经典专题系列初中数学中考特殊四边形证明及计算一解答题1 （1）如图， ? ABCD 的对角线AC ，BD 交于点 O，直线 EF 过点 O，分别交AD ，BC 于点 E，F求证： AE=CF （2）如图，将? ABCD （纸片）沿过对角线交点O 的直线 EF 折叠，点 A 落在点 A1处，点 B 落在点 B1处，设FB1交 CD 于点 G，A1B1分别交 CD， DE 于点 H，I求证： EI=FG 考点 ： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）分析： （1）由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD BC，OA=OC ，又由平行线的性质，可得1=2，继而利用 ASA ，即可证得 AOE COF，则可证得AE=CF （2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF， A1=A= C， B1= B=D，继而可证得A1IE CGF，即可证得EI=FG 解答： 证明： （1）四边形ABCD 是平行四边形，AD BC， OA=OC ， 1= 2，在AOE 和COF 中， AOE COF（ASA） ， AE=CF ；（2）四边形ABCD 是平行四边形，A= C， B= D，由（ 1）得 AE=CF ，由折叠的性质可得：AE=A1E， A1=A， B1=B，A1E=CF， A1=A= C， B1=B= D，又 1=2， 3=4， 5=3， 4=6， 5= 6，在 A1IE 与 CGF 中， A1IE CGF（AAS ） ， EI=FG 点评： 此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页2在 ABC 中， AB=AC ，点 P为ABC 所在平面内一点，过点P分别作 PE AC 交 AB 于点 E，PF AB 交 BC于点 D，交 AC 于点 F若点 P 在 BC 边上（如图1） ，此时 PD=0，可得结论： PD+PE+PF=AB 请直接应用上述信息解决下列问题：当点 P 分别在 ABC 内（如图 2） ，ABC 外（如图 3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE， PF与 AB 之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明考点 ：平行四边形的性质专题 ：探究型分析： 在图 2 中，因为四边形PEAF 为平行四边形，所以PE=AF ，又三角形FDC 为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC ，即 PE+PD+PF=AC=AB ，在图 3 中， PE=AF 可证， FD=PFPD=CF ，即 PFPD+PE=AC=AB 解答： 解：图 2 结论： PD+PE+PF=AB 证明：过点P 作 MN BC 分别交 AB，AC 于 M，N 两点，PEAC ，PF AB，四边形AEPF 是平行四边形，MN BC， PFAB 四边形BDPM 是平行四边形，AE=PF ， EPM= ANM= C，AB=AC ， EMP=B， EMP=EPM，PE=EM ，PE+PF=AE+EM=AM四边形BDPM 是平行四边形，MB=PD PD+PE+PF=MB+AM=AB，即 PD+PE+PF=AB 图 3 结论： PE+PFPD=AB 点评： 此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息，把握规律是解题的关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页3如图， ABC 是等边三角形，点D 是边 BC 上的一点，以AD 为边作等边 ADE ，过点 C 作 CFDE 交 AB 于点 F（1）若点 D 是 BC 边的中点（如图） ，求证： EF=CD；（2）在（ 1）的条件下直接写出 AEF 和ABC 的面积比；（3）若点 D 是 BC 边上的任意一点（除B、C 外如图），那么（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由考点 ：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质专题 ：证明题分析： （1）根据 ABC 和AED 是等边三角形，D 是 BC 的中点， EDCF，求证 ABD CAF ，进而求证四边形EDCF 是平行四边形即可；（2）在（ 1）的条件下可直接写出AEF 和ABC 的面积比；（3）根据 EDFC，结合 ACB=60 ，得出 ACF= BAD ，求证 ABD CAF ，得出 ED=CF，进而求证四边形EDCF 是平行四边形，即可证明EF=DC 解答：（1）证明：ABC 是等边三角形，D 是 BC 的中点，AD BC，且 BAD=BAC=30 ， AED 是等边三角形，AD=AE ， ADE=60 ， EDB=90 ADE=90 60 =30 ，ED CF， FCB= EDB=30 ， ACB=60 ， ACF= ACB FCB=30 ， ACF= BAD=30 ，在 ABD 和CAF 中， ABD CAF（ASA ） ， AD=CF ， AD=ED ，ED=CF，又 EDCF，四边形EDCF 是平行四边形，EF=CD （2）解： AEF 和ABC 的面积比为： 1：4；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页（3）解：成立理由如下：EDFC， EDB= FCB， AFC= B+BCF=60 +BCF， BDA= ADE+ EDB=60 +EDB AFC= BDA ，在ABD 和CAF 中， ABD CAF（AAS ） ，AD=FC ，AD=ED ，ED=CF，又 EDCF，四边形EDCF 是平行四边形，EF=DC点评： 此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大4如图，在菱形ABCD 中， AB=10 ， BAD=60 度点 M 从点 A 以每秒 1 个单位长的速度沿着AD 边向点 D 移动；设点M 移动的时间为t 秒（ 0t 10） （1）点 N 为 BC 边上任意一点，在点M 移动过程中，线段MN 是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；（2）点 N 从点 B（与点 M 出发的时刻相同）以每秒2 个单位长的速度沿着BC 边向点 C 移动，在什么时刻，梯形ABNM 的面积最大并求出面积的最大值；（3）点 N 从点 B（与点 M 出发的时刻相同）以每秒a（a2 ）个单位长的速度沿着射线BC 方向（可以超越C 点）移动，过点M 作 MPAB ，交 BC 于点 P当 MPN ABC 时，设 MPN 与菱形 ABCD 重叠部分的面积为S，求出用 t 表示 S的关系式，井求当S=0 时的值考点 ： 菱 形的性质；二次函数的最值；全等三角形的性质专题 ： 压 轴题分析：（1）菱形被分割成面积相等的两部分，那么分成的两个梯形的面积相等，而两个梯形的高相等，只需上下底的和相等即可（ 2）易得菱形的高，那么用t 表示出梯形的面积，用t 的最值即可求得梯形的最大面积（ 3） 易得 MNP 的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可解答：解 ： （1）设： BN=a ，CN=10 a（0a10）因为， 点 M 从点 A 以每秒 1 个单位长的速度沿着AD 边向点 D 移动，点 M 移动的时间为t 秒 （0t 10）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页所以， AM=1 t=t（0t 10） ，MD=10 t（0t 10） 所以，梯形AMNB 的面积 =（AM+BN ） 菱形高 2=（ t+a） 菱形高 2；梯形 MNCD 的面积 =（MD+NC ） 菱形高 2=（ 10t）+（10a） 菱形高 2 当梯形 AMNB 的面积 =梯形 MNCD 的面积时，即 t+a=10， （0t 10） ， （0a10）所以，当t+a=10， （0t 10） ， （0a10）时，可出现线段MN 一定可以将菱形分割成面积相等的两部分（ 2）点 N 从点 B 以每秒 2 个单位长的速度沿着BC 边向点 C 移动，设点N 移动的时间为t，可知0 t 5，因为 AB=10 ， BAD=60 ，所以菱形高 =5，AM=1 t=t，BN=2t=2t所以梯形ABNM 的面积 =（AM+BN ） 菱形高 2=3t 5 =t（0t 5） 所以当 t=5 时，梯形ABNM 的面积最大，其数值为（ 3）当 MPN ABC 时，则 ABC 的面积 = MPN 的面积，则 MPN 的面积为菱形面积的一半为25；因为要全等必有MN AC， N 在 C 点外，所以不重合处面积为 （at10）2重合处为S=25，当 S=0 时，即 PM 在 CD 上， a=2点评：本 题考查了菱形以及相应的三角函数的性质，注意使用两条平行线间的距离相等等条件5如图，在下列矩形ABCD 中，已知： AB=a，BC=b（ ab） ，假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，现给出（） 、 （）、 （）三个命题：命题（）：图中，若AH=BG=AB ，则四边形ABGH 是矩形 ABCD 的内接菱形；命题（）：图中，若点E、F、G 和 H 分别是 AB、BC、CD 和 DE 的中点，则四边形EFGH 是矩形 ABCD 的内接菱形；命题（）：图中，若EF 垂直平分对角线AC ，变 BC 于点 E，交 AD 于点 F，交 AC 于点 O，则四边形AECF 是矩形 ABCD 的内接菱形请解决下列问题：（1）命题（） 、 （） 、 （）都是真命题吗？请你在其中选择一个，并证明它是真命题或假命题；（2）画出一个新的矩形内接菱形（即与你在（1）中所确认的，但不全等的内接菱形）（3）试探究比较图，中的四边形ABGH 、EFGH、AECF 的面积大小关系考点 ：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形中位线定理；矩形的性质；命题与定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页分析： （1）先证明是平行四边形，再根据一组邻边相等证明；根据三角形中位线定理得到四条边都相等；先根据三角形全等证明是平行四边形，再根据对角线互相垂直证明是菱形；（2）先作一条对角线，在作出它的垂直平分线分别与矩形的边相交，连接四个交点即可（3）分别表示出三个菱形的面积，根据边的关系即可得出图（1）图（ 2）的面积都小于图（3）的面积；根据a 与 b 的大小关系，分a2b，a=2b 和 a2b 三种情况讨论解答： 解： （1）都是真命题；若选（）证明如下：矩形 ABCD ，AD BC，AH=BG ，四边形ABGH 是平行四边形，AB=HG ，AB=HG=AH=BG ，四边形ABGH 是菱形；若选（），证明如下：矩形 ABCD ，AB=CD ，AD=BC ，A= B=C=D=90 ，E、F、 G、H 是中点，AE=BE=CG=DG ，AH=HD=BF=FC ， AEH BEF DGH GCF，EF=FG=GH=HE ，四边形EFGH 是菱形；若选（），证明如下EF 垂直平分 AC ，FA=FC，EA=EC ，又矩形ABCD ，AD BC， FAC= ECA ，在AOF 和COE 中， ADF COE（SAS）AF=CE ，AF=FC=CE=EA ，四边形AECF 是菱形；（2）如图 4 所示： AH=CF ，EG 垂直平分对角线FH，四边形HEFG 是菱形；（3）SABGH=a2 ，SEFGH=ab，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页S菱形AECF=， a2=0（ba）S菱形AECFSABGHab= 0，S菱形AECFSEFGHa2 ab=a（ab）当 ab，即 0b 2a 时， S菱形ABGHS菱形EFGH；当 a=b，即 b=2a 时， S菱形ABGH=S菱形EFGH；当 ab，即 ba时， S菱形ABGHS菱形EFGH综上所述：当 Ob2a 时， SEFGHSABGHS菱形AECF当 b=2a 时， SEFGH=SABGHS菱形AECF当 b2a 时SABGHSEFGHS菱形AECF点评： 本题主要考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质以及矩形的性质等知识点注意第（3）题需要分类讨论，以防错解6在平行四边形ABCD 中， BAD 的平分线交直线BC 于点 E，交直线 DC 的延长线于点F，以 EC、CF 为邻边作平行四边形ECFG（1）如图 1，证明平行四边形ECFG 为菱形；（2）如图 2，若 ABC=90 ， M 是 EF 的中点，求BDM 的度数；（3）如图 3，若 ABC=120 ，请直接写出BDG 的度数考点 ： 菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质；正方形的判定与性质分析： （1）平行四边形的性质可得ADBC，AB CD，再根据平行线的性质证明CEF=CFE，根据等角对等边可得CE=CF，再有条件四边形ECFG 是平行四边形，可得四边形ECFG 为菱形；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 25 页（2）首先证明四边形ECFG 为正方形，再证明BME DMC 可得 DM=BM ， DMC= BME ，再根据 BMD= BME+ EMD= DMC+ EMD=90 可得到 BDM 的度数；（3） 分别连接 GB、 GC， 求证四边形CEGF 是平行四边形， 再求证 ECG 是等边三角形 由 AD BC及 AF 平分 BAD 可得 BAE= AEB，求证 BEG DCG，然后即可求得答案解答： 解： （1）证明： AF 平分 BAD ， BAF= DAF ，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC， ABCD， DAF= CEF， BAF= CFE， CEF=CFE，CE=CF，又四边形ECFG 是平行四边形，四边形ECFG 为菱形（2）如图，连接BM ，MC ， ABC=90 ，四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABCD 是矩形，又由（ 1）可知四边形ECFG 为菱形，ECF=90 ，四边形ECFG 为正方形 BAF= DAF ，BE=AB=DC ，M 为 EF 中点， CEM= ECM=45 ， BEM= DCM=135 ，在BME 和DMC 中， BME DMC （SAS） ，MB=MD ，DMC= BME BMD= BME+ EMD= DMC+ EMD=90 ， BMD 是等腰直角三角形， BDM=45 ；（3） BDG=60 ，延长 AB、FG 交于 H，连接 HD AD GF， ABDF，四边形AHFD 为平行四边形， ABC=120 ，AF 平分 BAD ， DAF=30 ， ADC=120 ， DFA=30 ， DAF 为等腰三角形，AD=DF ，平行四边形AHFD 为菱形， ADH ，DHF 为全等的等边三角形，DH=DF ， BHD= GFD=60 ，FG=CE，CE=CF， CF=BH ，BH=GF ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页在BHD 与GFD 中， BHD GFD（SAS） ， BDH= GDF BDG= BDH+ HDG= GDF+HDG=60 点评： 此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法7在 ABC 中， BAC=90，AB=AC ，若点 D 在线段 BC 上，以 AD 为边长作正方形ADEF ，如图 1，易证：AFC= ACB+ DAC ；（1）若点 D 在 BC 延长线上，其他条件不变，写出AFC 、 ACB 、 DAC 的关系，并结合图2 给出证明；（2）若点 D 在 CB 延长线上，其他条件不变，直接写出AFC 、 ACB 、 DAC 的关系式考点 ： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质专题 ： 几何综合题分析： （1） AFC、 ACB 、 DAC 的关系为： AFC= ACB DAC ，理由为：由四边形ADEF 为正方形，得到AD=AF ，且 FAD 为直角，得到BAC= FAD，等式左右两边都加上CAD 得到BAD= CAF ，再由 AB=AC ，AD=AF ，利用 SAS 可得出三角形ABD 与三角形ACF 全等，根据全等三角形的对应角相等可得出AFC= ADB ，又 ACB 为三角形 ACD 的外角，利用外角的性质得到ACB= ADB+ DAC ，变形后等量代换即可得证；（2） AFC、ACB 、DAC 的关系式是 AFC+ ACB+ DAC=180 ， 