化工传递过程基础 化工传递过程基础1化工传递过程基础 第七章第七章 热热 传传 导导 热传导热传导( (导热导热) )是介质内无宏观运动时的传热现象，是介质内无宏观运动时的传热现象，导热在固体、液体和气体中均可发生，但严格而言，导热在固体、液体和气体中均可发生，但严格而言，只有在固体中才是单纯的导热，而流体即使处于静止只有在固体中才是单纯的导热，而流体即使处于静止状态，其中也会由于温度梯度所造成的密度差而产生状态，其中也会由于温度梯度所造成的密度差而产生自然对流，因此在流体中对流与导热同时发生。鉴于自然对流，因此在流体中对流与导热同时发生。鉴于此，本章将针对固体中的热传导问题进行讨论，重点此，本章将针对固体中的热传导问题进行讨论，重点研究某些情况下热传导方程的求解方法，并结合实际研究某些情况下热传导方程的求解方法，并结合实际情况，探讨一些导热理论在工程实际中的应用。情况，探讨一些导热理论在工程实际中的应用。 描述导热的基本微分方程已在第六章中导出如描述导热的基本微分方程已在第六章中导出如式式(6-17a)(6-17a)所示，即所示，即2化工传递过程基础 式式(6-17a)(6-17a)在不同坐标系的一般形式为在不同坐标系的一般形式为直角坐标直角坐标柱坐标柱坐标球坐标球坐标(7-1)(7-1)(7-3)(7-3)(7-2)(7-2)3化工传递过程基础 求解热传导的规律问题，即解出上述微分方程，获求解热传导的规律问题，即解出上述微分方程，获得温度得温度t t与时间与时间 及位置及位置(z(z，y y，z)z)的函数关系，即不的函数关系，即不同时刻温度在空间的分布同时刻温度在空间的分布( (温度场温度场) )，所得的解为，所得的解为t=t=f(xf(x，y y，z)z)，它不但要满足式，它不但要满足式(7-1)(7-1)或式或式(7-2)(7-2)、式、式(7-3)(7-3)，而且要满足每一问题的初始条件与边界条件。，而且要满足每一问题的初始条件与边界条件。 上述热传导方程的求解方法是相当复杂的，除了几上述热传导方程的求解方法是相当复杂的，除了几种简单的典型问题可以采用数学分析方法求解外，绝种简单的典型问题可以采用数学分析方法求解外，绝大部分问题常常需要采用特殊的方法，例如数值计算大部分问题常常需要采用特殊的方法，例如数值计算等方法进行求解。等方法进行求解。本章将主要针对以直角坐标系和柱本章将主要针对以直角坐标系和柱坐标系表达的某些简单的工程实际导热问题的求解方坐标系表达的某些简单的工程实际导热问题的求解方法进行研究。法进行研究。4化工传递过程基础 第一节第一节 稳态热传导稳态热传导 一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导 对于无内热源的一维稳态热传导，由于温度与时间对于无内热源的一维稳态热传导，由于温度与时间无关，无关， ，且无内热源，且无内热源， 。又设沿。又设沿x x或或r r方向进行一维导热，则热传导方程方向进行一维导热，则热传导方程(7-1)(7-1)、(7-2)(7-2)、(7-3)(7-3)可简化为一可简化为一维维的拉普拉斯方程，即的拉普拉斯方程，即直角坐标直角坐标柱坐标柱坐标5化工传递过程基础 球坐标球坐标 工程上一维工程上一维( (沿沿x x或或r r方向方向) )稳态热传导的例子很多，稳态热传导的例子很多，如方形燃烧炉的炉壁、蒸汽管的管壁、列管式换热器如方形燃烧炉的炉壁、蒸汽管的管壁、列管式换热器的管壁以及球形压力容器的器壁等。的管壁以及球形压力容器的器壁等。 ( (一一) )单层平壁一维稳态热传导单层平壁一维稳态热传导 单层平壁单层平壁( (如方形燃烧炉的炉壁如方形燃烧炉的炉壁) )沿一个方向的导热沿一个方向的导热问题是最简单的热传导问题，当导热系数问题是最简单的热传导问题，当导热系数k k 为常数时，为常数时，式式(7-4)(7-4)即为描述该导热过程的微分方程，即即为描述该导热过程的微分方程，即设边界条件为设边界条件为6化工传递过程基础 将式将式(7-7)(7-7)积分两次，可得积分两次，可得式中，式中， 为积分常数，代人边界条件为积分常数，代人边界条件(1)(1)，可求出，可求出 ；代入边界条件；代入边界条件(2),(2),可求出可求出 。将。将 代入式代入式(7-7)(7-7)，即可得到此情况下的温度分布方程为，即可得到此情况下的温度分布方程为 由式由式(7-8)(7-8)可知可知, ,平壁稳态热传导过程的温度分平壁稳态热传导过程的温度分布为一条直线。该式也可由傅立叶定律导出布为一条直线。该式也可由傅立叶定律导出 求出温度分布之后，便可进一步求出沿求出温度分布之后，便可进一步求出沿x x方向通过方向通过平壁的导热通量。根据傅立叶定律平壁的导热通量。根据傅立叶定律, ,通过某通过某x x处的导热处的导热通量通量q/A q/A 可表示为可表示为7化工传递过程基础 将式将式(7-8)(7-8)对对x x求导后代入上式，得求导后代入上式，得8化工传递过程基础 (二二) )单层单层筒筒壁的稳态热传导壁的稳态热传导 化工生产中，经常遇到筒壁的热传导问题，求解化工生产中，经常遇到筒壁的热传导问题，求解筒壁的径向热传导问题时，应用柱坐标系比较方便，筒壁的径向热传导问题时，应用柱坐标系比较方便，若筒壁的长度很长，若筒壁的长度很长，L Lr r，则沿轴向的导热可略去不，则沿轴向的导热可略去不计，于是可认为温度仅沿径向变化，在此情况下，描计，于是可认为温度仅沿径向变化，在此情况下，描述无内热源的一维稳态热传导方程为式述无内热源的一维稳态热传导方程为式(7-5)(7-5)，即，即 设边界条件为设边界条件为 9化工传递过程基础 将式将式(7-5)(7-5)积分两次，可得积分两次，可得式中，式中，C C1 1、C C2 2为积分常数，经向该式代人边界条件为积分常数，经向该式代人边界条件(1)(1)和和(2)(2)后，可得后，可得 将将C C1 1、C C2 2代人式代人式(7-11)(7-11) ，即可得到沿筒壁径向一维稳态即可得到沿筒壁径向一维稳态导热时的温度分布方程为导热时的温度分布方程为(7-12)(7-12)10化工传递过程基础 上式表明，通过筒壁进行径向一维稳态热传导时，温上式表明，通过筒壁进行径向一维稳态热传导时，温度分布是度分布是r r的对数函数。的对数函数。 通过半径为通过半径为r r的筒壁处的传热速率或热通量，可由的筒壁处的传热速率或热通量，可由柱坐标系的傅立叶定律导出即柱坐标系的傅立叶定律导出即 式中，式中，q q和和q qArAr分别为半径分别为半径r r处的导热速率和热通量；处的导热速率和热通量；ArAr为该处的导热面积，为该处的导热面积，ArAr=2=2丌丌rLrL，其中，其中L L为筒壁的长度；为筒壁的长度； 为该处的温度梯度。为该处的温度梯度。将式将式(7-12)(7-12)对对r r求导并代入式求导并代入式(7-13)(7-13)和式和式(7-13a)(7-13a)可得可得(7-13)7-13)11化工传递过程基础 式式(7-14)(7-14)即为单层筒壁的导热速率方程。以上诸式即为单层筒壁的导热速率方程。以上诸式表明，表明，尽管壁温、筒壁的传热面积和热通最均随半径尽管壁温、筒壁的传热面积和热通最均随半径r r而变，但传热速率在稳态时依然是常量，即而变，但传热速率在稳态时依然是常量，即式式(7-14)(7-14)亦可写成与平壁导热速率方程相类似的形式，即亦可写成与平壁导热速率方程相类似的形式，即将式将式(7-17)(7-17)与式与式(7-14)(7-14)对比，可知对比，可知(7-15)(7-15)(7-17(7-17)12化工传递过程基础 式中式中 简壁的对数平均半径；简壁的对数平均半径； 筒壁的对数平均面积。筒壁的对数平均面积。 应予指出，当应予指出，当 2 2时，上述各式中的对数平时，上述各式中的对数平均值可用算术平均值代替。均值可用算术平均值代替。 通常，筒壁的导热速率采用单位筒长来表示，则通常，筒壁的导热速率采用单位筒长来表示，则由式由式(7-14)(7-14)可得可得13化工传递过程基础 以上均假定导热系数以上均假定导热系数k k为与温度无关的常数。当为与温度无关的常数。当k k为为温度温度t t的线性函数时，上述各式中的导热系数的线性函数时，上述各式中的导热系数k k可采用可采用 、 算术平均温度下的值算术平均温度下的值 来代替。来代替。 二、有内热源的一维稳态热传导二、有内热源的一维稳态热传导 有内热源的导热设备，以柱体最为典型，例如核反有内热源的导热设备，以柱体最为典型，例如核反应堆的铀棒、管式固定床反应器和电热棒等。应堆的铀棒、管式固定床反应器和电热棒等。若柱体若柱体很长，且温度分布沿轴向对称，在此情况下的稳态导很长，且温度分布沿轴向对称，在此情况下的稳态导热问题，可视为沿径向的一维稳态热传导，热问题，可视为沿径向的一维稳态热传导，此时，柱此时，柱坐标下的能量方程式坐标下的能量方程式(7-2)(7-2)可化为可化为14化工传递过程基础 式式(7(7- -19)19)系用来描述具有内热源、沿径向作一维稳态系用来描述具有内热源、沿径向作一维稳态热传导时的微分方程。若内热源均匀，则热传导时的微分方程。若内热源均匀，则 为常数为常数。 结合具体的边界条件可求出柱体内的温度分布，为结合具体的边界条件可求出柱体内的温度分布，为此，将式此，将式(7-19)(7-19)进行第一次积分，进行第一次积分，得得再积分一次，又得再积分一次，又得 式中，式中， 为积分常数，可根据两个边界条件确定，为积分常数，可根据两个边界条件确定，具体方法参见例具体方法参见例7-17-1和例和例7-27-2。15化工传递过程基础 例例7-1 7-1 有一半径为有一半径为R R，长度为，长度为L L的实心圆柱体，其发热的实心圆柱体，其发热 速率为速率为 ，圆柱体的表面温度为，圆柱体的表面温度为 ，L LR R，温度仅，温度仅为径向距离的函数，设热传导是稳态的，圆柱体的导为径向距离的函数，设热传导是稳态的，圆柱体的导热系数热系数k k为常数，试求圆柱体内的温度分布及最高温度为常数，试求圆柱体内的温度分布及最高温度处的温度值。处的温度值。 