圆的标准方程圆的标准方程2024/7/191重庆市涪陵实验中学问题问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.问题问题2：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？么特点？ 圆心圆心C是定点，圆周上的点是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等是动点，它们到圆心距离等于定长于定长|MC|=r，圆心和半径分，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小别确定了圆的位置和大小问题问题3：求曲线的方程的一般求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？必不可少？2024/7/192重庆市涪陵实验中学（1）建立适当的坐标系，用有序实数对）建立适当的坐标系，用有序实数对 (x,y)表表示曲线上任意一点示曲线上任意一点M的坐标；的坐标；（2）写出适合条件）写出适合条件 p(M)；（3）用坐标翻译条件）用坐标翻译条件p(M)，列出方程，列出方程f(x,y)=0； （4）化简方程）化简方程f(x,y)=0； （5）证明化简后的方程为所求曲线的方程）证明化简后的方程为所求曲线的方程 其中步骤其中步骤(1)(3)(4)必不可少必不可少2024/7/193重庆市涪陵实验中学用求曲线方程的一般方法来建立圆的标准方程：用求曲线方程的一般方法来建立圆的标准方程：解：设解：设M(x,y)是圆上任意一点，是圆上任意一点，xyOrM据圆的定义有据圆的定义有 |MC|=rC由距离公式，得由距离公式，得两边平方，得两边平方，得2024/7/194重庆市涪陵实验中学圆的标准方程圆的标准方程 特点：特点： 1、是关于是关于x x、y y的二元二次方程的二元二次方程, ,无无xyxy项；项； 2、明确给出了圆心坐标和半径。、明确给出了圆心坐标和半径。3、确定圆的方程必须具备三个独立条件、确定圆的方程必须具备三个独立条件,即即a、b、r .4、若圆心在坐标原点，则圆方程为、若圆心在坐标原点，则圆方程为 x2 + y 2 = r22024/7/195重庆市涪陵实验中学练习练习 1.写出下列各圆的方程：写出下列各圆的方程： （1）圆心在圆点，半径是）圆心在圆点，半径是3；（3）经过点）经过点P(5,1)，圆心在点，圆心在点C(8,-3)（2）圆心在点）圆心在点C(3,4)，半径是，半径是 ；点点评：评：中，可先用两点距离公式求圆的半径，或设中，可先用两点距离公式求圆的半径，或设，用待定系数法求解。，用待定系数法求解。2024/7/196重庆市涪陵实验中学练习练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径写出下列各圆的圆心坐标和半径（1）（2）（3）（-1，2） 32024/7/197重庆市涪陵实验中学例例1.求以求以C(1,3)为圆心，并且和直线为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。相切的圆的方程。解：因圆解：因圆C和直线和直线3x-4y-7=0相切，相切，所以圆心到直线的距离等于半径所以圆心到直线的距离等于半径r，CxyOr因此，所求的圆的方程是因此，所求的圆的方程是2024/7/198重庆市涪陵实验中学练习练习3.已知一个圆的圆心在原点，并与直线已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。相切，求圆的方程。2024/7/199重庆市涪陵实验中学例例2 已知圆已知圆O的方程为的方程为 ,判断下面的点在判断下面的点在圆内、圆上、还是圆外？圆内、圆上、还是圆外？ 解：解： ，点点 在圆上；在圆上； ，点点 在圆内；在圆内； ，点点 在圆外。在圆外。，P在圆上，在圆上， ，P在圆外，在圆外， ，P在圆内。在圆内。 小结：小结：与圆与圆的的关系判断：关系判断：2024/7/1910重庆市涪陵实验中学例例3已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程。的切线的方程。分析分析(一一)：设切线斜率为设切线斜率为k，OM斜率为斜率为k1，则：，则：所以切线方程为：所以切线方程为： x0x+y0y=r2xOMyP当当M在坐标轴上时，上面方程仍适用。在坐标轴上时，上面方程仍适用。2024/7/1911重庆市涪陵实验中学例例3.已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程。的切线的方程。