优秀学习资料欢迎下载九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习【一】知识点归纳：一、 矩形、 1矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2矩形的性质： (1)对边平行且相等。 (2)矩形的四个角都是直角(3)矩形的对角线相等(4)矩形是轴对称、中心对称图形3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、矩形的图形分解OA=OB=OC=OD 5矩形的判定(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(2)有三个角是直角的四边形是矩形(3)对角线相等的平行四边形是矩形注意：用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形用定理（ 3）证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形 也就说明：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形二、菱形1定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形ODCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载注意：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等2菱形的性质(1)具有平行四边形的一切性质(2)菱形的四条边都相等(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角(4)菱形是轴对称、中心对称图形(5) 菱形面积底高对角线乘积的一半3菱形的判定：(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(2 四边都相等的四边形是菱形 (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形的判定注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形三正方形1正方形的概念：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形的四边形是正方形矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图：2正方形的性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角(4)正方形是轴对称图形，有4 条对称轴(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等(7)正方形的面积：若正方形的边长为a，对角线长为 b ，则222baS3正方形的判定 (1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：先证它是矩形，再证它有一组邻边相等先证它是菱形，再证它有一个角为直角(2)判定正方形的一般顺序：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形(或矩形 )；最后证明它是矩形(或菱形 )正方形的面积 =a2= 12L2四、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 、（2）过三角形一边的中点，平行于另一边的直线，必平分第三边。五、中点四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载1、连接任何四边形各边中点所得的四边形都是平行四边形2、中点四边形的形状只与原四边形的对角线相等和垂直有关，若不相等也不垂直是平行四边形；若相等是菱形；若垂直是矩形；若相等且垂直是正方形。六补充：梯形1梯形的相关概念（1）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形梯形中平行的两边叫做梯形的底注意：通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形的上下底是以长短区分的，不是指位置说的梯形中不平行的两边叫做梯形的腰梯形两底的距离叫做梯形的高两腰相等的梯形叫做等腰梯形一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形（2）梯形一般如下分类：（3）解决梯形问题的基本思路：梯形问题三角形或平行四边形问题这种思路常通过平移或旋转来实现2梯形的判定(1)定义法：判定四边形中一组对边平行；另一组对边不平行(2)有一组对边平行且不相等的四边形是梯形转化分 割 、 拼等腰梯形直角梯形特殊梯形一般梯形梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载注意： 此判定可由梯形定义和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出3等腰梯形的性质(1)等腰梯形两腰相等、两底平行(2)等腰梯形在同一底上的两个角相等(3)等腰梯形的对角线相等 (4)等腰梯形是轴对称图形， 它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴注意：等腰梯形在同一底上的两个角相等，不能说成：等腰梯形两底上的角相等；等腰梯形同一底上的两底角相等4等腰梯形的判定(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形(3)对角线相等的梯形是等腰梯形5梯形的面积(1) 如 图 ，DEABCDSABCD)(21梯形 (2) 梯 形 中 有 关 图 形 面 积 ： BACABDSSBOCAODSSBCDADCSS（3）如图若梯形 ABCD 是等腰梯形，则OA=OB OC=OD 6梯形问题的常用辅助线（1）延长两腰转化为三角形。 （2）平移一腰转化为平行四边形和三角形。（3）平移一条对角线转化为平行四边形和三角形。（4）过顶点作梯形的两条高线转化为直角三角形和矩形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载七 、1、梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半2、 梯形两 对角 线中点 的 连线 等于 两底 差的 一半【 二 】跟 踪练 习 ：九年级数学（上）矩形、菱形、正方形复习题一 、 精心 选一 选1如 图， 在正 方形 ABCD中， CE=MN ， BCE=40 ， 则ANM 等 于（）A70B60C50D40 2.将 矩 形纸片 ABCD 按如 图 所示 的方 式折 叠，得到 菱形 AECF 若 AB=3 ，则 BC 的长 为 （）A1 B 2 C.2D3(第 4 题图 ) (第 5 题图 ) 3、在 四边 形 ABCD 中， A= C=90 ， AB=AD 若 BC+CD=8 ， 则四 边 形 ABCD 的面积 是（）A16 B32 C48 D64 4.如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中,将长为 2 的线段 QR 的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动，如果Q 从点 A 出发，沿图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载中所示方向按 A B C D滑到A 为止，同时点 R 从 B 点出发，沿图中所示方向按B C D A B 滑到 B 为止，在这个过程中，线段 QR 的中点 M 所经过的路线与正方形的边围成的图形的面积为（）A.2 B.4- C. . D. -1 二 、 细心 填一 填5、如 图 ，三 个边 长均 为 2 的正 方 形重 叠在 一 起，O1、O2是其 中 两个正 方 形的 中心 ，则 阴影 部 分的 面积 是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载(第 1 题图 ) (第 2 题图 ) (第 3 题 图) 6、如 图， 菱形 花坛的 边 长为 6cm ，一个 内 角为 60 ， 在花坛 中 用花盆 围 出两 个正 六边 形的图 形 （图 中粗 线部 分） ， 则围 出的 图形 的周 长 为cm 7 矩形 的两 邻边 长 的差 为 2，对 角线 长 为 4， 则 矩形 的面 积为8、菱 形对 角线 的长分 别 是 6cm 和 8cm ，则 周长 是cm ，面 积是cm29、如图，E， F 是正 方形 ABCD的边 AD 上两 个 动点，满 