解：柱体内一维径向稳态热传导时的温度分布方程为解：柱体内一维径向稳态热传导时的温度分布方程为依题意，设边界条件为依题意，设边界条件为16化工传递过程基础 边界条件边界条件(2)(2)表示稳态热传导时，圆柱体内的发热速表示稳态热传导时，圆柱体内的发热速率必等于表面热损失速率。率必等于表面热损失速率。 由由边界边界条件条件(2)(2)可得可得将上式代入式将上式代入式(7-20)(7-20)中，并取中，并取r=Rr=R，得，得故故 将将C Cl l=0=0及边界条件及边界条件(1)(1)代人式代人式(7-21)(7-21)中，得中，得故故 17化工传递过程基础 最后解出温度分布为最后解出温度分布为由于圆柱体向外导热，显然最高温度在圆柱体中心处，由于圆柱体向外导热，显然最高温度在圆柱体中心处，即即上式亦可写成无因次形式，即上式亦可写成无因次形式，即(上两式相比)18化工传递过程基础 【例例7-27-2】 有一外径为有一外径为4cm4cm、内径为、内径为1.5 cm1.5 cm、载有电、载有电流密度流密度I I为为5000 A5000 A 的内冷钢制导体。导体单位时的内冷钢制导体。导体单位时间发出的热量等于流体同时带走的热量，导体内壁面间发出的热量等于流体同时带走的热量，导体内壁面的温度为的温度为7070。假定外壁面完全绝热。试确定导体内。假定外壁面完全绝热。试确定导体内部的温度分布并求算导体内部最高温度处的温度值。部的温度分布并求算导体内部最高温度处的温度值。 已知钢的热传导系数已知钢的热传导系数k=380 wk=380 w( (m mK K) ) 电阻率电阻率解：由式解：由式(7-21)(7-21)出发，求出导体内部的温度分布。为出发，求出导体内部的温度分布。为此首先求出此首先求出 、 、 各值。各值。根据题意，可知本题的两个边界条件为根据题意，可知本题的两个边界条件为19化工传递过程基础 将边界条件将边界条件(2)(2)代人式代人式(7(720)20)中，得中，得由此得由此得再将边界条再将边界条件件(1)(1)代入式代入式(7-21)(7-21)中，得中，得解之得解之得20化工传递过程基础 将将C C1 1、C C2 2代入式代入式(7-21)(7-21)中，即可求出导体内部的温度中，即可求出导体内部的温度分布方程为分布方程为或或最高温度发生在外壁面处，该处最高温度发生在外壁面处，该处r r2 2=2cm =0.02 m=2cm =0.02 m，故，故21化工传递过程基础 三、二维稳态热传导三、二维稳态热传导 上面讨论的稳态热传导问题，其温度均可以用一个上面讨论的稳态热传导问题，其温度均可以用一个空间坐标的函数来表示，但空间坐标的函数来表示，但工程中还常遇到二维或三维工程中还常遇到二维或三维稳态热传导问题。对于这类问题，仅当边界条件比较简稳态热传导问题。对于这类问题，仅当边界条件比较简单时，才有可能应用分析解法，单时，才有可能应用分析解法，但求解过程相当麻烦，但求解过程相当麻烦，结果也很复杂，不便于工程应用。而对于边界条件比较结果也很复杂，不便于工程应用。而对于边界条件比较复杂的热传导问题，其分析求解就更加困难，有的甚至复杂的热传导问题，其分析求解就更加困难，有的甚至根本不能得到分析解，此时，根本不能得到分析解，此时，解决问题最有效的方法是解决问题最有效的方法是数值计算法，数值计算法，这种方法有许多优越性，特别是计算机的这种方法有许多优越性，特别是计算机的迅速发展，使得人们能够对以前认为不能求解的许多问迅速发展，使得人们能够对以前认为不能求解的许多问题得到数值解。题得到数值解。下面以无内热源的二维稳态热传导为下面以无内热源的二维稳态热传导为例，说明数值计算法的应用。例，说明数值计算法的应用。 22化工传递过程基础 ( (一一) )物体内部的结点温度方程物体内部的结点温度方程 无内热源的二维稳态热传导，在直角坐标系中以二无内热源的二维稳态热传导，在直角坐标系中以二维的拉普拉斯方程描述，即维的拉普拉斯方程描述，即根据上式求出的温度分布根据上式求出的温度分布t=t=f(zf(z，y)y)为一连续曲面，为一连续曲面，数值计算法的基础是将上述连续变化的偏微分方程用数值计算法的基础是将上述连续变化的偏微分方程用差分方程近似表达，从而求出温度分布。差分方程近似表达，从而求出温度分布。 如图如图7-17-1所示，将物体分割成若干个由所示，将物体分割成若干个由x x、y y组组成的小方格，分割线的交点称为结点，成的小方格，分割线的交点称为结点，x x及及y y的长的长度视对计算精度的要求选取，度视对计算精度的要求选取，x x或或y y越小，所得结越小，所得结果就越接近于真实温度分布，当然相应的计算量也就果就越接近于真实温度分布，当然相应的计算量也就越大。越大。 23化工传递过程基础 24化工传递过程基础 温度梯度可以写为温度梯度可以写为25化工传递过程基础 由此，可将式由此，可将式(7-22)(7-22)近似地写成差分形式，即近似地写成差分形式，即令令x=yx=y，上式化为，上式化为(7-23)(7-23)26化工传递过程基础 式式(7-23)(7-23)称为物体内部的结点温度分布方程，它表称为物体内部的结点温度分布方程，它表达任一结点达任一结点(i(i，j)j)的温度的温度t ti,ji,j与邻近四个结点温度之间与邻近四个结点温度之间的关系，即在无内热源的二维稳态温度场中，其内部的关系，即在无内热源的二维稳态温度场中，其内部某结点的温某结点的温度度可用邻近四个结点温度的算术平均值表可用邻近四个结点温度的算术平均值表示。示。显然，若将所有内部结点的温度分别与其相邻显然，若将所有内部结点的温度分别与其相邻的的四个结点的温度按式四个结点的温度按式(7-23)(7-23)的形式联系起来，便可建的形式联系起来，便可建立物体内部的结点温度方程组。立物体内部的结点温度方程组。 ( (二二) )物体边界上的结点温度方程物体边界上的结点温度方程 处于物体表面的结点，由于外界的影响，其温度处于物体表面的结点，由于外界的影响，其温度就不能应用式就不能应用式(7-23)(7-23)来表达，而要根据具体情况来来表达，而要根据具体情况来建立。建立。 27化工传递过程基础 简单的边界情况如图简单的边界情况如图7-2(a)7-2(a)(d)(d)所示，图所示，图7-2(a)7-2(a)为绝热边界，其余三种为对流边界，下面分别建立此为绝热边界，其余三种为对流边界，下面分别建立此四种边界情况下的结点温度方程，为简便计，推导时，四种边界情况下的结点温度方程，为简便计，推导时，均取垂直纸面的距离为单位长度。均取垂直纸面的距离为单位长度。 1 1绝热边界绝热边界28化工传递过程基础 29化工传递过程基础 如图如图7-2(a)7-2(a)所示，对虚线包围的微元体作热量衡算所示，对虚线包围的微元体作热量衡算, ,得得令令x=yx=y，则上式化为，则上式化为2 2对流边界对流边界如图如图7-2(b)7-2(b)所示，设周围流体主体温度为所示，设周围流体主体温度为t tb b且维持且维持不变，微元体表面与流体之间的对流传热系数为不变，微元体表面与流体之间的对流传热系数为h h，亦维持不变，对虚线包围的微元体作热量衡算，可亦维持不变，对虚线包围的微元体作热量衡算，可得得30化工传递过程基础 令令x=yx=y，则上式化为，则上式化为 同理可求得图同理可求得图7-2(c)7-2(c)中对流边界上的外角结点中对流边界上的外角结点( (i,ji,j) )的结点温度方程为的结点温度方程为 及图及图 7-2(d)7-2(d)中对流边界上的内角结点中对流边界上的内角结点( (i,ji,j) )的结点的结点温度方程为温度方程为31化工传递过程基础 ( (三三) )二维稳态温度场的结点温度方程组二维稳态温度场的结点温度方程组 式式(7-23)(7-23)、(7-24)(7-24)表达了无内热源二维稳态温度场表达了无内热源二维稳态温度场中结点温度之间的关系，各式均为线性代数方程。中结点温度之间的关系，各式均为线性代数方程。求求解温度场时，可根据物体内部及边界情况，并考虑精解温度场时，可根据物体内部及边界情况，并考虑精度要求，将物体分割成若干个等边的小方格，将分割度要求，将物体分割成若干个等边的小方格，将分割线的交点统一编号，线的交点统一编号，i=li=l，2 2，3 3，n n，然后根据每，然后根据每个结点所在的位置，分别写出相应的结点温度方程，个结点所在的位置，分别写出相应的结点温度方程，从而得到整个温度场的结点温度方程组，即从而得到整个温度场的结点温度方程组，即 32化工传递过程基础 式中，式中， 和和 ( (i,ji,j=1=1，2 2，n)n)均为常数；均为常数； (i=1 (i=1，2 2，n)n)为未知温度，式为未知温度，式(7-25)(7-25)为线性方为线性方程组，共有程组，共有n n个方程个方程, ,未知温度亦为未知温度亦为n n个，求解此方程个，求解此方程组即可得出组即可得出 的数值，于是整个温度场即的数值，于是整个温度场即可解出。可解出。 【例例7-37-3】如附图所示，某一边长为如附图所示，某一边长为1m1m的正方形物的正方形物体，体，左侧面恒温为左侧面恒温为100100，顶面恒温为，顶面恒温为500500，其余，其余两侧面暴露在对流环境中，环境温度为两侧面暴露在对流环境中，环境温度为100100。已知。已知物体导热系数为物体导热系数为l0(ml0(m)，物体与环境的对流传热，物体与环境的对流传热系数为系数为10 W/( 10 W/( )，试建立，试建立1 19 9各结点的温度方各结点的温度方程组并求出各点的温度值。程组并求出各点的温度值。 求解上述结点温度方程组可采用求逆矩阵法求解上述结点温度方程组可采用求逆矩阵法,迭代法迭代法 和高斯消去法等。和高斯消去法等。 33化工传递过程基础 (1)(1)建立结点温度方程组建立结点温度方程组 由于内部和边界上的结点温由于内部和边界上的结点温度方程不同，今以内部结点度方程不同，今以内部结点1 1及边界上的结点及边界上的结点3 3、9 9为代为代表建立各结点温度方程。表建立各结点温度方程。 