学习必备欢迎下载 2.3 幂函数学习目标1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质；2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. 学习过程任务一、课前准备（预习教材P77 P79，找出疑惑之处）复习 1：求证3yx 在 R 上为奇函数且为增函数. 复习 2：1992 年底世界人口达到54.8 亿，若人口年平均增长率为x%，2008 年底世界人口数为y（亿），写出：（1）1993 年底、 1994 年底、 2000 年底世界人口数；（2）2008 年底的世界人口数y 与 x 的函数解析式任务二、新课导学探究任务一 ：幂函数的概念问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？（1）边长为a的正方形面积2Sa ， S是a的函数；（2）面积为 S的正方形边长12aS ，a是 S的函数；（3）边长为a的立方体体积3Va ， V 是a的函数；（4）某人 ts 内骑车行进了1km，则他骑车的平均速度1/vt km s，这里v是 t 的函数；（5）购买每本1 元的练习本w本，则需支付pw元，这里p是w的函数 . 新知1、幂函数的概念：一般地，形如yx()aR 的函数称为 幂函数 ，其中为常数 . 试一试 ：判断下列函数哪些是幂函数. 1yx；22yx；3yxx；1y. 探究任务二 ：幂函数的图象与性质问题：作出下列函数的图象：（1）yx； （2）12yx ； （3）2yx ； （4）1yx； （5）3yx 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载说明：除函数12yx外，其余四个幂函数具有奇偶性在第一象限内，函数1yx的图像向上与y轴无限接近，我们称x轴y轴为渐近线结合以上特殊幂函数的图像得出一般幂函数的性质（1）所有幂函数在(0,)上都有定义，并且图像都通过点(1,1)（2）若0，则幂函数的图像都过原点，并且在区间0,)上为增函数（ 3）若0,则幂函数的图像在区间(0,)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于时，图像在x轴上方无限地逼近x轴（4）当为奇数时， 幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数从图象分析出幂函数所具有的性质. 观察图象，总结填写下表：常见幂函数的性质例 1、已知幂函数2121(22)23mymmxn，求,m n的值例 2、已知函数221( )(2),mmf xmmxm为何值时，( )f x是：（1）正比例函数（2）反比例函数（3）二次函数（4）幂函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载例 3 下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系. （1）32yx；（ 2）13yx；（ 3）23yx；（ 4）2yx；（ 5）3yx；（ 6）12yx2、幂函数的定义域和值域所有幂函数yx的定义域和值域的求法分为五种情况（1）0时，0yx的定义域为0x x，值域为1（2）为正整数时，yx的定义域为R，为偶数时，值域为0,),为奇数时，值域为R（3）为负整数时，yx的定义域为0x x，为偶数时，值域为(0,)，为奇数时，值域为0y y（4）当为正分数nm时，化为mnyx，根据,m n的奇偶性求解（5）当为负分数nm时，化为1mnyx，根据,m n的的奇偶性求解例 4、 （1）函数23yx的定义域是，值域是；（2）函数23yx的定义域是，值域是；练 1（ 1）函数32yx的定义域是，值域是；（2）函数32yx的定义域是，值域是；练 2、幂函数2yx，45yx，54yx，23yx，45yx，其中定义域为R的是（）ABCD例 5设 1,1，12，3，则使函数y x的定义域为R，且为奇函数的所有值为 () A 1,3 B 1,1 C 1,3 D 1,1,3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载3、 幂函数的单调性和奇偶性（1）幂函数的单调性：在区间(0,)上，当0时，yx是增函数；当0时，yx是减函数（2）幂函数的奇偶性：令qp（其中p、q互质，p、qN）当q为奇数，则pqyx的奇偶性取决于p是奇数还是偶数.