可以根据 DAF= BAC=90 ，等号两边都减去BAF ，可得出 DAB= FAC，再由 AD=AF ，AB=AC ，利用 SAS 证明三角形ABD与三角形AFC 全等，由全等三角形的对应角相等可得出AFC= ADB ，根据三角形ADC 的内角和为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 25 页180 ，等量代换可得证解答： 解： （1）关系： AFC= ACB DAC ， （2 分）证明：四边形ADEF 为正方形，AD=AF ， FAD=90 ， BAC=90 ， FAD=90 ， BAC+ CAD= FAD+ CAD ，即 BAD= CAF，（ 3 分）在ABD 和ACF 中， ABD ACF （SAS） ，（ 4 分） AFC= ADB ， ACB 是ACD 的一个外角， ACB= ADB+ DAC ，（ 5 分） ADB= ACB DAC ， ADB= AFC ， AFC= ACB DAC ； （6 分）（2） AFC 、 ACB 、 DAC 满足的关系式为：AFC+ DAC+ ACB=180 ，（8 分）证明：四边形ADEF 为正方形， DAF=90 ，AD=AF ，又 BAC=90 ， DAF= BAC ， DAF BAF= BAC BAF，即 DAB= FAC，在ABD 和ACF 中， ABD ACF （SAS） ， ADB= AFC ，在ADC 中， ADB+ ACB+ DAC=180 ，则 AFC+ ACB+ DAC=180 点评： 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，熟练掌握判定及性质是解本题的关键8已知四边形ABCD 是正方形， O 为正方形对角线的交点，一动点P 从 B 开始，沿射线BC 运动，连接DP，作CNDP 于点 M ，且交直线 AB 于点 N，连接 OP，ON （当 P 在线段 BC 上时，如图1：当 P 在 BC 的延长线上时，如图 2）（1）请从图1，图 2 中任选一图证明下面结论：BN=CP ； OP=ON，且 OPON；（2）设 AB=4， BP=x，试确定以O、P、B、N 为顶点的四边形的面积y 与 x 的函数关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 25 页考点 ：正方形的性质；分段函数；三角形的面积；全等三角形的判定与性质专题 ：代数几何综合题分析： （1）根据正方形的性质得出DC=BC ， DCB= CBN=90 ，求出 CPD=DCN= CNB ，证DCP CBN， 求出 CP=BN ， 证OBN OCP， 推出 ON=OP， BON= COP， 求出 PON=COB即可；（2）同法可证图2 时， OP=ON ，OPON，图 1 中， S四边形OPBN=SOBN+SBOP，代入求出即可；图2 中， S四边形OBNP=SPOB+SPBN，代入求出即可解答： （1）证明：如图1，正方形ABCD ，OC=OB ，DC=BC ， DCB= CBA=90 ， OCB=OBA=45 ， DOC=90 ，DCAB，DPCN， CMD= DOC=90 ， BCN+ CPD=90 ，PCN+DCN=90 ， CPD=CNB ，DCAB， DCN= CNB= CPD，在 DCP 和CBN 中， DCP CBN ，CP=BN ，在 OBN 和OCP 中， OBN OCP，ON=OP， BON= COP， BON+ BOP=COP+BOP，即 NOP=BOC=90 ，ONOP，即 ON=OP ，ONOP（2）解： AB=4 ，四边形ABCD 是正方形，O 到 BC 边的距离是2，图 1 中， S四边形OPBN=SOBN+SBOP，= （4x） 2+ x 2，=4（0x4） ，图 2 中， S四边形OBNP=SPOB+SPBN= x 2+ （x4） x =x2x（x4） ，即以 O、P、B、N 为顶点的四边形的面积y 与 x 的函数关系是：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 25 页点评： 本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，分段函数等知识点的应用，解（1）小题的关键是能运用性质进行推理，解（2）的关键是求出符合条件的所有情况，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：证明过程类似9如图，四边形ABCD 是正方形，点E，K 分别在 BC，AB 上，点 G 在 BA 的延长线上，且CE=BK=AG （1）求证： DE=DG ； DEDG （2）尺规作图：以线段DE，DG 为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（ 2）中的 KF，猜想并写出四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当时，请直接写出的值考点 ： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图复杂作图分析： （1）由已知证明DE、DG 所在的三角形全等，再通过等量代换证明DEDG；（2）根据正方形的性质分别以点G、E 为圆心以DG 为半径画弧交点F，得到正方形DEFG ；（3）由已知首先证四边形CKGD 是平行四边形，然后证明四边形CEFK 为平行四边形；（4）由已知表示出的值解答： （1）证明：四边形ABCD 是正方形，DC=DA ， DCE= DAG=90 又 CE=AG ， DCE DAG ，DE=DG ，EDC=GDA ，又 ADE+ EDC=90 ， ADE+ GDA=90 