对于结点对于结点l l，应用式，应用式(7-24a)(7-24a)，得，得结点结点3 3为一般对流边界上的点，应用式为一般对流边界上的点，应用式(7-24b)(7-24b)得得34化工传递过程基础 35化工传递过程基础 代人数据，得代人数据，得结点结点9 9为对流边界外角上的点，应用式为对流边界外角上的点，应用式(7-24c)(7-24c)得得代人数据，得代人数据，得 其余各结点的温度方程可用相应的方程建立，最后其余各结点的温度方程可用相应的方程建立，最后得得l l9 9各点的结点温度方程组为各点的结点温度方程组为36化工传递过程基础 37化工传递过程基础 (2)(2)各点的温度数值的计算结果各点的温度数值的计算结果 采用求逆矩阵法求解上述方程组，可得采用求逆矩阵法求解上述方程组，可得() () 38化工传递过程基础 第二节第二节 不稳态热传导不稳态热传导 物体内任一点的温度均随时间而变的导热称为不稳物体内任一点的温度均随时间而变的导热称为不稳态导热。态导热。在工程实际中，经常遇到不稳态导热问题，在工程实际中，经常遇到不稳态导热问题，例如燃烧炉的点火升温过程和熄火降温过程、金属的例如燃烧炉的点火升温过程和熄火降温过程、金属的熔化、淬火等热加工处理均为不稳态导热。熔化、淬火等热加工处理均为不稳态导热。此外有些此外有些稳态导热问题，在其初始阶段也常存在不稳态导热过稳态导热问题，在其初始阶段也常存在不稳态导热过程，如燃烧炉的点火阶段即是如此。程，如燃烧炉的点火阶段即是如此。 由于不稳态导热过程中的温度既与时间有关又与位置由于不稳态导热过程中的温度既与时间有关又与位置有关，故其求解要较稳态导热问题复杂得多。有关，故其求解要较稳态导热问题复杂得多。通常求通常求解不稳态导热问题时，需应用热传导方程解不稳态导热问题时，需应用热传导方程(7-1)(7-1)、(7-(7-2)2)或或(7-3)(7-3)，并需满足具体的初始条件及边界条件。通，并需满足具体的初始条件及边界条件。通过求解满足这些定解条件的偏微分方程，求得温度分过求解满足这些定解条件的偏微分方程，求得温度分布随时布随时间间的变化关系，从而求得特定时刻的传热速率。的变化关系，从而求得特定时刻的传热速率。39化工传递过程基础 初始条件是指在导热过程开始的瞬时，物体内部的初始条件是指在导热过程开始的瞬时，物体内部的温度分布情况。温度分布情况。边界条件视具体情况一般可分为三类：边界条件视具体情况一般可分为三类：第一类边界条件是给出任何时刻物体端面的温度分布；第一类边界条件是给出任何时刻物体端面的温度分布；第二类边界条件是给出所有时刻物体端面处的导热通第二类边界条件是给出所有时刻物体端面处的导热通量；第三类边界条件是物体端面与周围流体介质进行量；第三类边界条件是物体端面与周围流体介质进行热交换，端而处的导热速率等于端面与流体之间对流热交换，端而处的导热速率等于端面与流体之间对流传热速率。传热速率。 不稳态导热过程中的传热速率取决于介质内部热阻不稳态导热过程中的传热速率取决于介质内部热阻和表面热阻，根据它们的相对大小和表面热阻，根据它们的相对大小不稳态导热过不稳态导热过程程可可以分为三种情况，即忽略内部热阻、忽略表面热阻和以分为三种情况，即忽略内部热阻、忽略表面热阻和两种热阻都不能忽略。两种热阻都不能忽略。40化工传递过程基础 一、忽略内部热阻的不稳态导热与集总热容法一、忽略内部热阻的不稳态导热与集总热容法 内部热阻可忽略的不稳态导热问题是一种最简单的内部热阻可忽略的不稳态导热问题是一种最简单的不稳态导热问题，不稳态导热问题，若固体的导热系数很大或内热阻很若固体的导热系数很大或内热阻很小，而环境流体与该固体表面之间的对流传热热阻又小，而环境流体与该固体表面之间的对流传热热阻又比较大时，便可忽略内热阻比较大时，便可忽略内热阻，即认为在任一时刻固体，即认为在任一时刻固体内部各处的温度均匀一致。这种假设物体内部热阻与内部各处的温度均匀一致。这种假设物体内部热阻与外部热阻相比，可忽略不计的一种分析方法称为集总外部热阻相比，可忽略不计的一种分析方法称为集总热容法。热容法。 例如有一个热的金属小球，被浸泡在冷的油类或其例如有一个热的金属小球，被浸泡在冷的油类或其他流体中他流体中( (参见图参见图7-3)7-3)，显然小球的温度分布除与其材显然小球的温度分布除与其材质的导热系数有关外，还和小球表面与周围流体的对质的导热系数有关外，还和小球表面与周围流体的对流传热系数有关。假定流传热系数有关。假定小球导热良好，其导热热阻比小球导热良好，其导热热阻比表面对流热阻小得多表面对流热阻小得多，则主要的温度梯度将产生于小，则主要的温度梯度将产生于小球表面的流体层内，而小球本身的温度在任一瞬时球表面的流体层内，而小球本身的温度在任一瞬时41化工传递过程基础 42化工传递过程基础 均可认为是均匀一致的。均可认为是均匀一致的。 设金属球的密度为设金属球的密度为 ，比热容为，比热容为c c，体积为，体积为V V，表面，表面积为积为A A，初始温度均匀，为，初始温度均匀，为 ，环境流体的主体温度恒，环境流体的主体温度恒定，为定，为 。流体与金属球表面的对流传热系数为。流体与金属球表面的对流传热系数为h h，且，且不随时间而变不随时间而变。又设在又设在 时间内，金属球的温度变化时间内，金属球的温度变化为为dtdt。根据热量衡算，整个金属球的放热速率应等于其。根据热量衡算，整个金属球的放热速率应等于其表面与流体间的对流传热速率，即表面与流体间的对流传热速率，即初始条件为初始条件为 43化工传递过程基础 式中，式中，t t为任一瞬时金属球表面的温度，由于金属球为任一瞬时金属球表面的温度，由于金属球的内热阻可以忽略不计，故金属球各点的温度均为的内热阻可以忽略不计，故金属球各点的温度均为t t0 0式中的式中的“负负”号表示球内的温度随时间而降低。号表示球内的温度随时间而降低。由于由于物体的温度仅随时间改变而与位置无关，因此不存在物体的温度仅随时间改变而与位置无关，因此不存在边界条件。边界条件。 令令 ，则式，则式(7-26)(7-26)可化为可化为初始条件为初始条件为 积分式积分式(7-27)(7-27)得得44化工传递过程基础 或或式式(7-28)(7-28)即为忽略物体内热阻情况下，物体温度与时间即为忽略物体内热阻情况下，物体温度与时间的定量关系式。的定量关系式。 式式(7-28)(7-28)中右侧指数中的量还可以写成如下形式中右侧指数中的量还可以写成如下形式式式(7-29)(7-29)右侧的两个数群都是无因次的，现在对该二右侧的两个数群都是无因次的，现在对该二数群的物理意义作进一步分析。数群的物理意义作进一步分析。 (7-28)(7-28)45化工传递过程基础 第一个数群第一个数群 称为毕渥数，记为称为毕渥数，记为BiBi，即，即 由于毕渥数中的由于毕渥数中的V VA A具有长度因次具有长度因次( (以以 表示表示) )，故毕，故毕渥数的物理意义为渥数的物理意义为 即毕渥数表示了物体内部的导热热阻与表面对流热阻即毕渥数表示了物体内部的导热热阻与表面对流热阻之比。之比。BiBi值大时，表示传热过程中物体内部的导热热值大时，表示传热过程中物体内部的导热热阻起控制作用，阻起控制作用，物体内部存在较大的温度梯度，此时物体内部存在较大的温度梯度，此时系统的传热不能采用集总热容法处理；反之系统的传热不能采用集总热容法处理；反之BiBi值小时，值小时，则表示物体内部的热阻很小，表面对流传热的热则表示物体内部的热阻很小，表面对流传热的热(7-30)(7-30)46化工传递过程基础 阻起控制作用，物体内部的温度梯度很小，在同一瞬阻起控制作用，物体内部的温度梯度很小，在同一瞬时各处温度较为均匀。时各处温度较为均匀。研究表明，当研究表明，当Bi0.1Bi0.1时，系统时，系统的传热可采用集总热容法处理，的传热可采用集总热容法处理，此时用式此时用式(7-28)(7-28)计算计算物体温度与时间的关系，其结果与实际比较，误差不物体温度与时间的关系，其结果与实际比较，误差不超过超过5 5。因此，求解不稳态传热问题时，首先要计算。因此，求解不稳态传热问题时，首先要计算BiBi的值，视其是否小于的值，视其是否小于0.10.1，以便确定该传热问题能否，以便确定该传热问题能否采用集总热容法处理。采用集总热容法处理。第二个数群第二个数群 称为称为“傅立叶数傅立叶数”，记为，记为F F0 0，即，即傅立叶数的物理意义表示时间之比，即无因次时间。傅立叶数的物理意义表示时间之比，即无因次时间。 将式将式(7-30)(7-30)、(7-31)(7-31)代入式代入式(7-28)(7-28)中，得中，得(7-31)(7-31)47化工传递过程基础 【例例7-47-4】 有一半径有一半径r r0 0为为25 mm25 mm的钢球，初始温度均匀，的钢球，初始温度均匀，为为700 K700 K，突然将此球放入某流体介质中，介质的温度，突然将此球放入某流体介质中，介质的温度恒定，为恒定，为400 K400 K。假定钢球表面与流体之间的对流传热。假定钢球表面与流体之间的对流传热系数为系数为h=11.36 wh=11.36 w ，且不随温度而变。钢球，且不随温度而变。钢球的物性值为：导热系数的物性值为：导热系数k=43.3 wk=43.3 w( (m mK K) )密度密度 ，比热容，比热容c=0.46 kJc=0.46 kJ( (kgkgK K) )。试计算。试计算1 1小时后钢球的小时后钢球的温度。温度。解：由于解：由于h h值较小，值较小，k k值较大，估计可以采用集总热值较大，估计可以采用集总热容法，为此首先计算容法，为此首先计算BiBi数。数。48化工传递过程基础 49化工传递过程基础 故故故可用式故可用式(7-28)(7-28)计算计算l l小时后钢球的温度。小时后钢球的温度。式中式中代人式代人式(7-28)(7-28)中，得中，得即即50化工传递过程基础 二、忽略表面热阻的不稳态导热二、忽略表面热阻的不稳态导热 忽略表面热阻的不稳态导热过程发生在表面热阻比忽略表面热阻的不稳态导热过程发生在表面热阻比内热阻小的时候，即内热阻小的时候，即BiBi0.10.1时，时，由于表面热阻可略，由于表面热阻可略，故表面温度故表面温度 0 0 的所有时间内均为一个常数，的所有时间内均为一个常数，其数值基本上等于环境温度。