学习好资料欢迎下载1 2013 中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析( 三 ) 例 5 如图 1，抛物线经过点A(4，0) 、B（1，0)、C（0， 2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标,图 1 解析（ 1）因为抛物线与x 轴交于A(4 ， 0) 、B（ 1， 0) 两点，设抛物线的解析式为)4)(1(xxay，代入点C的 坐标（ 0， 2） ，解得21a所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212xxxxy（2）设点P的坐标为)4)(1(21,(xxx如图 2，当点P在x轴上方时， 1x4，)4)(1(21xxPM，xAM4如果2COAOPMAM，那么24) 4)(1(21xxx解得5x不合题意如果21COAOPMAM，那么214)4)(1(21xxx解得2x此时点P的坐标为（ 2，1） 如图 3，当点P在点A的右侧时，x4，)4)(1(21xxPM，4xAM解方程24)4)(1(21xxx，得5x此时点P的坐标为)2, 5(解方程214)4)(1(21xxx，得2x不合题意精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习好资料欢迎下载2 如图 4，当点P在点B的左侧时，x1，)4)(1(21xxPM，xAM4解方程24)4)(1(21xxx，得3x此时点P的坐标为)14,3(解方程214)4)(1(21xxx，得0x此时点P与点O重合，不合题意综上所述，符合条件的点 P的坐标为（ 2，1）或)14, 3(或)2,5(图 2 图 3 图 4 （3）如图 5，过点D作x轴的垂线交AC于E直线AC的解析式为221xy设点D的横坐标为m)41(m，那么点D的坐标为)22521,(2mmm，点 E的坐标为)221,(mm所以)221()22521(2mmmDEmm2212因此4)221(212mmSDACmm424)2(2m当2m时，DCA的面积最大，此时点D的坐标为（ 2，1） 图 5 图 6 考点伸展第（ 3）题也可以这样解：如图 6，过D点构造矩形OAMN，那么DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去CDN和ADM的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习好资料欢迎下载3 设点D的横坐标为（m，n）)41 (m，那么42)4(21)2(214)22(21nmmnnmnS由于225212mmn，所以mmS42例 6 如图 1，ABC中，AB5，AC3，cosA310D为射线BA上的点（点D不与点B重合） ，作DE/BC交射线CA于点E. (1) 若CEx，BDy，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；(3) 当点D在 AB边上时，BC边上是否存在点F，使ABC与DEF相似？若存在， 请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由图 1 备用图备用图解析（1）如图 2，作BHAC，垂足为点H在 RtABH中，AB5，cosA310AHAB，所以AH3212AC所以BH垂直平分AC，ABC 为等腰三角形，ABCB5因为DE/BC，所以ABACDBEC，即53yx于是得到53yx， （0x） （2）如图 3，图 4，因为DE/BC，所以DEAEBCAC，MNANBCAC，即| 3|53DEx，1|3|253xMN因此5|3|3xDE，圆心距5|6|6xMN图 2 图 3 图 4 在M中，115226MrBDyx，在N中，1122NrCEx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习好资料欢迎下载4 当两圆外切时，5162xx5|6|6x解得3013x或者10x如图 5，符合题意的解为3013x，此时5(3)15313xDE当两圆内切时，5162xx5|6|6x当 x6 时，解得307x，如图 6，此时E在CA的延长线上，5(3)1537xDE；当 x6 时，解得10x，如图 7，此时E在CA的延长线上，5(3)3533xDE图 5 图 6 图 7 （3）因为ABC是等腰三角形， 因此当ABC与DEF相似时， DEF也是等腰三角形如图 8，当D、E、F为ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此时BF2.5 根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF4.1 如图 9， 当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是平行四边形， 此时12534BF图 8 图 9 图 10 图 11 考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图 11，AH是ABC的高，D、E、F为ABC的三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形例 7 如图 1，在直角坐标系xOy中，设点A（0，t） ，点 Q （t，b） 平移二次函数2txy的图象， 得到的抛物线F满足两个条件： 顶点为Q； 与x轴相交于B、C两点 （OBOC） ，连结A，B（1）是否存在这样的抛物线F，使得OCOBOA2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQBC，且 tan ABO23，求抛物线F对应的二次函数的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习好资料欢迎下载5 图 1 解析（1）因为平移2txy的图象得到的抛物线F的顶点为Q（ t ，b） ，所以抛物线F对应的解析式为btxty2)(因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0bt令0y，得tOBtb，tOCtb所 以tOCOB(|tb)( ttb)|2|t22|OAttb 即22bttt所以当32tb时，存在抛物线F使得|2OCOBOA（ 2 ） 因 为AQ/BC， 所 以tb， 于 是 抛 物 线F为ttxty2)( 解 得1, 121txtx当0t时，由|OCOB，得)0, 1(tB如图 2，当01t时，由ABOtan23|OBOA1tt，解得3t此时二次函数的解析式为241832xxy如图3，当01t时，由ABOtan23|OBOA1tt，解得t53此时二次函数的解析式为y532x2518x12548精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习好资料欢迎下载6 图 2 图 3 如图 4，如图 5，当0t时，由|OCOB，将t代t, 可得t53，3t此时二次函数的解析式为y532x2518x12548或241832xxy图 4 图 5 考点伸展第（ 2）题还可以这样分类讨论：因为AQ/BC， 所以tb， 于是抛物线F为2()yt xtt 由3t a n2OAABOOB，得23OBOA把2(,0)3Bt代入2()yt xtt，得3t（如图 2，图 5） 把2(,0)3Bt代入2()yt xtt，得35t（如图 3，图 4） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页