DEDG（2）解：如图（3）解：四边形CEFK 为平行四边形证明：设CK 、DE 相交于 M 点四边形ABCD 和四边形 DEFG 都是正方形，AB CD，AB=CD ，EF=DG ，EFDG，BK=AG ，KG=AB=CD ，四边形CKGD 是平行四边形，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 25 页CK=DG=EF ，CKDG， KME= GDE=DEF=90 ， KME+ DEF=180 ，CK EF，四边形CEFK 为平行四边形（4）解：，设 CE=x，CB=nx ，CD=nx ，DE2=CE2+CD2=n2x2+x2=（n2+1）x2，BC2=n2x2，=点评： 此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂10如图，点P 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点，点E 在射线 BC 上，且 PB=PE，连接 PD，O 为 AC 中点（1）如图 1，当点 P 在线段 AO 上时，试猜想PE 与 PD 的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图 2，当点 P 在线段 OC 上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图 3，当点 P 在 AC 的延长线上时，请你在图3 中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（ 1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由考点 ： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质分析： （1）根据点 P 在线段 AO 上时，利用三角形的全等判定可以得出PE PD，PE=PD；（2）利用三角形全等得出，BP=PD，由 PB=PE，得出 PE=PD，要证 PEPD；从三方面分析，当点E在线段 BC 上（ E 与 B、C 不重合）时，当点E 与点 C 重合时，点P恰好在 AC 中点处，当点E 在 BC的延长线上时，分别分析即可得出；（3）利用 PE=PB 得出 P 点在 BE 的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P 为圆心， PB 为半径画弧即可得出E 点位置，利用（2）中证明思路即可得出答案解答： 解： （1）当点 P 在线段 AO 上时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 25 页在ABP 和ADP 中， ABP ADP，BP=DP，PB=PE，PE=PD，过点 P 做 PMCD，于点 M，作 PNBC，于点 N，PB=PE，PNBE，BN=NE ，BN=DM ，DM=NE ，在 RtPNE 与 RtPMD 中，PD=PE，NE=DM ，RtPNERtPMD ， DPM= EPN， MPN=90 ， DPE=90 ，故 PEPD，PE 与 PD 的数量关系和位置关系分别为：PE=PD， PEPD；（2）四边形ABCD 是正方形， AC 为对角线，BA=DA ， BAP= DAP=45 ，PA=PA， BAP DAP（SAS） ，PB=PD，又 PB=PE，PE=PD（i）当点 E 与点 C 重合时，点P 恰好在 AC 中点处，此时，PEPD（ii）当点 E 在 BC 的延长线上时，如图 ADP ABP， ABP= ADP ， CDP=CBP，BP=PE， CBP=PEC， PEC=PDC， 1=2， DPE=DCE=90 ，PEPD综合（ i） （ii） ，PEPD；（3）同理即可得出：PEPD，PD=PE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 25 页点评： 此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质和尺规作图等知识，此题涉及到分类讨论思想，这是数学中常用思想同学们应有意识的应用巩固训练：1如图，矩形ABCD 的对角线交于点O，AE BD，CFBD，垂足分别为E，F，连接 AF，CE（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若 BAD 的平分线与FC 的延长线交于点G，则 ACG 是等腰三角形吗？并说明理由考点 ： 平行四边形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质专题 ： 证明题；几何综合题；探究型分析： （1）根据矩形的性质可知：AB=CD ， ABE= CDF， AEB= CFD=90 ，得到 ABE CDF，所以 AECF，AE=CF ，可证四边形AECF 为平行四边形；（2）因为 AEFG，得到 G=GAE利用 AG 平分 BAD ，得到 BAG= DAG ，从而求得ODA= DAO 所以 CAG= G，可得 CAG 是等腰三角形解答： （1）证明：矩形ABCD ，AB CD， AB=CD ABE= CDF ，又 AEB= CFD=90 ，AECF， ABE CDF，AE=CF 四边形AECF 为平行四边形（2）解： ACG 是等腰三角形理由如下： AEFG， G=GAE AG 平分 BAD ， BAG= DAG 又 OA=AC=BD=OD ， ODA= DAO BAE 与 ABE 互余， ADB 与 ABD 互余，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 