其数值基本上等于环境温度。此类过程中以半无限大此类过程中以半无限大固体的不稳态导热和大平板的不稳态导热问题最为典固体的不稳态导热和大平板的不稳态导热问题最为典型，现分述如下。型，现分述如下。 ( (一一) )半无限大固体的不稳态导热半无限大固体的不稳态导热 如图如图7-47-4所示，有一半无限大固体，其左端平面位所示，有一半无限大固体，其左端平面位于于yozyoz平面上，右端为无限。该物体可以是无限厚的平平面上，右端为无限。该物体可以是无限厚的平板或无限长的固体等。在导热开始时，物体的初始温板或无限长的固体等。在导热开始时，物体的初始温度为度为t t0 0，然后突然将左端面的温度变为，然后突然将左端面的温度变为tsts，且维持不变。，且维持不变。假设除物体的左右两端面外，其他表面均绝热。假设除物体的左右两端面外，其他表面均绝热。51化工传递过程基础 52化工传递过程基础 由于右端面在无穷远处，故其温度在整个过程中均由于右端面在无穷远处，故其温度在整个过程中均维持导热开始时的初始温度维持导热开始时的初始温度t t0 0不变。不变。 实际上遇到的物体不会是无限厚或无限长，但相当实际上遇到的物体不会是无限厚或无限长，但相当厚厚( (如某些墙壁如某些墙壁) )或相当长的柱体或相当长的柱体( (如长棒如长棒) )可近似地视可近似地视为无限厚或无限长的固体为无限厚或无限长的固体，此时，可将这类物体的导，此时，可将这类物体的导热问题视为只沿热问题视为只沿x x方向进行的一维导热问题处理。方向进行的一维导热问题处理。 上述情况下的热传导方程可写为上述情况下的热传导方程可写为初始条件和边界条件为初始条件和边界条件为(7-33)(7-33)53化工传递过程基础 上述定解问题可采用拉普拉斯变换法和合成变量法上述定解问题可采用拉普拉斯变换法和合成变量法两种方法求解，本书仅介绍后两种方法求解，本书仅介绍后一种求一种求解方法。解方法。 合成变量法是求解偏微分方程常用的一种方法，适合成变量法是求解偏微分方程常用的一种方法，适用于可将两个定解条件合并为一用于可将两个定解条件合并为一个定个定解条件的定解问解条件的定解问题。此时通过引入包含两个原变量的新变量，而将原题。此时通过引入包含两个原变量的新变量，而将原来的偏微分方程化来的偏微分方程化为常为常微分方程，从而降低方程求解微分方程，从而降低方程求解的难度。的难度。 为了将式为了将式(7-33)(7-33)化为常微分方程，首先引入一个与化为常微分方程，首先引入一个与位置、时间有关的新变量位置、时间有关的新变量 ，令，令于是可写出于是可写出(7-35)(7-35)54化工传递过程基础 将式将式(7-35)(7-35)和和(7-36)(7-36)代人式代人式(7-33)(7-33)中，得中，得或或(7-36)(7-36)55化工传递过程基础 式式(7-37)(7-37)中的自变量仅有一个中的自变量仅有一个 ，于是可将该，于是可将该式写成常微分方程形式，即式写成常微分方程形式，即由此可见，向原偏微分方程由此可见，向原偏微分方程(7-33)(7-33)引入一个新的自变引入一个新的自变量量 后，便可将其化为容易求解的常微分方程后，便可将其化为容易求解的常微分方程(7-38)(7-38)。 常微分方程常微分方程(7-38)(7-38)对应的初始条件和边界条件为对应的初始条件和边界条件为为求解上述定解问题，令为求解上述定解问题，令(7-38)(7-38)56化工传递过程基础 将式将式(7-39)(7-39)代人式代人式(7-38)(7-38)中，得中，得将式将式(7-40)(7-40)分离变量并积分得分离变量并积分得将上式积分得将上式积分得57化工传递过程基础 式式(7-42)(7-42)中的中的C C1 1、C C2 2为积分常数，可根据定解为积分常数，可根据定解条件条件(1)(1)、(2)(2)确定。确定。将定解条件将定解条件(2)(2)代入式代入式(7-42)(7-42)中，得中，得故得故得再将定解条件再将定解条件(1)(1)和和C C2 2值代人式值代人式(7-42)(7-42)中，得中，得故得故得58化工传递过程基础 将将C Cl l和和C C2 2值代人式值代人式(7-42)(7-42)中，得中，得或或 式式(7-44)(7-44)中的中的erferf( ( ) )或或erferf( )( )称为高斯误差称为高斯误差积分或误差函数，即积分或误差函数，即(7-44)(7-44)59化工传递过程基础 erferf( )( )与与 的对应值可由附录的对应值可由附录B B中查得，也可由有中查得，也可由有关数学于册查得。关数学于册查得。 式式(7-44)(7-44)即为半无限固体在加热或冷却过程中不即为半无限固体在加热或冷却过程中不同时刻的温度分布方程，式中同时刻的温度分布方程，式中 可视为可视为在在 瞬时物体某一位置瞬时物体某一位置x x处的温度处的温度t t与左端面温度与左端面温度tsts之之差与最大温度差之比。图差与最大温度差之比。图7-5(a)7-5(a)是冷却过程的情况，是冷却过程的情况，物体的初始温度为物体的初始温度为t t0 0，左端面突然降温至，左端面突然降温至tsts，故，故tststtt0 0，最大温度差为，最大温度差为(ts-t(ts-t0 0) )，其中其中( (ts-tts-t) )表示在表示在 瞬时物体端面温度瞬时物体端面温度tsts与某一位置与某一位置x x处的温度处的温度t t之差。之差。60化工传递过程基础 61化工传递过程基础 当当 时，表示物体某位置时，表示物体某位置x x处的处的温度已经冷却或加热到了左端面的温度温度已经冷却或加热到了左端面的温度tsts，此时由式，此时由式(7-44)(7-44)知知由附录由附录B B中查得中查得由于由于x x为一有限值，故有为一有限值，故有 ，即需要无限长时间，即需要无限长时间物体各处物体各处( (除左端面外除左端面外) )才能达到左端面的温度才能达到左端面的温度tsts。但。但实际情况是，经过某一足够长的时间之后，实际情况是，经过某一足够长的时间之后，t t开始以渐开始以渐近的方式趋近于近的方式趋近于tsts。62化工传递过程基础 下面应用温度分布方程和傅立叶定律计算半无限固下面应用温度分布方程和傅立叶定律计算半无限固体不稳态导热时的热流速率。体不稳态导热时的热流速率。 半无限大物体的初始温度为半无限大物体的初始温度为t t0 0，当其左端面温度突，当其左端面温度突然变为然变为tsts且维持不变时，单位时间经左端面流入物体且维持不变时，单位时间经左端面流入物体或自物体流出的热量可根据傅立叶定律计算。设左端或自物体流出的热量可根据傅立叶定律计算。设左端面的面积为面的面积为A A，则瞬时的导热通量，则瞬时的导热通量 为为 式式(7-45)(7-45)中的偏导中的偏导 可分别由式可分别由式(7-43)(7-43)和和式式(7-34)(7-34)计算，即计算，即(7-45)(7-45)63化工传递过程基础 及及故故将上式代人式将上式代人式(7-45)(7-45)中，得中，得64化工传递过程基础 将上式积分，得将上式积分，得式式(7-46)(7-46)即为不稳态导热过程中，瞬时通过即为不稳态导热过程中，瞬时通过x =0x =0平面平面的热通量表达式。在的热通量表达式。在0 0 时间内通过时间内通过x x =0=0平面的总热平面的总热量量Q Q0 0为为 对于半无限固体不稳态导热实际应用的实例有：地对于半无限固体不稳态导热实际应用的实例有：地面气温突然变化时土壤温度随之变化的问题；大建筑面气温突然变化时土壤温度随之变化的问题；大建筑物表面温度变化时内部温度随之变化的问题；大块钢物表面温度变化时内部温度随之变化的问题；大块钢锭的热处理问题等等。锭的热处理问题等等。65化工传递过程基础 【例例7-57-5】 有一块具有两平行端面的长铝板，除两端有一块具有两平行端面的长铝板，除两端面外，铝板周围绝热，初始温度均匀，为面外，铝板周围绝热，初始温度均匀，为200200。突然。突然将铝板的一个端面的温度降至将铝板的一个端面的温度降至7070并维持不变。试求并维持不变。试求 (1)(1)距降温面距降温面4cm4cm处的温度降至处的温度降至120120时所需的时间；时所需的时间； (2)(2)在上述时间范围内通过单位端面积的总热量。在上述时间范围内通过单位端面积的总热量。 已知铝板的导热系数为已知铝板的导热系数为215 W215 W( (m mK K) )， 导温系数导温系数 。 解：本题为半无限固体的冷却问题，可应用式解：本题为半无限固体的冷却问题，可应用式(7-(7-44)44)和和(7-47)(7-47)求解。求解。由题设：由题设：t t0 0=200=200，tsts=70=70，x=0.04 mx=0.04 m，t=120t=120由式由式(7-44)(7-44)，得，得66化工传递过程基础 此情况下通过单位端面积的总热量可由式此情况下通过单位端面积的总热量可由式(7-47)(7-47)计计算，即算，即故故由附录中查得由附录中查得即即故得故得67化工传递过程基础 ( (二二) )两个端面均维持恒定温度的大平板的不稳态导热两个端面均维持恒定温度的大平板的不稳态导热 具有具有两个平行端面的大平板中两个平行端面的大平板中的导热问题，可视为的导热问题，可视为一维导热问题处理。在此情况下，假定除垂直于一维导热问题处理。在此情况下，假定除垂直于平板平板两端两端面的方面的方向外，向外，其他侧其他侧面面上所传导的热量均可忽略上所传导的热量均可忽略不计。例如侧面方向为无限大的扁平板或侧面虽不很不计。例如侧面方向为无限大的扁平板或侧面虽不很大，但绝热良好的薄平板、短棒条等均属于此类。对大，但绝热良好的薄平板、短棒条等均属于此类。对这类导热问题，常见的边界条件有两类：一类是两个这类导热问题，常见的边界条件有两类：一类是两个端面均维持恒定温度，属于第一类边界条件；另端面均维持恒定温度，属于第一类边界条件；另一类是两个端而与周围流体介质进行热交换，属于第一类是两个端而与周围流体介质进行热交换，属于第三类边界条件。