第二章第二章 二次函数二次函数2.1 2.1 二次函数二次函数1 1探索并归纳二次函数的定义探索并归纳二次函数的定义 2 2能够表示简单变量之间的二次函数关系能够表示简单变量之间的二次函数关系. . 函数函数变量之间的关系变量之间的关系一次函数一次函数y=kx+b y=kx+b (k0)(k0)反比例函数反比例函数二次函数二次函数正比例函数正比例函数y=kx(k0)y=kx(k0) 某果园有某果园有100100棵橙子树，每一棵树平均结棵橙子树，每一棵树平均结600600个橙子个橙子. .现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. .根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5 5个橙子个橙子. .问题问题1 1：问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些：问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？是因变量？解：解：多种的橙子树的棵数和少结的橙子个数是变量多种的橙子树的棵数和少结的橙子个数是变量. .其中多种的橙子树的棵数是自变量，少结的橙子个数其中多种的橙子树的棵数是自变量，少结的橙子个数是因变量是因变量. .问题问题2 2：假设果园增种：假设果园增种x x棵橙子树，那么果园共有棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？解：解：果园共有（果园共有（100+x100+x）棵树，平均每棵树结）棵树，平均每棵树结（600-5x600-5x）个橙子）个橙子. .问题问题3 3：如果果园橙子树的总产量为：如果果园橙子树的总产量为y y个，那么请个，那么请你写出你写出y y与与x x之间的关系式之间的关系式. .解：解：y=(100+x)(600-5x) =-5xy=(100+x)(600-5x) =-5x2 2+100x+60 000+100x+60 000在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？产量最多？y=-5(xy=-5(x2 2-20x)+60 000-20x)+60 000=-5(x=-5(x2 2-20x+10-20x+102 2-10-102 2)+60 000)+60 000=-5(x-10)=-5(x-10)2 2+60 500 60 500+60 500 60 500【解析解析】想一想想一想x/棵 y/个1 12 23 34 45 56 67 78 89 9 1010 1111 12121313 14146 60 00 09 95 56 60 01 18 80 06 60 02 25 55 56 60 03 32 20 06 60 03 37 75 56 60 04 42 20 06 60 04 45 55 56 60 04 48 80 06 60 04 49 95 56 60 05 50 00 06 60 04 49 95 56 60 04 48 80 06 60 04 45 55 56 60 04 42 20 0y=-5xy=-5x2 2+100x+60 000 =-5(x-10)+100x+60 000 =-5(x-10)2 2+60 500+60 500合作探究合作探究做一做做一做 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的, ,也就是说，也就是说，利率是一个变量利率是一个变量. .在我国在我国, ,利率的调整是由中国人民银行根据利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的国民经济发展的情况而决定的. .设人民币一年定期储蓄的年利率是设人民币一年定期储蓄的年利率是x,x,一年到期后一年到期后, ,银行将本金和利息自动银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存按一年定期储蓄转存. .如果存款额是如果存款额是100100元元, ,那么请你写出两年后的本息和那么请你写出两年后的本息和y(y(元元) )的表达式的表达式. .y=100(x+1)y=100(x+1) =100x=100x +200x+100.+200x+100.项项 目目利利 率率整整 存存整整取取三个月三个月2.85半半 年年3.05一一 年年3.25二二 年年3.75三三 年年4.25五五 年年4.75零零 存存 整整 取取整整 存存 零零 取取存存 本本 取取 息息一一 年年2.85三三 年年2.90五五 年年3.00活活 期期 存存 款款0.35定定 活活 两两 便便按一年以内整存整按一年以内整存整取同档次利率取同档次利率定义：定义：一般地，形如一般地，形如y=axy=ax2 2+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数，是常数，a0)a0)的的函数叫做函数叫做x x的二次函数，其中的二次函数，其中,ax,ax2 2叫做二次项，叫做二次项，a a叫做二叫做二次项系数；次项系数；bxbx叫做一次项，叫做一次项， b b叫做一次项系数；叫做一次项系数；c c叫做常叫做常数项数项. .如如 y=100 x y=100 x2 2 + 200 x + 100+ 200 x + 100a ab bc c揭示新知揭示新知1.1.下列函数中下列函数中, ,哪些是二次函数？如果是二次函数请指出二次哪些是二次函数？如果是二次函数请指出二次函数中函数中a,b,ca,b,c分别为多少？分别为多少？（1 1）y=3(x-1)y=3(x-1) +1.+1.（3 3）s=3-2ts=3-2t . .（5 5）y=(x+3)y=(x+3) -x-x . .（6 6）v=10rv=10r . .（是）其中（是）其中a=3,b=-6,c=4a=3,b=-6,c=4（不是）（不是）（是）其中（是）其中a=-2,b=0,c=3a=-2,b=0,c=3（不是）（不是）（不是）（不是）（是）其中（是）其中a=10,b=c=0a=10,b=c=0【跟踪训练跟踪训练】2.2.用总长为用总长为60m60m的篱笆围成矩形场地，场地面积的篱笆围成矩形场地，场地面积S(mS(m ) )与与矩形一边长矩形一边长a(m)a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？哪一种函数？ 解：解：S=a( -a)=a(30-a)=30a-aS=a( -a)=a(30-a)=30a-a =-a=-a +30a . +30a . 是函数关系且为二次函数关系是函数关系且为二次函数关系. .A AB BC CD D1.1.（衢州（衢州中考）中考） 如如图，四，四边形形ABCDABCD中，中，BAD=BAD=ACB=90ACB=90，AB=ADAB=AD，AC=4BCAC=4BC，设CDCD的的长为x x，四，四边形形ABCDABCD的面的面积为y y，则y y与与x x之之间的函数关系式是（）的函数关系式是（）【答案答案】选选C .C .A.A.C.C.D.D.B.B. 3. 3.如果函数如果函数y=(k-3) +kx+1y=(k-3) +kx+1是二次函数是二次函数, ,则则k k的值一定是的值一定是_ . _ . 0 02.2.如果函数如果函数y= +kx+1y= +kx+1是二次函数是二次函数, ,则则k k的值的值一定是一定是_ ._ . 0 0或或3 3【规律方法规律方法】1.1.关于关于x x的二次函数表达式的二次函数表达式y=axy=ax +bx+c+bx+c一定是整式，一定是整式，a a，b b，c c为常数为常数, ,且且 a0.a0.2.2.等式的右边最高次数为等式的右边最高次数为2,2,可以没有一次项和常数项可以没有一次项和常数项, ,但但不能没有二次项不能没有二次项. .1.1.定义：一般地定义：一般地, ,形如形如y=axy=ax +bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的函的函数叫做数叫做x x的二次函数的二次函数. .2.y=ax2.y=ax +bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的几种不同表示形式的几种不同表示形式: :(1)y=ax(1)y=ax (a0,b=0,c=0).(a0,b=0,c=0).(2)y=ax(2)y=ax +c(a0,b=0,c0).+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax(3)y=ax +bx (a0,b0,c=0).+bx (a0,b0,c=0).3.3.定义的实质是：定义的实质是：axax +bx+c+bx+c是整式是整式, ,自变量自变量x x的最高次数是的最高次数是二次二次, ,自变量自变量x x的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数. .