第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程2.4.1 2.4.1 抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程生活中存在着各种形式的抛物线生活中存在着各种形式的抛物线我们对抛物线已有了哪些认识？我们对抛物线已有了哪些认识？yxo 二次函数是开口向上或向下的抛物线。二次函数是开口向上或向下的抛物线。问题探究：问题探究：当当|MF|=|MH| ，点，点M的轨迹是什么？的轨迹是什么？探探究究？ 可以发现可以发现, ,点点M随着随着H H运动的过程中运动的过程中, ,始终始终| |MF|=|=|MH|,|,即点即点M与点与点F和定直线和定直线l的距离相等的距离相等. .点点M生成的轨迹是生成的轨迹是曲线曲线C的形状的形状.( (如图如图) )MFle=1我们把这样的一条曲线叫做我们把这样的一条曲线叫做抛物线抛物线. .MFle=1 在平面内在平面内,与一个定点与一个定点F和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F)的的距离相等距离相等的点的轨迹叫的点的轨迹叫抛抛物线物线.点点F叫抛物线的叫抛物线的焦点焦点,直线直线l 叫抛物线的叫抛物线的准线准线d 为为 M 到到 l 的距离的距离准线准线焦焦点点d抛物线的定义抛物线的定义:想一想 如果点如果点F F在直线在直线l l上，满足条件的点的上，满足条件的点的 轨迹是抛物线吗？轨迹是抛物线吗？ 抛物线的定义抛物线的定义平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直线和一条定直线l(不经过点不经过点F)_的的点的轨迹叫做抛物线点点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的叫做抛物线的_，直线，直线l叫做叫做抛物线的抛物线的_ 试一试试一试：在抛物线定义中，若去掉条件在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点不经过点F”，点的，点的轨迹还是抛物线吗？轨迹还是抛物线吗？提示提示当直线当直线l经过点经过点F时，点的轨迹是过定点时，点的轨迹是过定点F且垂直于定且垂直于定直线直线l的一条直线；的一条直线；l不经过点不经过点F时，点的轨迹是抛物线时，点的轨迹是抛物线1距离相等距离相等焦点焦点准线准线抛物线定义的理解抛物线定义的理解(2)在抛物线的定义中，在抛物线的定义中，定点定点F不能在直线不能在直线l上，否则，动点上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直于直线垂直于直线l的一条直的一条直线线如到点如到点F(1，0)与到直线与到直线l：xy10的距离相等的的距离相等的点的轨迹方程为点的轨迹方程为xy10，轨迹为过点，轨迹为过点F且与直线且与直线l垂直垂直的一条直线的一条直线1如何建立直角坐标系？如何建立直角坐标系？想想一一想想探索研究推出方程求曲线方程求曲线方程的基本步骤的基本步骤FL.FM.抛物线的标准方程：抛物线的标准方程：设|FK|=p(p0),M(x,y)由抛物线定义知：|MF|=d即：. ，叫作焦点在X轴正半轴上的抛物线的标准方程.说明： 焦点到准线的距离焦点到准线的距离.x它所表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，坐标是（ ），它的准线方程是 .yoLFp的几何意义几何意义: 已知抛物线的标准方程，已知抛物线的标准方程， 求其焦点坐标和准线方程求其焦点坐标和准线方程. . 标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程巩固练习巩固练习1 1抛物线的标准方程抛物线的标准方程抛物线的焦点坐标和准线方程抛物线的焦点坐标和准线方程:关键：确定关键：确定P的值的值. ，叫作焦点在X轴正半轴上的抛物线的标准方程.xyoLF一条抛物线，由于它在坐标一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式程还有其它形式. .想一想想一想: 抛物线的位置及其方程还有没有其它抛物线的位置及其方程还有没有其它的形式的形式？FlFlFlFl 问题：仿照前面求抛物线标准方程的方法，你能建立适当的坐标系，求下列后三幅图中抛物线的方程吗?(1)(2)(3)(4) 图图 形形焦点位置焦点位置标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程 不同位置的抛物线标准方程不同位置的抛物线标准方程 x轴的轴的正方向正方向 x轴的轴的负方向负方向 y轴的轴的正方向正方向 y轴的轴的负方向负方向y y2 2=2=2pxpxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pyF(-（P P0 0）抛物线标准方程的几种形式抛物线标准方程的几种形式图形图形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程_2y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)抛物线方程左右左右型型标准方程为y2 =2px(p0)开口向右:y2 =2px(x 0)开口向左:y2 = -2px(x 0)标准方程为x2 =2py(p0)开口向上:x2 =2py (y 0)开口向下:x2 = -2py (y0)抛物线的标准方程抛物线的标准方程上下上下型型1 1、一一次次项项的的变变量量如如为为x x（或或y y），则则x x轴轴（或或y y轴轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上。