本节首先对平板两端面维持恒定的条三类边界条件。本节首先对平板两端面维持恒定的条件即第一类边界条件进行研究，至于具有第三类边界件即第一类边界条件进行研究，至于具有第三类边界条件的导热问题，将在下一节讨论。条件的导热问题，将在下一节讨论。68化工传递过程基础 69化工传递过程基础 上面已经假定两个端面相互平行，设其间距为上面已经假定两个端面相互平行，设其间距为2L2L，平板的初始温度各处均匀为平板的初始温度各处均匀为t t0 0。现令两个端面的温度。现令两个端面的温度突然变为突然变为tsts，且在整个导热过程中维持不变。，且在整个导热过程中维持不变。 此类导热问题的热传导方程仍为式此类导热问题的热传导方程仍为式(7-33)(7-33)。为了使。为了使该方程的求解过程简化，可取平板的一半进行研究。该方程的求解过程简化，可取平板的一半进行研究。由于大平板的温度分布在中心面两附侧完全对称，故由于大平板的温度分布在中心面两附侧完全对称，故可将板的中心定为坐标原点，如图可将板的中心定为坐标原点，如图7 76 6所示。于足热所示。于足热传导方程及相应的初始条件和边界条件为传导方程及相应的初始条件和边界条件为初始条件初始条件边界条件边界条件70化工传递过程基础 边界条件边界条件 是由于平板内的温度分布沿是由于平板内的温度分布沿中心面对称之故。中心面对称之故。 在满足上述初始条件及边界条件的情况下，可采用在满足上述初始条件及边界条件的情况下，可采用分离变量法求解热传导方程分离变量法求解热传导方程(7-33)(7-33)。 为了使求解过程简化，首先将边界条件齐次化。为为了使求解过程简化，首先将边界条件齐次化。为此，引人无因次温度此，引人无因次温度 、无因次长度、无因次长度 及无因次时及无因次时间间( (傅立叶数傅立叶数) ) 来分别代替温度来分别代替温度t t，长度，长度x x和时间和时间 ，它们的定义分别为它们的定义分别为71化工传递过程基础 将式将式(7-48)(7-48)、(7-49)(7-49)和和(7-50)(7-50)代人式代人式(7-33)(7-33)中，得中，得相应的定解条件变为相应的定解条件变为式式(7-51)(7-51)中的中的 和和 为自变量，而为自变量，而 为函数。为函数。 式式(7-51)(7-51)为线性齐次偏微分方程，可采用分离变量为线性齐次偏微分方程，可采用分离变量法求解，为此法求解，为此将两个自变量的函数将两个自变量的函数 ( ( ， ) )表示为表示为两个函数两个函数X( )X( )和和Y( )Y( )的乘积，即的乘积，即72化工传递过程基础 式式(7-52)(7-52)中的中的X( )X( )仅为仅为 的函数，与的函数，与 无关；而无关；而Y( Y( ) )仅为仅为 的函数，与的函数，与 无关，于是可写出如下两个方无关，于是可写出如下两个方程，即程，即 将上二式代人式将上二式代人式(7-51)(7-51)中，得中，得上式分离变量，得上式分离变量，得73化工传递过程基础 式式(7-53)(7-53)中中等号左侧的函数仅与等号左侧的函数仅与 有关，而右侧的函有关，而右侧的函数仅与数仅与 有关，故上式的左右两侧只有同时等于某一有关，故上式的左右两侧只有同时等于某一个常数时，该式才能成立，即个常数时，该式才能成立，即由数学分析可知，只有当上式中的常数小于零时，该由数学分析可知，只有当上式中的常数小于零时，该式才可能有满足定界条件的非零解，故将该式的常数式才可能有满足定界条件的非零解，故将该式的常数值设为值设为( )( )，于是式，于是式(7-54)(7-54)可以改写成如下两个可以改写成如下两个常微分方程，即常微分方程，即 分别对上两式求解，可得分别对上两式求解，可得74化工传递过程基础 将式将式(7-57)(7-57)、(7-58)(7-58)代入式代入式(7-52)(7-52)中，即可求中，即可求 得得 的解为的解为或或式中的式中的A=CA=C1 1C C3 3，B=CB=C2 2C C3 3。 为特征值，为特征值，A A、B B为积分常数，为积分常数，它们可以利用定解条件它们可以利用定解条件(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)确定。确定。 首先应用边界条件首先应用边界条件(3)(3)， ，为了利，为了利用此条件，可将式用此条件，可将式(7-59)(7-59)对对 求导数，即求导数，即(7-59)(7-59)75化工传递过程基础 将边界条件将边界条件(3)(3)代入式代入式(7-60)(7-60)中，得中，得于是式于是式(7-59)(7-59)变为变为由于由于 , ,故故下而再将边条件下而再将边条件(2),(2),即即 代入式代入式(7-62)(7-62)中中, ,得得为了使式为了使式(7-51)(7-51)有非零的特解，式有非零的特解，式(7-59)(7-59)中的常数中的常数A A和和B B不能同时为零，由于已经有不能同时为零，由于已经有A=0A=0，故，故B B0 0，则由式，则由式(7-63)(7-63)可得可得76化工传递过程基础 由式由式(7-64)(7-64)可知，特征值可知，特征值 可以有无限多个，即可以有无限多个，即将式将式(7-65)(7-65)中的中的 值代入式值代入式(7-62)(7-62)中，得中，得式式(7-66)(7-66)为式为式(7-51)(7-51)的一个特解，的一个特解，由于式由于式(7-51)(7-51)的线的线性齐次性，故其通解应为所有特解的线性组合性齐次性，故其通解应为所有特解的线性组合，即，即77化工传递过程基础 最后将初始条件最后将初始条件(1)(1)，即，即 代入上式，即可求代入上式，即可求出常数出常数BiBi，即，即上式为一傅立叶级数，上式为一傅立叶级数，BiBi为傅氏系数，由正交性原理可得为傅氏系数，由正交性原理可得将上式积分得将上式积分得解之得解之得78化工传递过程基础 将将BiBi值代人式值代人式(7-67)(7-67)中，最后可得中，最后可得 的表达式为的表达式为或或式式(7-71)(7-71)即为式即为式(7-33)(7-33)的解，它同时满足定解条件的解，它同时满足定解条件(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)。该式表示平板两个平行端面维持恒温情况下。该式表示平板两个平行端面维持恒温情况下进行导热时某瞬间板内的温度分布。进行导热时某瞬间板内的温度分布。应用上式可由给定应用上式可由给定的时间和位置定出的时间和位置定出 ，然后通过该式计算，然后通过该式计算 ，最后即可得到给定时间和给定位置条件下的温度最后即可得到给定时间和给定位置条件下的温度t t值。值。79化工传递过程基础 【例例7-67-6】一块厚度为一块厚度为13 mm13 mm的钢板，其初始温度均匀，的钢板，其初始温度均匀，为为3535。现突然将其置于某介质中，使其两端温度骤。现突然将其置于某介质中，使其两端温度骤然升至然升至146146，并维持此温度不变。试求钢板中心面，并维持此温度不变。试求钢板中心面温度上升至温度上升至145145时所经历的时间。已知钢的导温系时所经历的时间。已知钢的导温系数为数为 。 解：设平板中心面处的温度为解：设平板中心面处的温度为t tc c，在该处，在该处，x=0x=0或或 ，故式，故式(7-71)(7-71)可化简为可化简为依题意依题意故得故得80化工传递过程基础 欲从上式解出欲从上式解出 ，须先求解，须先求解 。采用迭代法，作为第。采用迭代法，作为第一次近似，仅取右侧级数的第一项，经计算得一次近似，仅取右侧级数的第一项，经计算得故得故得然后再验算级数中第二项以后的各项是否能够忽略不计。然后再验算级数中第二项以后的各项是否能够忽略不计。当当F F0 0=2.006=2.006时，级数为时，级数为由上式可以看出本题条件下该级数收敛很快，故仅取由上式可以看出本题条件下该级数收敛很快，故仅取级数的第一项即可，上述计算结果正确。级数的第一项即可，上述计算结果正确。81化工传递过程基础 三、内部热阻和表面热阻均不能忽略时的三、内部热阻和表面热阻均不能忽略时的 大平板的不稳态导热大平板的不稳态导热 上面讨论了两个端面温度均维持恒定时的大平板的上面讨论了两个端面温度均维持恒定时的大平板的不稳态导热问题，即第一类边界条件，本节讨论在工不稳态导热问题，即第一类边界条件，本节讨论在工程实际中更为常见的两平板端面与周围介质有热交换程实际中更为常见的两平板端面与周围介质有热交换时的不稳态导热问题。显然此类问题的边界条件属于时的不稳态导热问题。显然此类问题的边界条件属于第三类边界条件。第三类边界条件。 假定大平板的厚度为假定大平板的厚度为2L2L，其初始温度均匀为，其初始温度均匀为t t0 0，然，然后突然将其置于主体温度为后突然将其置于主体温度为t tb b的流体中，两端面与流的流体中，两端面与流体之间的对流传热系数体之间的对流传热系数h h为已知。热流沿为已知。热流沿x x方向，亦即方向，亦即沿垂直于两端面的方向进行流动。在此情况下的热传沿垂直于两端面的方向进行流动。在此情况下的热传导方程仍为式导方程仍为式(7-33)(7-33)，即，即82化工传递过程基础 83化工传递过程基础 初始条件和边界条件为初始条件和边界条件为边界条件中的边界条件中的 为任一瞬时平板表面的温度，此温为任一瞬时平板表面的温度，此温度随时间而变；度随时间而变； 为流体介质的主体温度，假定为恒为流体介质的主体温度，假定为恒定值。定值。采用分离变量法对上述热传导方程求解并使其满足定采用分离变量法对上述热传导方程求解并使其满足定解条件解条件(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)，结果为，结果为84化工传递过程基础 式中，式中， 为特征值，通过下式确定为特征值，通过下式确定通常将特征值通常将特征值 以以 表示，即表示，即将上式代人式将上式代人式(7-72)(7-72)中，最后得温度分布方程为中，最后得温度分布方程为式式(7-75)(7-75)表述了大平板两端面与周围介质有热交换时表述了大平板两端面与周围介质有热交换时平板内部的温度随时间的变化规律，式中的平板内部的温度随时间的变化规律，式中的 值通过值通过式式(7-73)(7-73)和和(7-74)(7-74)确定。