学习必备欢迎下载1如图，已知ABC是等腰直角三角形， C=90 。 (1)操作并观察，如图，将三角板的45角的顶点与点C重合，使这个角落在 ACB的内部，两边分别与斜边AB交于 EF 两点，然后将这个角绕着点C在ACB的内部旋转，观察在点EF的位置发生变化时，AE EF FB中最长线段是否始终是EF？写出观察结果(2) 探索： AE 、 EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形（即能否有EF2=AE2+BF2）？如果能，试加以证明2如图甲，四边形ABCD 是等腰梯形， AB DC ，由 4 个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形(1) 求四边形ABCD 四个内角的度数； (2)试探究四边形ABCD 四条边之间存在的等量关系，并说明理由； (3)现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗?若能，请你画出大致的示意图3某房地产公司要在一块地(图中矩形ABCD) 上规划建造一个小区公园( 矩形 GHCK) ，为了使文物保护区AEF不被破坏，矩形公园的顶点G不能在文物保护区内，已知 AB=200m, AD=160m, AE=60m, AF=40m (1) 求矩形小区公园的顶点G恰是 EF的中点时，公园的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页学习必备欢迎下载(2) 当 G在 EF上什么位置时，公园面积最大？4某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：如图 1，在正三角形ABC中， M 、N分别是 AC AB上的点， BM与 CN相交于点O ，若 BON 60o，则 BM CN ；如图 2，在正方形ABCD 中， M 、N分别是 CD 、AD上的点， BM与 CN相交于 O，若BON 90o，则 BM CN ；然后运用类比的思想提出了如下命题：如图 3，在正五边形ABCDE 中， M 、N分别是 CD DE上的点， BM与 CN相交于点O ，若 BON 108o，则 BM CN 任务要求 ：（1）请你从、三个命题中选择一个 进行证明；（说明：选做对得4 分，选做对得3分，选做对得5 分）(2) 请你继续完成下列探索：请在图3 中画出一条与CN相等的线段DH ，使点 H在正五边形的边上，且与CN相交所成的一个角是108o，这样的线段有几条？（不必写出画法，不要求证明）如图 4，在正五边形ABCDE 中， M 、N分别是 DE、EA上的点， BM与 CN相交于点O ，若 BON 108o，请问结论BM CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由M N A A M N O D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 20 页学习必备欢迎下载第 4 题图5如图（ l ），凸四边形 ABCD ，如果点P满足 APD APB =且 B P C CPD ，则称点P为四边形 ABCD的一个半等角点（l ）在图（ 3）正方形 ABCD 内画一个半等角点P，且满足 （2）在图（4）四边形 ABCD 中画出一个半等角点P，保留画图痕迹 （不需写出画法） . 图 4N M O E D C B A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页学习必备欢迎下载（3）若四边形ABCD 有两个半等角点P1、P2（如图（ 2），证明线段P1 P2上任一点也是它的半等角点6如图，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和 EFG叠放在一起 （点 A与点 E重合），已知 AC 8cm ，BC 6cm ， C90， EG 4cm ， EGF 90， O 是 EFG斜边上的中点如图，若整个EFG从图的位置出发，以 1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在EFG 平移的同时，点P从 EFG的顶点 G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点 F 运精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页学习必备欢迎下载动，当点P到达点 F时，点 P停止运动， EFG也随之停止平移设运动时间为x（ s），FG的延长线交 AC 于 H， 四边形 OAHP 的面积为y （cm2） （不考虑点P与 G 、F重合的情况） （1）当 x 为何值时， OP AC ? （2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP 面积与 ABC面积的比为1324？若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由（参考数据：1142 12996，1152 13225， 116213456 或 4.4219.36，4.5220.25，4.6221.16）7(1) 填空：如图1，在正方形PQRS 中，已知点M N分别在边QR 、RS上，且 QM=RN，连结 PN 、 SM相交于点O ，则 POM=_ 度 . (2) 如图 2，在等腰梯形ABCD 中，已知 AB CD ，BC=CD ， ABC=60 . 以此为部分条件，构造一个与上述命题类似的正确命题并加以证明. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页学习必备欢迎下载图 2 图 1 O 8 ABC 中， BC a， ACb， AB c若90C，如图l ，根据勾股定理，则222abc若 ABC不是直角三角形，如图2 和图 3，请你类比勾股定理，试猜想22ab与2c的关系，并证明你的结论图1CBA图2CBA图3CBA9已知：如图，在直角梯形ABCD 中， AD BC，BC 5cm ，CD 6cm， DCB 60， ABC 90等边三角形MPN （N为不动点）的边长为acm，边 MN和直角梯形ABCD的底边BC都在直线l上， NC 8cm 将直角梯形ABCD 向左翻折180，翻折一次得到图形，翻折二次得图形，如此翻折下去精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页学习必备欢迎下载（1）将直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？