25 页 BAE= ADE BAE= DAO ， EAG= CAG ， CAG= G， CAG 是等腰三角形点评： 本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL 判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件2如图，在RtABC 中， BAC=90，E，F 分别是 BC，AC 的中点，延长BA 到点 D，使 AD=AB 连接 DE，DF（1）求证： AF 与 DE 互相平分；（2）若 BC=4，求 DF 的长考点 ：平行四边形的判定专题 ：计算题；证明题分析：（1）连接 EF、AE，证四边形AEFD 是平行四边形即可（2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得 AE 长即可解答：（1）证明：连接EF，AE点 E，F 分别为 BC，AC 的中点，EFAB ，EF=AB又 AD=AB ，EF=AD 又 EFAD ，四边形 AEFD 是平行四边形AF 与 DE 互相平分（2）解：在RtABC 中，E 为 BC 的中点， BC=4，AE=BC=2又四边形AEFD 是平行四边形，DF=AE=2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 25 页点评：本题考查了平行四边形的判定，有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半3如图，以 ABC 三边为边在BC 同侧作三个等边ABD 、BCE、 ACF请回答下列问题：（1）求证：四边形ADEF 是平行四边形；（2）当 ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形考点 ：平行四边形的判定；等边三角形的性质；矩形的判定专题 ：证明题；探究型分析： 1、本题可根据三角形全等证得DE=AF ，AD=EF ，即可知四边形ADEF 是平行四边形2、要使四边形ADEF 是矩形，必须让FAD=90 ，则 BAC=36090 60 60 =150解答： 证明： （1）等边 ABD 、 BCE、ACF ，DB=AB ，BE=BC 又 DBE=60 EBA， ABC=60 EBA， DBE= ABC DBE CBA DE=AC 又 AC=AF ， AF=DE 同理可证： ABC FCE，证得 EF=AD 四边形ADEF 是平行四边形（2）假设四边形ABCD 是矩形，四边形ADEF 是矩形，DAF=90 又等边 ABD 、BCE、 ACF ， DAB= FAC=60 BAC=360 DAF FAC DAB=150 当ABC 满足 BAC=150 时，四边形ADEF 是矩形点评： 此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定4已知：如图，矩形ABCD 中， AB=2 ，AD=3 ，E、F 分别是 AB、 CD 的中点（1）在边 AD 上取一点M，使点 A 关于 BM 的对称点C 恰好落在EF 上设 BM 与 EF 相交于点N，求证：四边形 ANGM 是菱形；（2）设 P是 AD 上一点， PFB=3FBC，求线段AP 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 25 页考点：菱形的判定；矩形的性质专题：计算题；证明题分析：（1）设 AG 交 MN 于 O，由题意易得AO=GO ，AGMN ，要证四边形ANGM 是菱形，还需证明OM=ON ，又可证明AD EFBC MO： ON=AO ： OG=1：1， MO=NO ；（2）连接 AF，由题意可证得PFA=FBC= PAF， PA=PF，PA=，求得 PA=解答：（1）证明：设AG 交 MN 于 O，则A、G 关于 BM 对称，AO=GO ， AGMN E、F 分别是矩形ABCD 中 AB 、CD 的中点，AE=BE ，AEDF 且 AE=DF ，AD EFBCMO：ON=AO ： OG=1： 1MO=NO AG 与 MN 互相平分且互相垂直四边形ANGM 是菱形（2）解：连接AF，AD EFBC， PAF=AFE， EFB=FBC又 EFAB ，AE=BE ，AF=BF ， AFE= EFB PAF=AFE= EFB=FBC PFB=PFA+AFE+ EFB= PFA+2FBC=3 FBC PFA=FBC=PAFPA=PF在 RtPFD 中，根据勾股定理得：PA=PF=，解得： PA=点本题主要考查菱形和平行四边形的识别及推理论证能力对角线互相垂直平分的四边形是菱形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 25 页评：5如图 1，在 ABC 中， AB=BC=5 ，AC=6 ECD 是ABC 沿 BC 方向平移得到的，连接AE 、AC 和 BE 相交于点 O（1）判断四边形ABCE 是怎样的四边形，说明理由；（2）如图 2， P 是线段 BC 上一动点（图2） ， （不与点B、C 重合） ，连接 PO 并延长交线段AE 于点 Q， QRBD ，垂足为点 R 四边形 PQED 的面积是否随点P 的运动而发生变化？