确定。(7-73)(7-73)(7-74)(7-74)(7-75)(7-75)85化工传递过程基础 在工程实际中，应用式在工程实际中，应用式(7-75)(7-75)计算计算t t与与x x、 的关系相的关系相当麻烦，一般采用如图当麻烦，一般采用如图7-77-7所示的简易图算法。该图是所示的简易图算法。该图是将式将式(7-75)(7-75)无因次化后绘制而成。无因次化后绘制而成。图中的四个无因次图中的四个无因次数群为无因次温度数群为无因次温度相对热阻相对热阻无因次时间无因次时间相对位置相对位置86化工传递过程基础 上面四个无因次数群中各物理量的含义如下：上面四个无因次数群中各物理量的含义如下： 物体的初始温度；物体的初始温度； 周围流体介质的温度，为恒定值；周围流体介质的温度，为恒定值； 某一瞬时、某一位置处的温度；某一瞬时、某一位置处的温度； 物体表面与周围流体介质之间的对流传热系数；物体表面与周围流体介质之间的对流传热系数； 分别为物体的导热系数和导温系数；分别为物体的导热系数和导温系数； 平板的半厚度或由绝热面算起的厚度平板的半厚度或由绝热面算起的厚度 相当相当 于式于式(7-75)(7-75)或图或图7-67-6中的中的 值值 ； 菜一瞬时由平板中心面或绝热面至某点的距离。菜一瞬时由平板中心面或绝热面至某点的距离。87化工传递过程基础 图图7-77-7适用于平板的一维导热计算。这种简易图算适用于平板的一维导热计算。这种简易图算法也可以推广至圆柱体和球体。法也可以推广至圆柱体和球体。图图7-87-8、图、图7-97-9分别为分别为具有第三类边界条件的长圆柱体和球体不稳态导热的具有第三类边界条件的长圆柱体和球体不稳态导热的简易算图，在应用这些算图时，注意简易算图，在应用这些算图时，注意x x1 1表示圆柱的半表示圆柱的半径或球体的半径，径或球体的半径，x x为由柱体中心或球心到某点的径向为由柱体中心或球心到某点的径向距离，其他符号的含义与图距离，其他符号的含义与图7-77-7的相同。的相同。 图图7-77-7、图、图7-87-8和图和图7-97-9的应用条件是物体内部无热的应用条件是物体内部无热源、一维不稳态导热，物体的初始温度均匀为源、一维不稳态导热，物体的初始温度均匀为t t0 0，物，物体的导热系数体的导热系数k k为常数，第三类边界条件，物体界面为常数，第三类边界条件，物体界面温度随时间而变，但流体介质的主体温度温度随时间而变，但流体介质的主体温度t tb b为恒定值。为恒定值。88化工传递过程基础 89化工传递过程基础 90化工传递过程基础 91化工传递过程基础 【例例7-77-7】一厚度为一厚度为46.2 mm46.2 mm、温度为、温度为278 K278 K的方块奶油的方块奶油由冷藏室移至由冷藏室移至298 K298 K的环境中的环境中，奶油盛于容器中，除顶奶油盛于容器中，除顶面与环境直接接触外，各侧面和底面均包在容器之内。面与环境直接接触外，各侧面和底面均包在容器之内。设容器为绝设容器为绝热热体。试计算体。试计算5 5小时后奶油顶面、中心面及小时后奶油顶面、中心面及底面处的温度。底面处的温度。 已知奶油的导热系数已知奶油的导热系数k k、比热容、比热容c c、密度、密度 分别为分别为0.197 w0.197 w(m(mK),2300 JK),2300 J(kg(kgK)K)，998 998 ，奶，奶油表面与环境之间的对流传热系数油表面与环境之间的对流传热系数h h为为8.52 8.52 。 解：本问题属于平板一维不稳态导热问题，可采解：本问题属于平板一维不稳态导热问题，可采用简易图算法求解。由于底面绝热故用简易图算法求解。由于底面绝热故x x1 1为奶油的厚为奶油的厚度，即度，即92化工传递过程基础 对于顶面对于顶面由图由图7-77-7查得查得即即故得故得93化工传递过程基础 对于中心面对于中心面由图由图7-77-7查得查得故得故得对于底面对于底面由图由图7-77-7查得查得故得故得94化工传递过程基础 四、多维不稳态导热四、多维不稳态导热 上面讨论不稳态导热的分析解时，仅局限于一维问上面讨论不稳态导热的分析解时，仅局限于一维问题，但是在许多工程实际问题中，常遇到的是二维或题，但是在许多工程实际问题中，常遇到的是二维或三维不稳态导热。多维不稳态导热分析求解过程及结三维不稳态导热。多维不稳态导热分析求解过程及结果非常复杂，在此不准备作详细讨沦。果非常复杂，在此不准备作详细讨沦。下面仅简单地下面仅简单地讨论如何将一维分析解推广到二维和三维导热的问题。讨论如何将一维分析解推广到二维和三维导热的问题。此种处理问题的方法称为牛曼法则。此种处理问题的方法称为牛曼法则。 图图7-107-10中示出一平板，其中示出一平板，其z z方向为无限大，方向为无限大，x和和y y方方向上的长度分别为向上的长度分别为2x2xl l、2y2y1 1。物体的导热系数为。物体的导热系数为k k，初始温度均匀，为初始温度均匀，为t t0 0，现骤然将其置于主体温度为，现骤然将其置于主体温度为t tb b的流体介质中，物体各表面与介质的流体介质中，物体各表面与介质间间的对流传热系的对流传热系数为数为h h。此情况的导热为二维。此情况的导热为二维(z(z，y y方向方向) )的不稳态导的不稳态导热，并属于第三类边界条件。热，并属于第三类边界条件。95化工传递过程基础 96化工传递过程基础 该物体在时间该物体在时间 、位置、位置(x(x，y)y)处的无因次温度处的无因次温度 (z(z，y y， ) )，经过分析和推导，可以用下式表示，即，经过分析和推导，可以用下式表示，即 式式(7-80)(7-80)中的中的 、 分别为沿分别为沿x x和和y y方向方向进行一维不稳态导热时的无因次温度。进行一维不稳态导热时的无因次温度。上式表明，二上式表明，二维不稳态导热问题可化为两个一维不稳态导热问题处维不稳态导热问题可化为两个一维不稳态导热问题处理，二维不稳态导热时的无因次温度可以用两个一维理，二维不稳态导热时的无因次温度可以用两个一维不稳态导热的无因次温度的乘积表示。不稳态导热的无因次温度的乘积表示。而而 或或 则可由式则可由式(7-75)(7-75)或图或图7-77-7计算。计算。97化工传递过程基础 上述原理亦可以推广到三维不稳态导热问题中。如上述原理亦可以推广到三维不稳态导热问题中。如图图7-117-11所示的边长为所示的边长为2x2x1 1、2y2y1 1、2z2zl l的长方体，它沿的长方体，它沿x x、y y 、 z z三个方向进行不稳态导热时，任意位置三个方向进行不稳态导热时，任意位置(x(x，y y，z)z)处，在某时刻处，在某时刻 的温度可用下式表示的温度可用下式表示，即，即其他形状的简单物体，亦可视为由无限平面和无限长其他形状的简单物体，亦可视为由无限平面和无限长圆柱体等适当组合而成。然后将物体的二维或三维导圆柱体等适当组合而成。然后将物体的二维或三维导热问题化为两个或三个一维导热问题处理，而这些一热问题化为两个或三个一维导热问题处理，而这些一维导热的解的乘积即为该物体多维导热问题的解。例维导热的解的乘积即为该物体多维导热问题的解。例如上面讨论的边长为如上面讨论的边长为2x2x1 1、2y2y1 1、2z2zl l的长方体，即可视为的长方体，即可视为各为各为2x2x1 1、2y2yl l、2z2zl l的大平板相互切割而成。故其无因次的大平板相互切割而成。故其无因次温度分布可根据式温度分布可根据式(7-81)(7-81)求得。求得。98化工传递过程基础 99化工传递过程基础 100化工传递过程基础 又如图又如图7-127-12所示的半径为所示的半径为r rl l，高度为，高度为2x2x1 1的短圆柱体，的短圆柱体，可视为由无限长的圆柱与无限大的平板垂直切割而成。可视为由无限长的圆柱与无限大的平板垂直切割而成。在某时刻在某时刻 ，某位置，某位置(x(x，r)r)处的温度可采用下式计算，处的温度可采用下式计算，即即式式(7-80)(7-80)、式、式(7-81)(7-81)、式、式(7-82)(7-82)中的一维不稳态导中的一维不稳态导热的无因次温度，热的无因次温度， 可利可利用简易用简易算算图图7-77-7查查算算, ,而而 则可则可利用利用图图7-87-8查算查算。【例例7-87-8】 直径为直径为40 cm40 cm、长度为、长度为40 cm40 cm，的圆柱形，的圆柱形铝棒，初始温度均匀，为铝棒，初始温度均匀，为200200。将此铝棒置于温。将此铝棒置于温度为度为7070的环境中，若圆柱体表面与环境介质之间的环境中，若圆柱体表面与环境介质之间的对流传热系数为的对流传热系数为h=535 h=535 ，试求，试求1010分钟分钟后距一端面后距一端面4 cm4 cm远、径向距离远、径向距离10 cm10 cm处的温度值。处的温度值。 101化工传递过程基础 已知铝的物性值为：导热系数已知铝的物性值为：导热系数k=215 wk=215 w( (m mK K) )，导温系数。导温系数。解：此题为沿解：此题为沿x x和和r r方向的二维不稳态导热问题，短方向的二维不稳态导热问题，短圆柱体内某点的瞬时温度可由式圆柱体内某点的瞬时温度可由式(7-82)(7-82)求解，即求解，即 其中，其中， 应用图应用图7 77 7查算，查算， 则应则应用图用图7-87-8查算。查算。x x方向方向102化工传递过程基础 由图由图7-77-7查得查得r r方向方向103化工传递过程基础 由图由图7-87-8查得查得于是可得于是可得即即故故104化工传递过程基础 五、一维不稳态导热的数值解五、一维不稳态导热的数值解 上面讨论的一些不稳态导热问题的分析解法，都是上面讨论的一些不稳态导热问题的分析解法，都是针对较简单的边界条件和初始条件而言的，但求解过针对较简单的边界条件和初始条件而言的，但求解过程与结果表达式还是相当复杂的。程与结果表达式还是相当复杂的。