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。第二充分条件：设函数)(xf在点0x的某邻域内具有一阶、二阶导数，且0)(0xf，0)(0xf则（1）如果0)(0xf，那么)(xf在0x处取得极大值)(0xf；（2）如果0)(0xf，那么)(xf在0x处取得极小值)(0xf9、 凹凸性的判定设函数)(xf在),(ba内具有二阶导数， （1）如果),(,0)(baxxf，那么曲线)(xf在),(ba内凹的；（2）如果),(, 0)(baxxf，那么)(xf在),(ba内凸的。图像表现：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页凹的表现凸的表现10、渐近线的概念曲线)(xf在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。（1）水平渐近线：若Axfx)(lim,则)(xfy有水平渐近线Ay(2) 垂直渐近线：若存在点0x，)(limxfx，则)(xfy有垂直渐近线0xx（2）求斜渐近线：若baxxfaxxfxx)(lim,)(lim，则baxy为其斜渐近线。11、罗比达法则遇到“00”、 “” ，就分子分母分别求导，直至求出极限。如果遇到幂指函数，需用)(ln)(xfexf把函数变成“00”、 “” 。第二讲导数与微分1、 导数的定义（ 1） 、0)()(limlim)(00000xfxxfyxfxx（ 2） 、hxfhxfxfh)()(lim)(0000精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页（3） 、000)()(l i m)(0xxxfxfxfxx注：使用时务必保证0x后面和分母保持一致，不一致就拼凑。2、 导数几何意义：)(0xf在0xx处切线斜率法线表示垂直于切线，法线斜率与)(0xf乘积为 1 3、 导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。4、 求导方法总结（1） 、导数的四则运算法则vuvuuvvuvu)(2vuvvuvu（2） 、复合函数求导：xfy是由)(ufy与)(xu复合而成，则dxdududydxdy（3） 、隐函数求导对于0),(yxF，遇到 y，把 y 当成中间变量u，然后利用复合函数求导方法。（ 4） 、参数方程求导设)()(tytx确定一可导函数)(xfy，则)()(ttdtdxdtdydxdydtdxdtdxdyddxdxdyddxyd)()(22(5) 、对数求导法先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导（6） 、幂指函数求导幂指函数)()(xvxuy，利用公式aealn)(ln)()(ln)(xuxvxueeyxv然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页注：优选选择第二种方法。5、 高阶导数对函数)(xf多次求导，直至求出。6、 微分dxydy记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加dx，不需要单独记忆。7、 可微、可导、连续之间的关系可微可导可导连续，但连续不一定可导8、 可导与连续的区别。脑海里记忆两幅图（1）（2）2xy在 x=0 既连续又可导。xy在 x=0 只连续但不可导。所以可导比连续的要求更高。第四讲不定积分一、原函数与不定积分1、 原函数：若)()(xfxF，则)(xF为)(xf的一个原函数；2、 不定积分：)(xf的所有原函数)(xF+C 叫做)(xf的不定积分，记作CxFdxxf)()(二、不定积分公式记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式三、不定积分的重要性质1、dxxfdxxfdxfdxxf)()()()(或2、cxfdxxf)()(注：求导与求不定积分互为逆运算。四、积分方法1、 基本积分公式2、 第一换元积分法（凑微分法）把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。3、 第二换元积分法baxtbax令,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页三角代换taxaxtaxaxtaxxatansecsin222222令令令三角代换主要使用两个三角公式：tttt2222sectan1, 1cossin4、 分部积分法vduuvudv第五讲定积分1、定积分定义niiixbaxfdxxf10)(lim)(如果)(xf在ba,上连续，则)(xf在ba,上一定可积。理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。2、定积分的几何意义（1）如果)(xf在ba,上连续，且0)(xf，则badxxf)(表示由)(xf，,bxaxx 轴所围成的曲边梯形的面积。S=badxxf)(。（2）如果)(xf在ba,上连续，且0)(xf， S=badxxf)(。