足 AE=DF 连接 CF 交 BD 于点 G，连 接 BE 交 AG 于点 H若 正方 形的边长 为 2，则 线 段 DH 长度 的最小 值 是(第 7 题 图 ) (第 8 题 图 ) (第 9 题 图) 10 、如图，在正方形 ABCD 中 ，E 是 AB 上一 点， BE=2 ，AE=3BE ，P 是 AC 上一动 点，则PB+PE的最小 值是11 、如 图，正 三 角形和 正 方形 的面 积分 别为 10 ，6，两 阴影 部分 的 面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载积 分 别为 a， b（ab） ，则（ a-b ） 等于三 、 用心 做一 做12 、 如 图， 在正 方形 ABCD中，点 M 是对 角线 BD 上的一 个 动点，过 点 M 作 ME CD 交 BC 于 点 E，作 MF BC 交 CD 于 点 F求 EF 的最 小 值13 、如 图 ，在正 方形 ABCD 中 ，P 是对角 线 AC 上 的一点 ，点 E 在BC 的 延长 线上 ，且 PE=PB （ 1） 求证 ：BCP DCP ；（ 2） 求证 ：DPE= ABC ；（ 3） 把 正 方 形ABCD改 为 菱 形 ， 其 它 条 件 不 变 （ 如 图 ） ， 若 ABC=58 ，则 DPE= 度 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载【三】诊断检测 :第一章特殊平行四边形复习效果诊断检测(时间：120 分钟满分： 120 分) 一、选择题 (每小题 3 分，共 30 分) 1在学习“特殊平行四边形”一章时， 小明的书上有一图因不小心被滴上墨水 (如图)，看不清楚所印的字，请问被墨迹遮盖了的文字应是 ( ) A等边三角形B 四边形C梯形D菱形2如图，矩形ABCD的对角线AC8 cm，AOD120，则AB的长为 ( ) A.3 cm B2 cm C23 cm D4 cm 3平面直角坐标系中， 四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，2)，则四边形ABCD是( ) A矩形B菱形C正方形D平行四边形4下列命题是假命题的是( ) A四个角相等的四边形是矩形B对角线相等的平行四边形是矩形C对角线垂直的四边形是菱形D对角线垂直的平行四边形是菱形（第 1 题图) （第 2 题图) （第 5 题图) （第 6 题图) 5如图，矩形纸片ABCD中，AB6 cm，BC8 cm，现将精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为( ) A6 cm B4 cm C2 cm D1 cm 6 如图，菱形纸片ABCD中，A60，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP(P为AB中点)所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则DEC的大小为 ( ) A78 B75 C60 D457如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则ABC的度数为 ( ) A90 B60C45 D308已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是 ( ) A当ACBD时，四边形ABCD是矩形B当ABAD，CBCD时，四边形ABCD是菱形C当ABADBC时，四边形ABCD是菱形D当ACBD，ADAB时，四边形ABCD是正方形9已知：线段AB，BC，ABC90 .求作：矩形ABCD. 以下是甲、乙两同学的作业：甲：(1)以点C为圆心，AB长为半径画弧； (2)以点A为圆心，BC长为半径画弧； (3)两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求 (如图 ) 乙：(1)连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载(2)连接BM并延长，在延长线上取一点D， 使MDMB， 连接AD，CD，四边形ABCD即为所求 (如图 ) 对于两人的作业， 下列说法正确的是 ( )A两人都对 B两人都不对C甲对乙不对D 甲不对，乙对（第 9 题图) （第 10 题图) 10如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，且 AE13AB，将矩形沿直线EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上的点 P 处，连接 BP 交 EF 于点 Q，对于下列结论： EF2BE；PF2PE； FQ4EQ； PBF 是等边三角形其中正确的是 ( ) ABCD二、填空题 (每小题 3 分，共 18 分) 11已知菱形的两条对角线长分别为2 cm ，3 cm ，则它的面积是_cm2. 12如图，已知点P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BPBC，则ACP的度数是 _度13如图所示，将ABC绕AC的中点O顺时针旋转 180得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载到CDA，添加一个条件 _，使四边形ABCD为矩形,（第 12 题图 ） （第 13 题图) （第 14 题图) （第 15 题图) 14已知矩形ABCD，AB3 cm，AD4 cm，过对角线BD的中点O作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，则AE的长为_cm. 15如图，菱形 ABCD 的边长为 4，过点 A，C 作对角线 AC的垂线，分别交 CB 和 AD 的延长线于点 E，F，AE3，则四边形AECF 的周长为 _16如图，在ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DECA，DFBA.下列四种说法：四边形AEDF是平行四边形；如果BAC90，那么四边形AEDF是矩形；如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形；如果ADBC且ABAC，那么四边形AEDF是菱形其中，正确的有 _(填序号) 三、解答题 (共 72 分) 17(10 分)如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86 cm ，对角线长是 13 cm ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载那么矩形的周长是多少？18(10 分)如图，在ABC中，ABAC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作 ?ABDE，连接AD，EC. (1)求证：ADCECD；(2)若BDCD，求证：四边形ADCE是矩形19(10 分)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BEAB，连接CE. (1)求证：BDEC；(2)若E50，求BAO的大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载20(10 分)如图，已知在 ?ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，BD是对角线，AGBD交CB的延长线于点G. (1)求证：ADECBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？证明你的结论21(10 分)如图，已知菱形ABCD，ABAC，点E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，CF. (1)求证：四边形AECF是矩形；(2)若AB8，求菱形的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页优秀学习资料欢迎下载22(10 分)如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，ADE CDF. (1)求证： AECF；(2)连接 DB 交 EF 于点 O，延长 OB 至 G，使 OGOD，连接EG，FG，判断四边形 DEGF 是否是菱形，并说明理由23(12 分)如图，在矩形ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点P，Q分别是BM，DN的中点(1)求证：MBANDC；(2)四边形MPNQ是什么特殊四边形？请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页