对于非规则的对于非规则的边界边界条件或初始温度条件或初始温度分布分布( (环境环境温度温度、表面传热速率、表面传热速率) )不均不均匀的情形，应用分析解法就更加困难甚至不可能，但匀的情形，应用分析解法就更加困难甚至不可能，但此时可通过数值法来求解。此时可通过数值法来求解。 不稳态导热的数值法可以列举图不稳态导热的数值法可以列举图7-137-13所示的物体沿所示的物体沿 x x方向进行一维导热的简单例子说明之。方向进行一维导热的简单例子说明之。 上述物体的初始温度为上述物体的初始温度为t t0 0，然后将其左侧平面置于温，然后将其左侧平面置于温度为度为t tb b的对流环境中，右侧平面绝热。描述此不稳态导的对流环境中，右侧平面绝热。描述此不稳态导热的微分方程仍为式热的微分方程仍为式(7-33)(7-33)，即，即105化工传递过程基础 106化工传递过程基础 为了采用数值法求解上述方程，可将该方程写成差为了采用数值法求解上述方程，可将该方程写成差分方程形式。为此，将物体分割成相距为分方程形式。为此，将物体分割成相距为 的若干的若干等份，并参照第七章第一节中稳态导热数值解的处理等份，并参照第七章第一节中稳态导热数值解的处理方法，在物体内部任一平面方法，在物体内部任一平面i i处附近，将式处附近，将式(7-33)(7-33)中中右侧的二阶导数化为下式，即右侧的二阶导数化为下式，即 式中式中 ，为与点，为与点i i相距相距 长度的左侧及右侧长度的左侧及右侧两点的温度。两点的温度。 又将式又将式(7-33)(7-33)左侧的导数写成差分形式为左侧的导数写成差分形式为式中式中 所选取的时间间隔；所选取的时间间隔； 某点某点i i处在处在 瞬时和瞬时和 ( ( ) )瞬时的温度瞬时的温度107化工传递过程基础 将式将式(7-83)(7-83)、式、式(7-84)(7-84)代人式代人式(7-33)(7-33)中，可得物体中，可得物体内部不稳态导热时的结点温度方内部不稳态导热时的结点温度方程程为为或或 式式(7-86)(7-86)中的中的 和和 为计算时所选用的距离间隔为计算时所选用的距离间隔和时间和时间间间隔，其大小可以根据精隔，其大小可以根据精度度的要求确定。一般的要求确定。一般来说，精度要求愈高，则选取的来说，精度要求愈高，则选取的 或或 就越小，就越小，相应的所需的计算也就越大。为了使相应的所需的计算也就越大。为了使计算计算过程简化，过程简化，可令可令(7-86)(7-86)108化工传递过程基础 将式将式(7-87)(7-87)代入代入式式(7-86)(7-86)中即可得物体内部进行不中即可得物体内部进行不稳态导热时的简化结点温度方程，即稳态导热时的简化结点温度方程，即 式式(7-88)(7-88)表明，物体内部任意一点表明，物体内部任意一点i i处在处在( )( )瞬时的温度，等于与其相邻两点在瞬时的温度，等于与其相邻两点在 瞬时温度的算术瞬时温度的算术平均值。平均值。计算时，计算时， 和和 不能同时独立选取，而是不能同时独立选取，而是根据精度的要求先选定其一，然后再应用式根据精度的要求先选定其一，然后再应用式(7-87)(7-87)决决定另一个量的值。定另一个量的值。 物体左右两侧表面的结点温度方程，可通过热物体左右两侧表面的结点温度方程，可通过热量量衡衡算算求出。求出。109化工传递过程基础 如图如图7-137-13所示，所示，取平面取平面1 1和平面和平面2 2之间物体的一半之间物体的一半( (左侧剖面线范围左侧剖面线范围) )作为热量衡算的对象。作为热量衡算的对象。在在 时时间间内，进入控制体的热最减去由此控制体导出的热内，进入控制体的热最减去由此控制体导出的热量量应应等于此控制体累积等于此控制体累积的热量的热量。经由平面。经由平面l l进入的热进入的热量量是以是以对流传热方式进入，故为对流传热方式进入，故为 式中式中， h h为对流传热系数；为对流传热系数；A A为导热面积；为导热面积；t tb b为流体为流体主体温度；主体温度；t t1 1为物体表面为物体表面l l的温度。的温度。 时时间间内，经由衡算范围的右侧平面内，经由衡算范围的右侧平面( (位于点位于点1.51.5处的平面处的平面) )移出的热量系以导热方式传出故为移出的热量系以导热方式传出故为110化工传递过程基础 物块在物块在 时间内积累的热最为时间内积累的热最为 式中，式中， 和和 分别表示衡算范围的物块中心面在分别表示衡算范围的物块中心面在 和和 时刻的温度。由于这两个温度与平面时刻的温度。由于这两个温度与平面1 1的的两瞬时温度两瞬时温度 和和 相接近，亦即相接近，亦即于是由热量衡算可得如下的近似关系式，即于是由热量衡算可得如下的近似关系式，即将将 的关系代人卜式，经整理后，得的关系代人卜式，经整理后，得111化工传递过程基础 式式(7-89)(7-89)即为不稳态导热时对流边界的结点温度方即为不稳态导热时对流边界的结点温度方程。程。 对于右侧为绝热边界的结点温度对于右侧为绝热边界的结点温度方方程亦可采用类程亦可采用类似方法求出。似方法求出。如图如图7-137-13所示，取平面所示，取平面(n-1)(n-1)和和平面平面n之之间间的半个物块的半个物块(右侧剖面线范围右侧剖面线范围)作为热量衡算的对象，作为热量衡算的对象，同样，在同样，在 时间内进入控制体的热时间内进入控制体的热量量减去由此范减去由此范围围移出的热量应等于此控制体累积的热最。进入的热最移出的热量应等于此控制体累积的热最。进入的热最量通过虚线面量通过虚线面 ( (位于位于n-0.5n-0.5处的平面处的平面) )以导热的方式进以导热的方式进入的，即入的，即由于边界面由于边界面(n(n处的平面处的平面) )绝热，故移出的热量为零。绝热，故移出的热量为零。l l累积的热量为累积的热量为112化工传递过程基础 式中式中， 和和 分别表示物块分别表示物块中中心面在心面在 和和( )( )时刻的温度。由于这两个时刻的温度。由于这两个温温度与平面度与平面n n的瞬的瞬时时温温度度 和和 接近，即接近，即将将 的关系代人上式，经整理后得的关系代人上式，经整理后得故热量衡算式为故热量衡算式为113化工传递过程基础 【例例7-97-9】某厚度为某厚度为0.305 m0.305 m的固体平板，初始温度均的固体平板，初始温度均匀为匀为100100。突然将其左侧面置于。突然将其左侧面置于00的流体介质中。的流体介质中。由于对流热阻很小，可认为由于对流热阻很小，可认为 ，故固体左侧面，故固体左侧面的温度在传热过程中可维持的温度在传热过程中可维持00。物体的右侧面绝热。物体的右侧面绝热。试应用数值法计算该物体经历试应用数值法计算该物体经历0.60.6小时后的温度分布。小时后的温度分布。已知物体的导温系数已知物体的导温系数 式式(7-90)(7-90)即为不稳态导热时绝热边界的结点温度方即为不稳态导热时绝热边界的结点温度方程。由该式可以看出，程。由该式可以看出，绝热边界经历绝热边界经历 时间之后的时间之后的温度等于物体内距离边界面为温度等于物体内距离边界面为 的面上未经历的面上未经历 时时间以前的温度。间以前的温度。解：应用数值解法，将物体的厚度分为解：应用数值解法，将物体的厚度分为5 5等份，则等份，则114化工传递过程基础 取取故故 即时间间隔为即时间间隔为0.1 h0.1 h，则，则0.6 h0.6 h内计算的时间次数为内计算的时间次数为0.60.60.1=6(0.1=6(次次) ) 当当 =0=0时，平面时，平面2 2至平面至平面6 6各面的温度均为各面的温度均为100100，即，即 由于左侧面与流体接触，故开始时它的温度不等于由于左侧面与流体接触，故开始时它的温度不等于100100，为了使计算精确度提高，可令该侧面温度，为了使计算精确度提高，可令该侧面温度t t1 1为为流体温度与物体初始温度的平均值，即流体温度与物体初始温度的平均值，即115化工传递过程基础 边界情况边界情况( ( 0)0)如下如下 已知左侧面已知左侧面(i=1)(i=1)的温度在传热过程中维持的温度在传热过程中维持00，即，即右侧右侧面面(i=6)(i=6)绝热，由式绝热，由式(7-90)(7-90)可知可知物体内部各点的温度可利用式物体内部各点的温度可利用式(7-88)(7-88)计算，即计算，即计算结果列于下表，其中最后一次计算所得的温度值计算结果列于下表，其中最后一次计算所得的温度值为为 =0.6 h=0.6 h时物体内部各平面的温度值。时物体内部各平面的温度值。116化工传递过程基础 117化工传递过程基础 第七章 热传导 本章讨论固体内部的导热问题，重点介绍热传导方程的求解方法，并结合实际情况，探讨导热理论在工程实际中的应用。118化工传递过程基础 7.1 稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导二、有内热源的一维稳态热传导三、二维稳态热传导（自学）第七章 热传导119化工传递过程基础 厚度为 b 的大平壁，一侧温度为t1，另一侧温度为t2，且t1 t2，沿平壁厚度方向（ x 方向）进行一维稳态导热。单层平壁导热 示例 工业燃烧炉的炉壁传热； 居民住宅的墙壁传热。1.单层平壁一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导120化工传递过程基础 导热微分方程的化简：化简得一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导121化工传递过程基础 第类边界条件一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导122化工传递过程基础 边界条件分类：第类B.C.：绝热边界，指壁面处热通量为零：第类B.C.：恒温边界，指壁面温度已知，第类B.C.：对流边界，指壁面处对流换热已知：一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导123化工传递过程基础 （1）温度分布方程求解得温度分布方程线性（2）导热速率由傅立叶定律导热速率方程一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导124化工传递过程基础 导热推动力导热阻力（热阻）一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导125化工传递过程基础 设平壁是由 n 层材料构成2.