第一章 直角三角形1.4 角平分线的性质情境导入角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.新知探究 如图，在AOB的平分线OC上任取一点P，作PDOA，PEOB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？ABOPC将AOB沿OC对折，可以发现PD与PE重合，即PD与PE相等.DEPDOA，PEOB，PDO=PEO=90.在PDO和PEO中，PDO=PEO，DOP=EOP，OP=OP，PDOPEO.PD=PE.角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？如图，点P在AOB的内部，作PDOA，PEOB，垂足分别为D，E.若PD=PE，那么点P在AOB的平分线上吗？OEPDACB思考思考如图，过点O，P作射线OC.PDOA，PEOB，PDO=PEO=90.在RtPDO和RtPEO中，OP=OP，PD=PE，RtPDORtPEO.AOC=BOC.OC是AOB的平分线，即点P在AOB的平分线OC上.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.【例1】如图，BAD=BCD=90，1=2.（1）求证：点B在ADC的平分线上；（2）求证：BD是ABC的平分线.ABCD12证明（1）在ABC中，1=2，BA=BC.又BAAD，BCCD，点B在ADC的平分线上.（2）在RtBAD和RtBCD中， BA=BC，BD=BD， RtBAD和RtBCD. ABD=CBD. BD是ABC的平分线.1.如图，在直线MN上求作一点P，使点P到AOB两边的距离相等.BAOMN答案：如图所示.P练习练习2.如图，在ABC中，AD平分ABC，DEAB于点E，DFAC于点F，BD=CD.求证：AB=AC.ABCDEF证明：AD平分ABC，DEAB于点E，DFAC于点F，DE=DF.BD=CD,RtDBERtDCF.B=C.AB=AC.如图，已知EFCD，EFAB，MNAC，M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为ACD和CAB的平分线呢？ CDBAEFMN可以添加条件MN=ME（或MN=MF）.MECD，MNCA，M在ACD的平分线上，即CM是ACD的平分线.同理可得AM是CAB的平分线.思考思考【例2】如图，在ABC的外角DAC的平分线上任取一点P，作PEDB，PFAC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.解 AP是DAC的平分线，又PEDB，PFAC，PE=PF.在EBP中，BE+PEPB，BE+PFPB.如图，你能在ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？ABC因为角平分线上的点到角两边的距离相等，所以只要作ABC任意两角（例如A与B）的平分线，其交点P即为所求作的点.点P也在C的平分线上，如图.P思考思考3.E是AOB的平分线上一点，ECOA于点C，EDOB于点D，求证：（1）ECD=EDC；（2）OC=OD.ABOCDE证明：（1）E是AOB的平分线上一点， ECOA于点C，EDOB于点D， CE=DE.ECD=EDC. （2）在RtCOE和RtDOE中， CE=DE，OE=OE. RtCOERtDOE(HL). OC=OD.练习练习4.如图，在ABC中，ADDE，BEDE，AC，BC分别平分BAD，ABE，点C在线段DE上.求证：AB=AD+BE.ABCDE解：过C作CFAB于F.AC，BC分别平分BAD，ABE，且ADDE，BEDE，DC=CF，CE=CF.RtACDRtACF(HL)，RtBCERtBCF(HL).AD=AF，BE=BF.AB=AF+BF=AD+BE.通过本节通过本节课课，你有，你有什么什么收获？收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流你还存在哪些疑问，和同伴交流. .我思 我进步