（2）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD 的面积，这时等边三角形的边长a 至少应为多少？（3）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？10如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在)21, 1(C处，两直角边分别与yx,轴平行，纸板的另两个顶点BA,恰好是直线29kxy与双曲线)0(mxmy的交点（1）求m和k的值；IP图12MADCBN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页学习必备欢迎下载（2）设双曲线)0(mxmy在BA,之间的部分为L，让一把三角尺的直角顶点P在L上滑动， 两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB交于NM ,两点， 请探究是否存在点P使得ABMN21， 写出你的探究过程和结论11如图，在ABC中，已知AB BC CA 4cm ，ADBC于 D，点 P、 Q分别从 BC 两点同时出发， 其中点 P沿 BC向终点 C运动，速度为 1cm/s；点 P沿 CA 、AB向终点 B运动，速度为 2cm/s，设它们运动的时间为x(s) 求 x 为何值时， PQ AC ； 设 PQD的面积为 y(cm2)，当 0x2 时，求 y 与 x 的函数关系式；y x O N M C A B P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页学习必备欢迎下载 当 0x2 时，求证： AD平分 PQD的面积； 探索以 PQ为直径的圆与AC的位置关系 请写出相应位置关系的x 的取值范围 (不要求写出过程) QDCBAPO12如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF绕斜边 EF的中点 O （点 O也是 BD中点）按顺时针方向旋转（1）如图 2，当 EF与 AB相交于点M ，GF与 BD相交于点N时，通过观察或测量BM ，FN的长度，猜想BM ， FN满足的数量关系，并证明你的猜想；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页学习必备欢迎下载（2）若三角尺GEF旋转到如图3 所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点 M ，线段 BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由探索型问题答案1解： (1) 观察结果是：当45角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在重合，并将这个角绕着点C在 DACB 内部旋转时， AE EF FB中最长的线段始终是EF 。（2）EABGFOMN（3）ABDGEFOMNC（1）A( G ) B( E ) CO D( F ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页学习必备欢迎下载(2)AE EFFB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下：2解： (1) 如图， 1=2=3， 1+2+3=360，所以 31=360，即 1=120所以梯形的上底角均为120，下底角均为60 3 分(2) 由于 EF 既是梯形的腰，又是梯形上底，所以梯形的腰等于上底连接 MN ，则FMN= FNM=30 从而 HMN=30 ， HNM=90 所以NH=AH21因此，梯形的上底等于下底的一半，且等于腰长(3) 能拼出菱形如图： ( 拼法不唯一 ) 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页学习必备欢迎下载4（ 1）选命题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页学习必备欢迎下载证明：在图1 中，BON = 60， CBM + BCN = 60 BCN +ACN = 60， CBM = ACN. 又 BC = CA ， BCM = CAN = 60， BCM CAN. BM = CN. 图3ODENMCBA图2NM图1OABCDONMCBA图5ODENMCBA选命题证明：在图2 中， BON = 90， CBM + BCN = 90. BCN +DCN = 90， CBM = DCN. 又 BC = CD ， BCM = CDN = 90， BCM CDN. BM = CN. 选命题证明：在图3 中， BON = 108， CBM + BCN = 108 BCN +DCN = 108， CBM = DCN. 又 BC = CD ， BCM = CDN = 108， BCM CDN. BM = CN. （2）当 BON = (2)180nn时，结论BM = CN成立 . BM = CN 成立 . 证明：如图5，连结 BDCE. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页学习必备欢迎下载在 BCD和 CDE中， BC = CD ， BCD = CDE = 108， CD = DE， BCD CDE. BD = CE ， BDC = CED ， DBC = ECD. OBC + OCB = 108， OCB + OCD = 108， MBC = NCD. 又 DBC = ECD = 36，DBM = ECN. BDM ECN. 5解：（1）所画的点P在 AC上，且不是AC的中点和AC的端点，（2）画点 B关于 AC的对称点B，延长D B交 AC于 P，点 P为所求。（3）连1111P APDP BPC，和2PD，2PB，根据题意，A1PD A1PB， D1PC B1PC， A1PB B1PC1801P在 AC 上，2P也在 AC 上，在 D1P2P和 B1P2P中，D2P1P B2P1P， D1P2P B1P2P，1P2P公共， D1P2P B1P2P，所以 D1PB1P，D2PB2P，于是 B、D关于 AC对称。