多层平壁稳态导热多层平壁导热 各层壁厚为表面温度为且各层之间接触良好，相互接触的表面温度相同一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导126化工传递过程基础 稳态导热，通过各层平壁截面的传热速率必相等 或一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导127化工传递过程基础 三层平壁稳态热传导速率方程 对n层平壁，其传热速率方程可表示为一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导128化工传递过程基础 3.单层圆筒壁的一维稳态热传导 某一内半径为 r1 、外半径为 r2 的圆筒壁，其内侧温度为t1，外侧温度为t2，且t1 t2，沿径向进行一维稳态导热。示例 化工管路的传热；单层圆筒壁导热 间壁式换热器的传热。一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导129化工传递过程基础 导热微分方程化简：化简得一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导130化工传递过程基础 第一类边界条件单层圆筒壁导热 一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导131化工传递过程基础 （1）温度分布方程求解得温度分布方程对数型（2）导热速率由傅立叶定律一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导132化工传递过程基础 可写成与单层平壁热传导速率方程相类似的形式 其中单层圆筒壁导热速率方程一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导133化工传递过程基础 或圆筒壁的对数平均半径圆筒壁的对数平均面积一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导134化工传递过程基础 4.多层圆筒壁的稳态热传导 假设层与层之间接触良好，即互相接触的两表面温度相同。 多层圆筒壁的热传导一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导135化工传递过程基础 热传导速率：对n层圆筒壁，为一、无内热源的一维稳态热传导一、无内热源的一维稳态热传导136化工传递过程基础 示例 管式固定床反应器 核燃料棒发热圆柱体的导热二、有内热源的一维稳态热传导二、有内热源的一维稳态热传导 某半径为 R，长度为 L 的细长实心圆柱体，其发热速率为 ，表面温度为 tw，热量通过圆柱体表面散出，传热为一维稳态导热过程。例：137化工传递过程基础 导热微分方程简化：得二、有内热源的一维稳态热传导二、有内热源的一维稳态热传导138化工传递过程基础 第一类边界条件第二类边界条件当二、有内热源的一维稳态热传导二、有内热源的一维稳态热传导139化工传递过程基础 温度分布方程为求解得温度分布方程抛物线型当最高温度二、有内热源的一维稳态热传导二、有内热源的一维稳态热传导140化工传递过程基础 导热速率为导热速率即为发热速率故无量纲温度分布方程二、有内热源的一维稳态热传导二、有内热源的一维稳态热传导141化工传递过程基础 7.1 稳态热传导7.2 不稳态导热一、内热阻可忽略的不稳态导热第七章 热传导二、忽略表面热阻的不稳态导热 三、内热阻与表面热阻均重要的不稳态导热 四、多维不稳态热导热142化工传递过程基础 一、一、内热阻可忽略的不稳态导热内热阻可忽略的不稳态导热 若固体的 k 很大，环境流体与固体表面间的对流传热系数 h 较小时，可认为在任一时刻固体内部各处的温度均匀一致。 tb 初始温度（高温）为t0 的金属球，在=0时刻放入温度为tb的大量环境流体（如水）中冷却。 试求球体温度随时间的变化。143化工传递过程基础 tb设：金属球的密度 , 体积为V、表面积为A、比热容为c 、初始温度 t0。 环境流体的主体温度 tb （恒定），流体与金属球表面的对流传热系数为 h 。以球表面为控制面，作热量衡算，得一、一、内热阻可忽略的不稳态导热内热阻可忽略的不稳态导热144化工传递过程基础 物体温度随时间的变化 进一步分析： （1） 毕渥数物理意义：物体内部的导热热阻与表面对流热阻之比。 一、一、内热阻可忽略的不稳态导热内热阻可忽略的不稳态导热145化工传递过程基础 Bi 大，表示物体内部的导热热阻起控制作用，物体内部存在较大的温度梯度； Bi 小，表示物体内部的热阻很小，表面对流传热的热阻起控制作用，物体内部的温度梯度很小，在同一瞬时各处温度均匀。 实验表明：当 Bi 0 的所有时间内均为一个常数，且基本等于环境温度。 典型问题有：（1）半无限大固体的不稳态导热；（2）大平板的不稳态导热。二、忽略表面热阻的不稳态导热二、忽略表面热阻的不稳态导热 148化工传递过程基础 二、忽略表面热阻的不稳态导热二、忽略表面热阻的不稳态导热 1.半无限大固体的不稳态导热zx0yt=t0 (0 )0 x y z （对于所有x） 示例：地面降温，厚壁物体一侧降温149化工传递过程基础 变量置换法求解，令： 二、忽略表面热阻的不稳态导热二、忽略表面热阻的不稳态导热 150化工传递过程基础 温度分布为 或 xtt0ts=123未影响区域二、忽略表面热阻的不稳态导热二、忽略表面热阻的不稳态导热 151化工传递过程基础 设左端面的面积为A，则瞬时导热通量为二、忽略表面热阻的不稳态导热二、忽略表面热阻的不稳态导热 152化工传递过程基础 2.两端面均为恒壁温的大平板的不稳态导热ts=tbllx0ts=tb 设：平板的初始温度各处均匀为 t0 ， 在=0时刻，两端面的温度突然变为 ts = tb =常数二、忽略表面热阻的不稳态导热二、忽略表面热阻的不稳态导热 153化工传递过程基础 分离变量法求解，令 定解条件： 二、忽略表面热阻的不稳态导热二、忽略表面热阻的不稳态导热 154化工传递过程基础 温度分布为 二、忽略表面热阻的不稳态导热二、忽略表面热阻的不稳态导热 155化工传递过程基础 x 0l任意时刻温度 t = t (x,)1 t0 ts2 温度分布图示： 二、忽略表面热阻的不稳态导热二、忽略表面热阻的不稳态导热 156化工传递过程基础 三、内热阻与表面热阻均重要的不稳态导热三、内热阻与表面热阻均重要的不稳态导热 工程实际中，更常见的是两平板端面与周围介质有热交换的不稳态导热问题。此类问题的边界条件属于第类边界条件。 tsllx0tb157化工传递过程基础 采用分离变量法求解，得 式中 三、内热阻与表面热阻均重要的不稳态导热三、内热阻与表面热阻均重要的不稳态导热 158化工传递过程基础 令 为便于计算，将上式绘成图线。三、内热阻与表面热阻均重要的不稳态导热三、内热阻与表面热阻均重要的不稳态导热 159化工传递过程基础 无限大平板的不稳态导热算图 无限大平板的不稳态导热算图：tsx1x0tb三、内热阻与表面热阻均重要的不稳态导热三、内热阻与表面热阻均重要的不稳态导热 160化工传递过程基础 无限长圆柱体的不稳态导热算图： 无限长圆柱体的不稳态导热算图Fox1三、内热阻与表面热阻均重要的不稳态导热三、内热阻与表面热阻均重要的不稳态导热 161化工传递过程基础 球柱体的不稳态导热算图： 球柱体的不稳态导热算图 x1三、内热阻与表面热阻均重要的不稳态导热三、内热阻与表面热阻均重要的不稳态导热 162化工传递过程基础 四、四、多维不稳态热导热多维不稳态热导热 二维和三维导热问题的求解采用Newman法则（选学）。163化工传递过程基础 习习 题题 1. 在一无内热源的固体圆筒壁中进行径向稳态导在一无内热源的固体圆筒壁中进行径向稳态导热。当热。当 r11m 时，时，t1 200，r2 2m 时，时，t2 100。已知其导热系数为温度的线性函数，即。已知其导热系数为温度的线性函数，即时， 式中式中：k0 0.138W/(m.K) 为基准温度下的导热系为基准温度下的导热系数，数，1.95104 为温度系数。试推导导热速率的为温度系数。试推导导热速率的表达式并求算单位长度的导热速率。表达式并求算单位长度的导热速率。164化工传递过程基础 2. . 有一具有均匀发热速率有一具有均匀发热速率 的球形固体，其半径的球形固体，其半径为为R0 ，球体沿径向向外对称导热。球表面的散热速率球体沿径向向外对称导热。球表面的散热速率等于球内部的发热速率，球表面上维持恒定温度等于球内部的发热速率，球表面上维持恒定温度 不不变。试推导球心处的温度表达式。变。试推导球心处的温度表达式。习习 题题165化工传递过程基础 习习 题题 3. 将厚度将厚度为 0.3 m 的平的平砖墙作作为炉子一炉子一侧的的衬里，里，衬里的初始温度里的初始温度为 30 。墙外外侧面面绝热。由于炉内。由于炉内有燃料燃有燃料燃烧，炉内，炉内侧面的温度突然升至面的温度突然升至600并并维持持此温度不此温度不变。试计算炉外算炉外侧绝热面升至面升至100时所需所需的的时间。已知。已知砖的平均的平均导热系数系数k =1.125 , 导温系数导温系数 。 。166化工传递过程基础 习习 题题 4. 有一半径有一半径为25 mm的的钢球，其球，其导热系系433 ，密度为密度为7849 kg/m3，比热容为，比热容为0.4609 kJ/kg，钢球的初，钢球的初始温度均匀，为始温度均匀，为700 K。现将此钢球置于温度为。现将此钢球置于温度为400 K的环境中，钢球表面与环境之间的对流传热系数为的环境中，钢球表面与环境之间的对流传热系数为11.36 。 试求求 1h 后后钢球所达到的温度。球所达到的温度。167化工传递过程基础 小结小结?168