xOMyP分析分析(二二)：设设P为为切线上任切线上任意一点，意一点，则则OMMP，所以：所以：(x0，y0)(x-x0，y-y0)=0所以切线方程为：所以切线方程为：x0x+y0y=r2.2024/7/1912重庆市涪陵实验中学P(x , y ) 由勾股定理：由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2分析分析(三三)： 在直角三角形在直角三角形OMP中中yxOx0x +y0 y = r2例例3.已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程。的切线的方程。2024/7/1913重庆市涪陵实验中学总结：过一点求圆的切线的方程总结：过一点求圆的切线的方程 1、求经过圆上一点、求经过圆上一点M（x0,y0）的切线的方程）的切线的方程 ：（1）圆）圆C的方程为：的方程为：（2）圆）圆C的方程为：的方程为：2024/7/1914重庆市涪陵实验中学2、求经过圆外一点求经过圆外一点M（x0,y0）的切线的方程）的切线的方程 。常用求法简介：常用求法简介：2024/7/1915重庆市涪陵实验中学练习练习4.写出过圆写出过圆x2+y2=10上一点上一点M 的切线的方程的切线的方程 练习练习5.已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2=1，求求（1）斜率等于）斜率等于1的切线的方程；的切线的方程；（2）在）在y轴上截距是轴上截距是 的切线的方程。的切线的方程。2024/7/1916重庆市涪陵实验中学例例4：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度该圆拱跨度AB=20m，拱高，拱高OP=4m，在建造，在建造时每隔时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到的长度（精确到0.01m)yx解：如图建立坐标系，设圆的方程是解：如图建立坐标系，设圆的方程是x2+(y-b)2=r2 (r0)。2024/7/1917重庆市涪陵实验中学yx把把P(0,4)、 B(10,0)代入圆的方程得方程组：代入圆的方程得方程组：02+(4-b)2= r2102+(0-b)2=r2解得：解得：b= -10.5 r2=14.52所以圆的方程是：所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52把点把点P2的横坐标的横坐标x= -2 代入圆的方程，得代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52因为因为y0,所以所以y=14.52-(-2)2 -10.514.36-10.5=3.86(m)答：支柱答：支柱A2P2的长度约为的长度约为3.86m。2024/7/1918重庆市涪陵实验中学例例5 已已知知隧隧道道的的截截面面是是半半径径为为4m的的半半圆圆，车车辆辆只只能能在在道道路路中中心心线线一一侧侧行行驶驶，一一辆辆宽宽为为2.7m，高高为为3m的的货货车车能能不不能能驶驶入入这个隧道这个隧道?2024/7/1919重庆市涪陵实验中学的内部，求实数的内部，求实数a 的取值范围的取值范围1、若点、若点(1，1)在圆在圆(xa)2(ya)24练习：练习：2、求满足下列条件的各圆、求满足下列条件的各圆C的方程：的方程： (1)和和直直线线4x3y50相相切切，圆圆心心在在直直线线xy10上，半径为上，半径为4； (2)经过两点经过两点A(1,0)，B(3，2)，圆心在，圆心在直线直线x2y0上上3、已已知知圆圆过过点点P(4，3)，圆圆心心在在直直线线2xy10上，且半径为上，且半径为5，求这个圆的方程，求这个圆的方程-1a1(x-22/7)2+(y-29/7)2=42或 (x+18/7)2+(y+11/7)2=422024/7/1920重庆市涪陵实验中学4.求圆心求圆心C在直线在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点上，且过两定点A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。的圆的方程。5.从圆从圆x2+y2=10外一点外一点P(4,2)向该圆引切线，求向该圆引切线，求切线方程。切线方程。 x+3y=10 或或 3x-y=10(x+ )2+(y+ )2=3 43 49502024/7/1921重庆市涪陵实验中学小结小结 (1) 圆心为圆心为C(a,b)，半径为，半径为r 的圆的标准方程为的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：，圆的标准方程为：x2 + y2 = r2 (2) 由于圆的标准方程中含有由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。2024/7/1922重庆市涪陵实验中学