为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上。2 2、一次、一次项项的系数符号决定了开口方向。的系数符号决定了开口方向。【小结小结】练习1：请判断下列抛物线的开口方向练习2：请判断下列抛物线的焦点坐标F(0,8)F(0, )F(-8,0)F( , 0)F(0, )F( , 0)是一次项系数的是一次项系数的练习3：请判断下列抛物线的准线方程F(0,8)F(0, )F(-8,0)F( , 0)F(0, )F( , 0)是一次项系数的是一次项系数的的相反数的相反数如何确定如何确定各曲线的焦点位置各曲线的焦点位置？抛物线：抛物线：1.看一次项看一次项(X或或Y)定焦点定焦点 2. 一次项系数正负定开口一次项系数正负定开口椭圆：看分母大小椭圆：看分母大小双曲线：看符号双曲线：看符号P58P58思考：思考： 二次函数二次函数 的图像为什的图像为什么是抛物线？么是抛物线？ 当当a0时与当时与当a0时，结论都为：时，结论都为：例1 已知抛物线的标准方程是已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程求它的焦点坐标和准线方程；解解: 2P=6,P=3 抛物线的焦点坐标是（抛物线的焦点坐标是（ ，0） 准线方程是准线方程是x=是一次项系数的是一次项系数的是一次项系数的是一次项系数的的相反数的相反数例2 已知抛物线的焦点坐标是已知抛物线的焦点坐标是F（0 0，-2-2）求它的标准方程。求它的标准方程。解: 因为焦点在因为焦点在y的负半轴上的负半轴上,所以设所求的标准方程为所以设所求的标准方程为x2= -2py 由题意得由题意得 ， 即即p=4 所求的标准方程为所求的标准方程为x2= -8y（课本（课本67页练习页练习1）根据下列条件写出）根据下列条件写出抛物线的标准方程；抛物线的标准方程；（1）焦点是（）焦点是（3，0）；）；（2）准线方程是）准线方程是x= - ；（3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是2；y2=12xy2=xy2=4xy2=-4xx2=4yx2=-4yF（5，0）F（0，-2）x=-5y=2y=-（课本（课本67页练习页练习2）求下列抛物线的焦）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：点坐标和准线方程：（1）y2=20x （2）x2= y（3）2y2+5x=0（4）x2+8y=0F（0， ）x=F（- ，0）题型一题型一求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(3)过点过点A(2，3)；【例例1】 思路探索思路探索 式求抛物线方程要先确定其类型，并设出标准方式求抛物线方程要先确定其类型，并设出标准方程，再根据已知求出系数程，再根据已知求出系数p.若类型不能确定，应分类讨论若类型不能确定，应分类讨论(3)由题意，抛物线方程可设为由题意，抛物线方程可设为y2mx(m0)或或x2ny(n0)，将点将点A(2，3)的坐标代入，得的坐标代入，得32m2或或22n3， 如图，已知抛物线如图，已知抛物线y22x的焦点是的焦点是F，点，点P是抛物线上的动点，又有点是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求，求|PA|PF|的最小值，并求此时的最小值，并求此时P点坐点坐标标 题型题型二二抛物线定义的应用抛物线定义的应用【例例2】思路探索思路探索 解题的关键是利用抛物线的定义得到解题的关键是利用抛物线的定义得到|PA|PF|PA|PQ|，由图可知当，由图可知当A、P、Q三点共线时取最小值三点共线时取最小值解解如图，作如图，作PQl于于Q，由定义知，抛物线上点，由定义知，抛物线上点P到焦点到焦点F的距离等于点的距离等于点P到准线到准线l的距离的距离d，由图可知，求，由图可知，求|PA|PF|的最小值的问题可转化为求的最小值的问题可转化为求|PA|d的最小值的问题的最小值的问题规律方法规律方法 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等小小 结结 ：1、学习好一个概念抛物线、学习好一个概念抛物线2、掌握好一种题型、掌握好一种题型3、注重好一种思想数形结合、注重好一种思想数形结合有关抛物线的标有关抛物线的标准方程和它的焦准方程和它的焦点坐标点坐标、准线方准线方程的求法程的求法