若变化，请说明理由； 若不变， 求出四边形PQED的面积考点 ：菱形的判定与性质专题 ：动点型；数形结合分析： （1）利用平移的知识可得四边形ABCE 是平行四边形，进而根据AB=BC 可得该四边形为菱形；（2）利用证明三角形全等可得四边形PQED 的面积为三角形BED 的面积，所以不会改变；进而利用三角形的面积公式求解即可解答： 解： （ 1）四边形ABCE 是菱形，证明如下： ECD 是由 ABC 沿 BC 平移得到的，ECAB ，且 EC=AB ，四边形ABCE 是平行四边形， （ 2分）又 AB=BC ，四边形ABCE 是菱形（4 分）（2）由菱形的对称性知，PBO QEO，SPBO=SQEO（7 分） ECD 是由 ABC 平移得到的，ED AC，ED=AC=6 ，又 BE AC， BEED， （8 分）S四边形PQED=SQEO+S四边形POED=SPBO+S四边形POED=SBED= BEED= 8 6=24 （10 分）点评： 考查菱形的判定及相关性质；把不规则图形的面积转化为较简单的规则图形的面积是解决本题的关键6如图，已知矩形ABCD ，AD=4 ，CD=10，P 是 AB 上一动点， M、N、E 分别是 PD、PC、CD 的中点（1）求证：四边形PMEN 是平行四边形；（2）请直接写出当AP 为何值时，四边形PMEN 是菱形；（3）四边形PMEN 有可能是矩形吗？若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 25 页考点 ： 矩形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定分析： （1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明（2）当 DP=CP 时，四边形PMEN 是菱形， P 是 AB 的中点，所以可求出AP 的值（3）四边形PMEN 是矩形的话，DPC 必需为 90 ，判断一下 DPC 是不是直角三角形就行解答： 解： （1） M、N、E 分别是 PD、PC、CD 的中点，ME PC，ENPD，四边形PMEN 是平行四边形；（2）当 AP=5 时，PA=PB=5 ，AD=BC ， A= B=90 ， PAD PBC，PD=PC，M、 N、 E分别是 PD、PC、CD 的中点，NE=PMPD， ME=PN=PC，PM=ME=EN=PN ，四边形PMEN 是菱形；（3）假设 DPC 为直角三角形设 PA=x，PB=10x，DP=，CP=DP2+CP2=DC216+x2+16+（ 10x）2=102x210x+16=0 x=2 或 x=8故当 AP=2 或 AP=8 时，能够构成直角三角形点评： 本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质7如图：矩形ABCD 中， AB=2 ，BC=5，E、P 分别在 AD 、BC 上，且 DE=BP=1 （1）判断 BEC 的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH 是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH 的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 25 页考点 ： 矩形的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质专题 ： 计算题；证明题分析： （1）根据矩形性质得出CD=2 ，根据勾股定理求出CE 和 BE，求出 CE2+BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理求出即可；（2） 根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBP 和 AECP， 推出 EH FP， EFHP，推出平行四边形EFPH，根据矩形的判定推出即可；（2）根据三角形的面积公式求出CF，求出 EF，根据勾股定理求出PF，根据面积公式求出即可解答： （1）BEC 是直角三角形，理由是：矩形ABCD ， ADC= ABP=90 ，AD=BC=5 ，AB=CD=2 ，由勾股定理得：CE=，同理 BE=2，CE2+BE2=5+20=25，BC2=52=25，BE2+CE2=BC2， BEC=90 ， BEC 是直角三角形（2）解：四边形EFPH 为矩形，证明：矩形ABCD ，AD=BC ，AD BC，DE=BP ，四边形DEBP 是平行四边形，BEDP，AD=BC ，AD BC，DE=BP ，AE=CP ，四边形AECP 是平行四边形，APCE，四边形EFPH 是平行四边形， BEC=90 ，平行四边形EFPH 是矩形（3）解：在 RTPCD 中 FCPD，由三角形的面积公式得：PD?CF=PC?CD，CF=，EF=CECF=，PF=，S矩形EFPH=EF?PF= ，答：四边形EFPH 的面积是点评： 本题综合考查了勾股定理及逆定理，矩形、平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的运用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，此题综合性比较强，题型较好，难度也适中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 25 页8如图，四边形ABCD 是正方形，点P 是 BC 上任意一点，DEAP 于点 E，BFAP 于点 F，CHDE 于点 H，BF 的延长线交CH 于点 G（1）求证： AFBF=EF ；（2）四边形EFGH 是什么四边形？