3、定积分的性质：（1）badxxkf)(badxxfk)(（2）badxxgxf)()(=badxxf)(badxxg)(（3）cabcbadxxgdxxfdxxf)()()(（4）abaabadxxfdxxfabdx)(0)(1badxxf)(（5）如果)()(xgxf，则babadxxgdxxf)()(（6）设 m,M 分别是)(xf在ba,的 min, max,则)()()(abMdxxfabmbaM m 记忆：小长方形面积曲边梯形面积大长方形面积（7）积分中值定理如果)(xf在ba,上连续，则至少存在一点ba,，使得)()(abfdxxfba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页记忆：总可以找到一个适当的位置，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲边梯形变成一个长方形。称badxxfab)(1为)(xf在ba,上的平均值。4、 积分的计算（1） 、变上限的定积分xaxfdttf)()(注：由此可看出来xadttfx)()(是)(xf的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有一个是x而不是 t （2） 、牛顿莱布尼兹公式设)(xf在ba,上连续，)(xF是)(xf的一个原函数， 则)()()()(aFbFxFdxxfbaba由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分，只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。分部积分法第二换元积分法分法）第一换元积分法（凑微基本积分公式5、 奇函数、偶函数在对称区间上的定积分（1） 、若)(xf在aa,上为奇函数，则0)(xfaa（2） 、若)(xf在aa,上为偶函数，则aaadxxfxf0)(2)(注：此方法只适用于对称区间上的定积分。6、 广义积分（1）无穷积分cacadxxfdxxf)(lim)(bccbdxxfdxxf)(lim)(ccdxxfdxxfdxxf)()()(7、 定积分关于面积计算)(xf)(xg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页面积dxxgxfSba)()(，记忆：面积等于上函数减去下函数在边界ba,上的定积分。d )(yx)(yxc 面积 S=dyyydc)()(记忆方法：把头向右旋转90就是第一副图。8、 旋转体体积（1）y )(xfa b x 曲线)(xf绕x轴旋转一周所得旋转体体积：dxxfVbax2)(（2） 、)(xf)(xga b 阴影部分绕绕x轴旋转一周所得旋转体体积：dxxgxfVbax)(22（3） 、y d )(yxc x )(yx绕y轴旋转一周所得旋转体体积：dyyVdcy2)(4)、y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页d )(yx)(yxc x 阴影部分绕绕y轴旋转一周所得旋转体体积:dyyyVdcy)()(22第六讲向量、空间解析几何（一）向量的相关考试内容一、向量的基本概念1、 定义：与起点无关，既有方向又有大小的量称为向量。（生活来源：力、速度、加速度，位移）2、 向量的表示：321,aaa或记为kajaia321，其中321,aaa为向量在x轴，y轴，z轴上的投影。其中，kji,为向量在x轴，y轴，z轴上的单位向量1 ,0 ,0,0, 1 ,0,0,0 , 1kji3、 向量的模：232221aaa，模为 1 的向量叫做单位向量，模为0 的向量叫做0 向量。4、 向量的方向余弦：2322211cosaaaa2322212cosaaaa2322213cosaaaa并且：1coscoscos222为向量与x轴，y轴，z轴的正方向的夹角，叫做的方向角。5、),(, ),(1110000zyxMzyxM，则),(01010110zzyyxxMM二、向量的三种不同运算设向量321,aaa，321,bbb（1）线性运算332211,bababa，321,aaa（2）两向量的数量积,cos332211bababa向量，的夹角：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页232221232221332211,cosbbbaaabababa0注：因为02cos,cos（3）两向量的向量积定义：c，满足下述规则1、,sinc2、c，c3、c,成右手系称c为,的向量积，记作:c向量积的坐标表示：321321bbbaaakjic的充要条件为：0或332211bababa注：因为00sin,sin（二） 、直线与平面的相关考试内容一、空间平面方程在空间直角坐标系下，一次方程0DCzByAx表示空间一张平面，这里 A,B,C 不同时为零。由A,B,C 为向量坐标构成得向量CBAn,叫做平面得法向量。即n。（1）平面的位置若 A=0, 即0DCzBy该平面平行x轴。同理B=0,平面平行于y 轴。 C=0,平面平行于z 轴。 D=0,过原点。记忆方法：“谁”的系数为0，平面平行于“谁”轴。二、空间直线方程一般式：0022221111DzCyBxADzCyBxAl :, (一次项系数不成比例) 注：两个平面相交标准式：czzbyyaxxl000:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页注： （000zyx,）为直线上一已知点，向量cba,为直线的方向向量参数式：ctzzbtyyatxxl000:三、总结：专升本考试中重点考察两平面的位置关系，两直线的位置关系，直线与平面的位置关系，记忆的重点在于：（1）平面0DCzByAx的法向量为CBA, （2）直线czzbyyaxxl000:的方向向量为cba,（3）向量平行需满足：0或或332211bababa（4）向量垂直需满足0332211bababa四、两直线的位置关系：设有两直线1111111czzbxxaxxl :2222222czzbyyaxxl :（1）21ll的充要条件为0021212121ssccbbaa即,（ 2）1l2l得充要条件为021212121ssccbbaa即,（3）直线21ll ,得夹角可由212121ssssss ,cos来确定。