高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第九章 重积分 高等数学（上）高等数学（上） 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第一节 二重积分的概念与性质 高等数学（下）高等数学（下）柱体体积柱体体积= =底面积底面积高高特点：平顶特点：平顶. .柱体体积柱体体积= =？特点：曲顶特点：曲顶. .曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出 高等数学（下）高等数学（下）步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 高等数学（下）高等数学（下）播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、分割、求和、取极限取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 高等数学（下）高等数学（下）求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量 高等数学（下）高等数学（下）二、二重积分的概念可积的可积的必要条件必要条件 高等数学（下）高等数学（下）积积分分区区域域积积分分和和被被积积函函数数积积分分变变量量被被积积表表达达式式面面积积元元素素 高等数学（下）高等数学（下）对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时当被积函数大于零时,二重积分是曲顶柱体的体积二重积分是曲顶柱体的体积当被积函数小于零时当被积函数小于零时,二重积分是曲顶柱体的体积二重积分是曲顶柱体的体积的负值的负值 总之，总之，二重积分是曲顶柱体体积的代数和二重积分是曲顶柱体体积的代数和 高等数学（下）高等数学（下）注注：在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网 来划分区域来划分区域 D，故二重积分可写为故二重积分可写为D D则面积元素为则面积元素为若在若在 D 上，上，f const a，则则特别地，特别地，a 1，可得可得 高等数学（下）高等数学（下）性质性质 当当 为常数时为常数时，性质性质（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质 高等数学（下）高等数学（下）性质性质 对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质 4若在若在D上上特殊地特殊地则有则有 高等数学（下）高等数学（下）性质性质 5性质性质 6（二重积分中值定理）二重积分中值定理）（二重积分估值定理）二重积分估值定理） 高等数学（下）高等数学（下）解解 高等数学（下）高等数学（下）解解 高等数学（下）高等数学（下）解解 高等数学（下）高等数学（下）解解 高等数学（下）高等数学（下）例例5 设设D是是第二象限中的有界闭区域，且第二象限中的有界闭区域，且 0y1记记则则I1，I2，I3 的大小顺序是的大小顺序是I3I1I2 高等数学（下）高等数学（下）二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结