设 P是1P2P上任一点，连结PD，PB ，由对称性得DPA BPA ， DPC BPC ，所以点 P是四边形的半等角点。6解：（ 1） RtEFG RtABC ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页学习必备欢迎下载BCFGACEG，684FGFG 864 3cm 当 P为 FG的中点时， OP EG ，EG AC ，OP AC x 121FG2131. 5（s）当 x 为 1. 5s 时， OP AC （2）在 Rt EFG 中，由勾股定理得：EF 5cm EG AH ， EFG AFH FHFGAFEFAHEGFHxAH3554 AH54（ x 5）， FH 53（x 5）过点 O作 OD FP ，垂足为 D 点 O为 EF中点，OD 21EG 2cm FP3x ，S四边形OAHPSAFH SOFP21 AH FH21 OD FP 2154（x5）53（x5）212（ 3 x ）256x2517x3 （0x3）（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP 面积与 ABC面积的比为13 24则 S四边形OAHP2413 SABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页学习必备欢迎下载256x2517x3241321 6 8 6x285x 2500 解得x125， x2 350（舍去）0x 3，当 x25（s）时，四边形OAHP 面积与 ABC面积的比为13247(1) 90 (2) 构造的命题为： 已知等腰梯形ABCD 中，AB CD ，且 BC=CD ，ABC=60 ，若点 EF分别在 BC CD上，且 BE=CF ，连结 AF DE相交于 G，则 AGE=120 . 证明：由已知，在等腰梯形ABCD中， AB CD ，且 BC=DA ，ABC=60 ，ADC= C=120 . BC=CD ， BE=CF ，CE=DF . 在DCE和ADF中，,120 ,DCADCADFCEDF DCE ADF(S.A.S.)， CDE= DAF . 又 DAF+ AFD=180 - ADC=60 ， CDE+ AFD=60 ，AGE= DGF=180 - ( CDE+ AFD)=180 - 60=120 . 8解：若 ABC是锐角三角形，则有222abc若 ABC是钝角三角形，C为钝角，则有222abc。当 ABC是锐角三角形时，bacDACB证明：过点A作 ADBC ，垂足为D，设 CD为x，则有 BD ax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页学习必备欢迎下载根据勾股定理，得22222()bxADcax即222222bxcaaxx。2222abcax0,0ax，20ax。222abc。当 ABC是钝角三角形时，cabDABC证明：过B作 BDAC ，交 AC的延长线于D。设 CD为x，则有222BDax根据勾股定理，得2222()bxaxc即2222abbxc。0,0bx，20bx，222abc。9解：（ 1）重叠部分的面积等于23cm（2）等边三角形的边长a 至少为10cm （3）等边三角形的边长为cm)221(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页学习必备欢迎下载10解：（ 1）BA,在双曲线)0(mxmy上，ACy轴，BCx轴，A，B的坐标分别, 1()m，)21,2( m又点 A，B在直线29kxy上，.29221,29mkkm解得.21,4mk或.4,21mk当4k且21m时，点 A，B的坐标都是, 1()21，不合题意，应舍去；当21k且4m时，点 A，B的坐标分别为, 1()4,)21, 8(, 符合题意21k且4m. （2）假设存在点P使得ABMN21ACy轴，MPy轴，ACMP，PMNCAB， RtACBRtMPN, 21ABMNACMP, 设点 P坐标为)4,(xxP（1 x8，则 M点坐标为)2921,(xxM，xxMP42921. 又27214AC，4742921xx，即0161122xx（）071624)11(2方程（）无实数根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页学习必备欢迎下载所以不存在点P使得ABMN2111解：当Q在 AB上时，显然PQ不垂直于AC 。当，由题意得：BP x，CQ 2x，PC 4 x，AB BCCA 4， C600，若 PQ AC ，则有 QPC 300， PC 2CQ 4x22x， x45，当 x45 (Q 在 AC上) 时， PQ AC ； 当 0x 2时， P在 BD上， Q在 AC上，过点Q作 QH BC于 H ， C 600，QC 2x， QH QC sin6003x AB AC ，AD BC ， BD CD 12 BC2 DP 2x， y12 PDQH 12 (2 x) 3x32x23x 当 0x 2时，在 RtQHC 中， QC 2x， C600，HC x， BP HC BD CD ， DPDH ，AD BC ，QH BC ， AD QH ，OP OQ SPDOSDQO，AD平分 PQD的面积； 显然，不存在x 的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离当 x45或165时，以 PQ为直径的圆与AC相切。当 0x45或45x165或165 x4 时，以 PQ为直径的圆与AC相交。12探索（1）a；（ 2）2a；理由：连结AD， CD=BC ，AE=CA ，SDAC = SDAE = SABC = a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页学习必备欢迎下载S2=2a（ 3）6a；发现 7 应用拓展区域的面积：（721） 10=480（m2）(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；(2) 如图，若 ABC 为直角三角形，且C=90 ，在图中画出ABC 的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；(3) 若ABC 是锐角三角形，且BCACAB，在图中画出ABC 的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页