学习好资料欢迎下载1 第二十四章图形的相似第二十五章解直角三角形基础知识点及典例分析：1、相似三角形的判定方法：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似。如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。平行于三角形的一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交， 所构成的三角形与原三角形相似。2、相似三角形的性质：、和等于相似比，等于相似比的平方。3、三角形中位线定理（1）定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（2）定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。4、三角形的重心：三角形三条边的中线交于一点，这个点就是三角形的重心。重心与一边中点的连线的长是对应中线长的31。5、梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半。6、 锐角三角函数的概念： 在 RtABC 中， 锐角 A 的函数记作Asin、Acos、Atan、Acot。斜边的对边Asin A，斜边的邻边AAcos，的邻边的对边AAAtan，的对边的邻边AAAtan。分别叫做锐角A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角A 的三角函数。7、特殊角的三角函数：函数值函数名角度sincostancot3045608、已知特殊角的某一个三角函数值写出相应的角，并注意一些变化：互余的两个锐角的三角函数关系：在直角三角形ABC 中，设 C 为直角，则 A+ B=90 ，得一组公式：BAcos)A90cos(sin；BAsin)A90sin(cos；BAcot)A90cot(tan；BAtan)A90tan(cot。9、在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角等于斜边的一半。在直角三角形中，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。10、三角函数之间的关系：1cossin22AA，1cottanAA。当 0 90时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习好资料欢迎下载2 有 0Sin1，0Cos1，tan0。例 1、如图， ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点D 在 AC 上，连结BD 并延长与CE 交于点 E。（1）求证： ABD CED；（2）若 AB6，AD 2CD，求 BE 的长。例 2、在图 1 至图 3中，直线MN 与线段 AB 相交于点 O， 1 = 2 = 45 （1）如图 1，若 AO = OB，请写出AO 与 BD 的数量关系和位置关系；（2） 将图 1 中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到图2， 其中 AO = OB 求证： AC = BD， AC BD；（3）将图2 中的 OB 拉长为AO 的 k 倍得到图3，求ACBD的值图 2 A D O B C 2 1 M N 图 1 A D B M N 1 2 图 3 A D O B C 2 1 M N O ADEBFC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习好资料欢迎下载3 例 3、已知线段OA OB，C 为 OB 上中点， D 为 AO 上一点，连AC 、BD 交于 P点（1）如图 1，当 OA=OB 且 D 为 AO 中点时，求PCAP的值；（2）如图 2，当 OA=OB ，AOAD=41时，求 tanBPC；（3）如图 3，当 AD AO OB=1nn2时，直接写出tan BPC 的值。例 4、学习图形的相似后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。（1） “对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。类似地， 你可以等到：“满足，或，两个直角三角形相似” 。（2） “满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。已知：如图，。试说明 RtABC RtA B C 。DCPOAB图 1 DCPOAB图 2 DCPOAB图3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习好资料欢迎下载4 例 5、小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB80米为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为 37 ， 大厦底部 B的俯角为 48 求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度（结果保留整数）（参考数据：oooo33711sin37tan37sin 48tan48541010，）例 6、已知：如图，在RtABC 中， C90， AC3 点 D 为 BC 边上一点，且BD2AD， ADC60求 ABC 的周长（结果保留根号）。例 7、如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45 改为 30 . 已知原传送带AB 长为 4 米. （1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2 米的通道，试判断距离B 点 4 米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由 (说明：的计算结果精确到0.1 米，参考数据：21.41，31.73，52.24，62.45) B 3748D C A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习好资料欢迎下载5 课堂练习：1、下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（）A、1、2、3、4 B、1、2、2、4 C、 3、5、9、13 D、1、2、2、3 2、小明沿着坡度为1:2 的山坡向上走了1000m，则他升高了（）A5200mB500mC3500mD1000m3、下列命题中，是真命题的为（）A. 锐角三角形都相似B. 直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.等边三角形都相似4、如图，小颖利用有一个锐角是30 的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离 BE 为 5m， AB 为 1.5m （即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（） A （5 3 332）m B （35 32）m C5 33m D 4m 4题图 5题图 6题图5、如图，在 RtABC 中，C=90， AM 是 BC 边上的中线，53sinCAM， 则Bta n的值为。6、如图， Rt ABC中， C=090,ABC=030，AB=6. 点 D 在 AB 边上，点 E 是 BC 边上一点（不与点B、C 重合） ，且 DA=DE ，则 AD 的取值范围是.7、如果两个相似三角形的一组对应边分别为3cm 和 5cm。且较小三角形的周长为15cm，则较大三角形周长为_cm。8、如图所示 ,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B处的仰角为60 ， 在点 A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45 ，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC 为米（精确到 0.1） 。 （参考数据：414.12732.13）9、如图 ,小敏、 小亮从 A,B 两地观测空中C 处一个气球 ,分别测得仰角为30和 60,A,B 两地相距 100 m.当气球沿与BA 平行地飘移10 秒后到达C处时 ,在 A 处测得气球的仰角为45。（1）求气球的高度（结果精确到0.1 ） ； （2）求气球飘移的平均速度（结果保留3 个有效数字） . B A E D C 30精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习好资料欢迎下载6 10、如题 (a)图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为 (12，0)，点 B 坐标为 (6，8)，点 C 为 OB的中点， 点 D 从点 O 出发， 沿 OAB 的三边按逆时针方向以2 个单位长度秒的速度运动一周(1)点 C 坐标是 ( ，)，当点 D 运动 8.5 秒时所在位置的坐标是( ，)；(2) 设点 D运动的时间为t 秒，试用含 t 的代数式表示OCD 的面积 S,并指出 t 为何值时， S最大；(3) 点 E在线段 AB上以同样速度由点A向点 B运动，如题 (b) 图，若点E与点 D同时出发，问在运动5 秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与OCD 相似 ( 只考虑以点A O为对应顶点的情况 ) ：题(a) 图题(b) 图11、已知：如图，有一块含30的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且3AB. (1)若双曲线的一个分支恰好经过点A，求双曲线的解析式；(2)若把含30的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好与x轴重叠，点A落在点A，试求图中阴影部分的面积(结果保留)。A OB C D Axy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页