五、直线和平面的位置关系：设直线方程为czzbyyaxxl000:平面方程为：0DCzByAx（1）l的充要条件为0nsCcBbAa即,（2）l的充要条件为00nscCbBaA即,（3）直线l与平面的夹角可由222222CBAcbacCbBaAsin来确定。六、两平面的位置关系：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页设有两平面011111DzCyBxA ：022222DzCyBxA:21的充要条件是0021212121nnCCBBAA即,12的充要条件是021212121nnCCBBAA，即1，2的夹角可由212121nnnnnn ,cos确定。（三） 、曲面的相关考试内容一、简单的二次曲面（1）柱面方程222ayx (2)球面方程2222Rczbyax)()()(3) 椭球面方程1222222czbyax（4）旋转面方程以曲线00xzyfl),(:为母线，z轴为旋转轴的旋转曲面方程为022),(zyxf第七讲多元函数微分学一、二元函数的概念定义：设有变量zyx,，如果当相互独立的变量yx,在一定范围D内取定任意一对值时，z按照一定法则有唯一确定的数值与之对应，那么，z称为yx,的二元函数，记作),(yxfz。注：二元函数的定义域为yx,坐标平面上的一个区域，二元函数是悬浮在空间的一个曲面。二、二元函数的极限定义： 设函数),(yxfz在点),(00yx某邻域有定义 （但),(00yx点可以除外） ，如果当点),(yx无论沿着任何途径趋向于),(00yx时，),(yxfz都无限接近于唯一确定的常数A， 则称当点),(yx趋向于),(00yx时，),(yxfz以 A 为极限，记为Ayxfyxyx),(lim),(),(00三、二元函数的连续性若),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx，则称),(yxfz在点),(00yx连续。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页注：),(yxfz的不连续点叫函数的间断点，二元函数的间断点可能是一些离散点，也可能是一条或多条曲线。四、二元函数的偏导数xyxfyxxfyxfxzxx),(),(lim),(0yyxfyyxfyxfyzyy),(),(lim),(0五、偏导数求法由偏导数定义可看出，对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量，其它的变量都当成常数看待。六、全微分：dyyzdxxzdz七、二元函数的连续、偏导、可微之间的关系二元函数可微，则必连续，可偏导，但反之不一定成立。若偏导存在且连续，则一定可微。函数),(yxfz的偏导存在与否，与函数是否连续毫无关系。八、二元复合函数求偏导设),(),(),(yxvyxuvufz，则xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz注：有几个中间变量就处理几次，按照复合函数求导处理。九、隐函数求偏导方程0),(zyxF确定的隐函数为),(yxfz，则对等号两边同时对x求导，遇到z的函数，把z当成中间变量。十、二元函数的极值1、 二元函数极值存在的必要条件如果),(yxfz在点),(00yx处取得极值， 且两个偏导数存在， 则有0),(,0),(0000yxfyxfyx。若0),(, 0),(0000yxfyxfyx，则称),(00yx是),(yxfz的驻点。2、 极值存在的充分条件如 果),(yxfz在 点),(00yx的 某 邻 域 内 有 连 续 的 二 阶 偏 导 数 ， 且),(00yx是 驻 点 ， 设),(),(),(),(2yxfyxfyxfyxPyyxxxy则（ 1）如果,0),(00yxP且0),(00yxfxx，则),(00yxf是极大值（2）如果,0),(00yxP且0),(00yxfxx，则),(00yxf是极小值（3）如果,0),(00yxP，则),(00yxf不是极值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页（4）如果,0),(00yxP则此方法失效。十一、条件极值的拉格朗日乘数法。方法一：（1）从条件0),(yx中求出)(xy（2）将)(xy代入),(yxfz化为一元函数（3）利用一元函数求极值的方法求最值方法二：拉格朗日乘数法（1）作拉格朗日函数),(),(),(yxyxfyxF（2）0xF,0yF，0F（3）解上述方程组得驻点),(00yx，则),(00yx点就是函数的极值点，依题意，判定它是极大值或是极小值。第八讲多元函数积分学知识点一、二重积分的概念、性质1、niiiidDfdxdyyxf10),(lim),(，几何意义：代表由),(yxf，D 围成的曲顶柱体体积。