当p是奇数时，则pqyx是奇函数；当p是偶数时，则pqyx是偶函数当q为偶数，则p必是奇数，此时pqyx既不是奇函数，也不是偶函数例 6、若当(0,)x时，幂函数253(1)mymmx为减函数，则实数m的值为（）A2mB1mC1m或2mD152m例 7、已知函数223()( )mmm Zf xx为偶函数，且(3)(5)ff（1）求m的值，并确定( )f x的解析式（2）若( )log ( )(0,1)ag xfxaxaa在2,3上为增函数，求实数a的取值范围例 8、已知幂函数223( )()mmf xxmZ为偶函数，且在区间(0,)上市减函数（1）求函数( )fx的解析式（2）讨论( )( )( )bF xaf xxf x的奇偶性练 3、下列说法正确的是（）A12yx是奇函数B3yx是奇函数C2yx是非奇非偶函数D13yx是非奇非偶函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载构造幂函数比较两个幂值得大小比较两个幂值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同而底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数、指数函数的单调性或借助于函数的图像来比较例 9、 比较下列各组数大小：（1）1.5(1)a1.5(0)aa（2）223(2)a232（3）121.1120.9练 4、比较下列各组数大小：（1）3( 2)3(2. 5 )（2）78( 8)781( )9（3）25(4.1)，23(3.8)，35( 1.9)练 5、若01ab，则下列不等式成立的是（）A1(1)(1)bbaaB(1)(1)ababC2(1)(1)bbaaD(1)(1)abab任务三、课后作业第一题、选择题1在函数y2x3，yx2，yx2x，yx0中，幂函数有 () A 1 个B2 个C 3 个D4 个解析： 选 B.yx2与 yx0是幂函数2 若幂函数( )f xx 在 (0,) 上是增函数，则（）. A0 B0 C=0 D不能确定3函数 f(x)(m2m1)xm22m3是幂函数，且在x(0， )上是减函数，则实数m () A 2 B3 C 4 D5 4使 (32xx2)34有意义的x 的取值范围是() A RBx1 且 x3 C 3x1 Dx 3 或 x1 解析： 选 C.(32xx2)341432x x2 3，要使上式有意义，需3 2xx20，解得 3x1. 解析： 选 A.m2m11，得 m 1 或 m2，再把 m 1 和 m2 分别代入m22m3 0，经检验得 m2. 5. 若11221.1 ,0.9ab，那么下列不等式成立的是（）. Aal bB1a b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载C blaD1b a6函数43yx 的图象是（）. A. B. C. D. 7函数 y(x4)2的递减区间是() A (， 4) B(4， ) C (4， ) D(， 4) 解析： 选 A.y(x4)2开口向上，关于x 4 对称，在 (， 4)递减8给出四个说法：当 n0 时， yxn的图象是一个点；幂函数的图象都经过点(0,0)， (1,1)；幂函数的图象不可能出现在第四象限；幂函数yxn在第一象限为减函数，则n0. 其中正确的说法个数是() A 1 B2 C3 D4 解析： 选 B.显然错误；中如yx12的图象就不过点(0,0)根据幂函数的图象可知、正确，故选 B. 第二题、填空题9. 已知幂函数( )yf x 的图象过点(2,2) ，则它的解析式为. 10比较下列两组数的大小：（1）11221.3 _1.5； （2）225.1_5.09. 11已知 2.42.5，则 的取值范围是 _解析： 02.42.5，而 2.42.5， yx在 (0， )为减函数答案： 0 第三题、解答题12求函数y(x1)23的单调区间解： y (x 1)231x12313x12，定义域为x1.令 tx1，则 yt23， t0 为偶函数因为 230，所以 yt23在(0， )上单调递减，在(，0)上单调递增又tx1 单调递增，故 y(x1)23在(1， )上单调递减，在(，1)上单调递增13已知 (m4)12(32m)12，求 m 的取值范围解： yx12的定义域为 (0， )，且为减函数原不等式化为m4032m0m43 2m，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载解得13m32. m 的取值范围是(13，32)14已知幂函数yxm22m3(mZ)在(0， )上是减函数，求y 的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性解： 由幂函数的性质可知m22m30? (m1)(m3)0? 3m1，又 m Z， m 2， 1,0. 当 m0 或 m 2 时， yx3，定义域是 (，0) (0， ) 30， yx3在(，0)和(0， )上都是减函数，又 f(x)(x)3 x3 f(x)， yx3是奇函数当 m 1 时， yx4，定义域是 (，0) (0， ) f(x)(x)41x41x4x4f(x)，函数y x4是偶函数 40， yx4在(0， )上是减函数，又 yx4是偶函数，yx4在( ， 0)上是增函数任务四、巩固训练第一题、选择题1已知幂函数f(x)的图象经过点 (2，22)，则 f(4)的值为 () A16 B.116C.12D2 解析： 选 C.设 f(x)xn，则有 2n22，解得 n12，即 f(x)x12，所以 f(4)41212. 2下列幂函数中，定义域为x|x 0的是 () A yx23By x32Cy x13D yx34解析： 选 D.A. yx233x2， x R；B.yx32x3，x0；C.yx1313x，x 0；D.yx3414x3，x 0. 