并证明；（3）若 AB=2， BP=1，求四边形EFGH 的面积考点 ： 正 方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：（ 1）利用全等三角形的判定首先得出AED BFA，进而得出AE=BF ，即可证明结论；（ 2）首先得出四边形EFGH 是矩形，再利用AED BFA，同理可得：AED DHC ，进而得出 EF=EH ，即可得出答案；（ 3）首先求出AP 的长，再利用三角形面积关系得出BF，AF 的长，进而求出EF 的长即可得出答案解答：（ 1）证明： DEAP 于点 E，BFAP 于点 F，CHDE 于点 H， AFB= AED= DHC=90 ， ADE+ DAE=90 ，又 DAE+ BAF=90 ， ADE= BAF，在 AED 和 BFA 中， AED BFA， AE=BF ， AFAE=EF ，即 AFBF=EF；（ 2）证明： AFB= AED= DHC=90 ，四边形EFGH 是矩形， AED BFA，同理可得：AED DHC ， AED BFA DHC， DH=AE=BF ，AF=DE=CH ， DEDH=AF AE， EF=EH，矩形 EFGH 是正方形；（ 3）解： AB=2 ，BP=1， AP=， SABP= BF AP= BF=1 2 ， BF=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 25 页 BAF= PAB， AFB= ABP=90 ， ABF APB ，=， AF=， EF=AFAE=，四边形EFGH 的面积为：（）2=9如图，在正方形ABCD 中，点 M 在边 AB 上，点 N 在边 AD 的延长线上，且BM=DN 点 E 为 MN 的中点，DE 的延长线与AC 相交于点F试猜想线段DF 与线段 AC 的关系，并证你的猜想考点 ： 正 方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质专题 ： 探 究型分析：猜想：线段DF 垂直平分线段AC ，且 DF=AC，过点 M 作 MG AD ，与 DF 的延长线相交于点G，作 GHBC，垂足为 H，连接 AG、 CG 根据正方形的性质和全等三角形的证明方法证明 AMG CHG 即可解答：猜想：线段DF 垂直平分线段AC ，且 DF=AC，证明：过点M 作 MGAD ，与 DF 的延长线相交于点G则 EMG= N， BMG= BAD ， MEG= NED ，ME=NE ， MEG NED ， MG=DN BM=DN ， MG=BM 作 GHBC，垂足为 H，连接 AG、 CG四边形ABCD 是正方形， AB=BC=CD=DA， BAD= B= ADC=90 ， GMB= B= GHB=90 ，四边形MBHG 是矩形 MG=MB ，四边形MBHG 是正方形， MG=GH=BH=MB， AMG= CHG=90 ， AM=CH ， AMG CHG GA=GC 又 DA=DC ， DG 是线段 AC 的垂直平分线 ADC=90 ， DA=DC ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 25 页 DF=AC 即线段 DF 垂直平分线段AC ，且 DF=AC 点评：本 题综合考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和解决问题以及敢于猜想的能力10以 ABC 的各边，在边BC 的同侧分别作三个正方形他们分别是正方形ABDI ，BCFE，ACHG ，试探究：（1）如图中四边形ADEG 是什么四边形？并说明理由（2）当 ABC 满足什么条件时，四边形ADEG 是矩形？（3）当 ABC 满足什么条件时，四边形ADEG 是正方形？考点 ：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定分析： （1）根据全等三角形的判定定理SAS 证得 BDE BAC ，所以全等三角形的对应边DE=AG 然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知EDA+ DAG=180 ，易证 EDGA ；最后由 “ 一组对边平行且相等” 的判定定理证得结论；（2）根据 “ 矩形的内角都是直角” 易证 DAG=90 然后由周角的定义求得BAC=135 ；（3）由 “ 正方形的内角都是直角，四条边都相等” 易证 DAG=90 ，且 AG=AD 由ABDI 和 ACHG的性质证得，AC=AB 解答： 解： （ 1）图中四边形ADEG 是平行四边形理由如下：四边形ABDI 、四边形BCFE、四边形ACHG 都是正方形，AC=AG ，AB=BD ，BC=BE ， GAC= EBC= DBA=90 ABC= EBD（同为 EBA 的余角）在BDE 和BAC 中， BDE BAC （SAS） ，DE=AC=AG ， BAC= BDE AD 是正方形ABDI 的对角线， BDA= BAD=45 EDA= BDE BDA= BDE45 ，DAG=360 GAC BAC BAD =360 90 BAC 45精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 25 页=225 BAC EDA+ DAG= BDE 45 +225 BAC=180 DEAG ，四边形ADEG 是平行四边形（一组对边平行且相等）（2）当四边形ADEG 是矩形时，DAG=90 则 BAC=360 BAD DAG GAC=360 45 90 90 =135 ，即当 BAC=135 时，平行四边形ADEG 是矩形；（3）当四边形ADEG 是正方形时，DAG=90 ，且 AG=AD 由（ 2）知，当 DAG=90 时， BAC=135 四边形ABDI 是正方形，AD=AB又四边形ACHG 是正方形，AC=AG ，AC=AB当 BAC=135 且 AC=AB 时，四边形ABDI 是正方形点评： 本题综合考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件：周角是360 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 25 页