2、性质：（1）Ddxdyyxkf),(Ddxdyyxfk),(（2）Ddxdyyxgyxf),(),(=Ddxdyyxf),(+Ddxdyyxg),(（3） 、Dd x d yD（4）21DDD,Ddxdyyxf),(=1),(Ddxdyyxf+2),(Ddxdyyxf(5)若),(),(yxgyxf，则Ddxdyyxf),(Ddxdyyxg),(（6）若,),(Myxfm则MDdxdyyxfmDD),(7)设),(yxf在区域 D 上连续，则至少存在一点D),(，使Ddxdyyxf),(Df),(二、计算（1）D:)()(,21xyxbxa)()(21),(),(xxbaDdyyxfdxdxdyyxf（2）D：)()(,21yxydyc，)()(21),(),(xxdcDdyyxfdydxdyyxf技巧： “谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页垂直线的方法确定另一个变量的范围（3）极坐标下：rdrddxdyryrx,sin,cos)(0)sin,cos(),(rDrdrrrfddxdyyxf三、曲线积分1、第一型曲线积分的计算（1）若积分路径为L：bxaxy),(，则Ldsyxf),(=dxxxxfba2)(1)(,(（2）若积分路径为L：dycyx),(，则Ldsyxf),(=dyyyyfdc2)(1),(（3）若积分路为L：)()(tytx，t，则Ldsyxf),(=dtttttf22)()()(),(2、第二型曲线积分的计算（1）若积分路径为L：)(xy，起点ax,终点by，则LdyyxQdxyxP),(),(dxxxxQxxPba)()(,()(,(（2）若积分路径为L：)(yx，起点cy，终点dy，则LdyyxQdxyxP),(),(dyyyQyyyPdc),()(),(（3）若积分路为L：)()(tytx，起点t，终点t，则LdyyxQdxyxP),(),(dttttQtttP)()(),()()(),(第九讲常微分方程一、基本概念（1）微分方程：包含自变量、未知量及其导数或微分的方程叫做微分方程。其中未知函数是一元函数的叫常微分方程。（2）微分方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。（3）微分方程的解：满足微分方程)(xfy或0),(yxf。前者为显示解，后者称为隐式解（4）微分方程的通解：含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解（5）初始条件：用来确定通解中任意常数的附加条件。（6）微分方程的特解：通解中的任意常数确定之后的解。二、一阶微分方程1、可分离变量的微分方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页（1）形如)()(ygxfdxdy的微分方程。解法：变形为dxxfdyyg)()(1，两边作不定积分求出通解。（2）形如xyfdxdy的微分方程。解法：令uxy，则uxy，两边对x 求导，然后代入原方程，则变量分离2、一阶线性微分方程一阶线性齐次微分方程形如0)(yxPdxdy。解法：变量分离一阶线性非齐次微分方程形如)()(xQyxPdxdy解法：常数变易法或公式法注：一阶线性非齐次微分方程的通解公式为：CdxexQeydxxPdxxP)()()(在通常使用中建议选择常数变易法三、可降阶微分方程形如)(xfyn的微分方程解法：作 n 次不等式形如),(yxfy的微分方程解法：令uy四、二阶常系数线性微分方程形如0qyypy的微分方程，称二阶常系数线性齐次微分方程形如)(xfqyypy的微分方程，称二阶常系数线性非齐次微分方程。（其中， p,q 均为常数）。有关解的结构定理(1) 定理 1 若21, yy是二阶线性齐次方程0qyypy的解，则其任意一个线性组合2211ycyc也是该方程的解函数21, yy若满足kkyy,21为常数，称21, yy线性相关，若kkyy,21为常数，称21,yy线性无关(2) 定理 2 若21, yy是二阶线性齐次方程0qyypy的两个线性无关的解，则2211ycyc就是该方程的通解。(3) 定理3 设1y是二阶线性非齐次方程)(1xfqyypy的解，2y是)(2xfqyypy的解，则21yy是方程)()(21xfxfqyypy的解。(4) 定理4 设*y是二阶线性非齐次微分方程)(xfqyypy的特解，xcxcy21是与其对应的齐精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页次方程0qyypy的通解，则*2211yycycy为方程)(xfqyypy的通解。1、 常系数二阶线性齐次方程0qyypy（1）求通解的步骤如下：(1)、写出（ 1）的特征方程02qprr（2）写出特征方程的两个根21,rr（3）按照下列规律写出（1）的通解实根xrxrececyrr212121实根rxexccyrrr)(2121)sincos(212, 1xcxceyirax2、 常系数二阶线性非齐次方程)(xfqyypy（1）写出对应的齐次方程02qprr（2）写出齐次方程0qyypy的通解y（3）写出)(xfqyypy的一个特解*y（4）*yyy即为)(xfqyypy的通解。3、xnexPqyypy)(其中,qp为实常数，)(xPn为 x 的 n 次多项式特解可设为*y=xnkexQx)(其中)(xQn为 x 的 n 次多项式， k 按是否为特征方程02qprr的根来确定：是特征方程的重根是特征方程的根不是特征方程的根210k4、)sincos(xBxAeqyypyx特解可设为)sincos(*xDxCexyxk其中 C,D 是待定的常数，k 可按i是否为特征方程02qprr的根来确定。是特征方程的根不是特征方程的根iik10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页5、得到特解*y后，通解即为*yyy=*2211yycyc， （其中，y2211ycyc为其齐次方程的解）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页