3函数3xy和31xy图象满足（）A关于原点对称B关于x轴对称C关于y轴对称D关于直线xy对称4函数2xy在区间2,21上的最大值是（）A41B1C4D4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载5设 T12312，T22315，T31312，则下列关系式正确的是() A T1T2T3BT3T1T2 CT2T3T1DT2T1T36.幂函数213112xy,xy,xy,xy在第一象限内的图象依次是图中的曲线（） A. 2134,CCCCB. 2314C,C,C,CC. 4123C,C,C,C D. 3241C,C,C,C7.下列函数在,0上为减函数的是（）A.13yxB.2yxC.3yxD.2yx答案：8幂函数f(x) x满足 x1 时 f(x)1，则 满足条件 () A 1 B0 1 C 0 D 0 且 1 解析： 选 A.当 x1 时 f(x)1，即 f(x)f(1)，f(x)x为增函数，且 1. 解析： 选 D.yx233x2，其定义域为R，值域为 0， )，故定义域与值域不同9. 当x （ 1 ， ） 时 ， 函 数 ）yax的 图 象 恒 在 直 线yx的 下 方 ， 则a的 取 值 范 围 是（A ）A、a1 B、 0a1 C、a0 D、a0 10若点,A a b在幂函数nyxnQ的图象上，则下列结论中不能成立的是( B ) A00abB00ab00abD00ab第二题、填空题11函数102( )(1)(1)f xxx的定义域为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载解析：1x01x0， x 13n，则 n_1,2_. 13942aaxy是偶函数，且在),0(是减函数，则整数a的值是5 . 14设 x(0,1)时， yxp(pR)的图象在直线yx 的上方，则p 的取值范围是 _解析： 结合幂函数的图象性质可知p1. 答案 ：p1 15已知函数f(x) x(0 1),对于下列命题： 若 x1,则 f(x) 1； 若 0x1,则 0f(x) 1; 若 f(x1) f(x2),则 x1 x2； 若 0x1x2,则2211)()(xxfxxf. 其中正确的命题序号是_ _. 第三题、解答题16已知幂函数f（x）13222ppx（pZ）在 (0,) 上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求p 的值，并写出相应的函数f（ x）17函数 f(x)(m2m5)xm1是幂函数，且当x(0， )时， f(x)是增函数，试确定m 的值解： 根据幂函数的定义得：m2m51，解得 m3 或 m 2，当 m3 时， f(x)x2在(0， )上是增函数；当 m 2 时， f(x)x3在(0， )上是减函数，不符合要求故m3. 18已知幂函数2223(1)mmymmx，当x (0 ， ) 时为减函数，则该幂函数的解析式是什么？奇偶性如何？单调性如何？解：由于2223(1)mmymmx为幂函数，所以m2m11，解得 m2，或 m 1. 当 m2 时， m22m3 3，yx3，在 (0， ) 上为减函数；当 m 1 时， m22m30，yx01(x0) 在 (0， ) 上为常函数，不合题意，舍去故所求幂函数为y x3.这个函数是奇函数，其定义域是( ，0)(0， ) ，根据函数在x(0， ) 上为减函数，推知函数在( ，0)上也为减函数。19已知点(2, 2)在幂函数( )f x的图象上，点1( 2,)2在幂函数( )g x的图象上，当x为何值时：(1) ( )( )f xg x；(2)( )( )f xg x；( 3 )()()fxgx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载解: 根据幂函数的概念，利用待定系数法求出幂函数的解析式，再结合图象确定满足条件的x 的取值范围设 f(x) x，则 (2)2，得2，所以 f(x)x2；同理可得g(x) x1. 在同一直角坐标系内作出函数21( )( )f xxg xx与的图象 ( 如图所示 ) ，(1)当 x1 时， f(x)g(x) ；(2)当 x=1 时， f(x)=g(x) ；(3)当 0x1 时， f(x)g(x) 20 已 知 幂 函 数3pyx()pN的 图 象 关 于y 轴 对 称 ， 且 在 (0 ， )上 是 减 函 数 ， 求 满 足33(1)(32 )ppaa的a的取值范围解: 函数 yxp3在(0 ， ) 上是减函数， p30，即 p3，又 p N*，p 1，或 p 2. 函数 yxp3的图象关于y 轴对称， p 3 是偶数，取p1，即 yx2，由1133(1)(32 )aa， 函数13yx在( ，) 上是增函数，由1133(1)(32 )aa，得132aa，即4a. 所求a的取值范围是 ( 4， ) 21一个幂函数yf (x)的图象过点 (3, 427), 另一个幂函数yg(x) 的图象过点 ( 8, 2), (1) 求这两个幂函数的解析式；（2）判断这两个函数的奇偶性；（3）作出这两个函数的图象，观察得 f (x) g(x)的解集 . 解（ 1）设f (x) xa, 将x3, y427代入，得a43, 34( )f xx ；设g(x)xb, 将x 8, y 2 代入，得b31,13( )g xx ；（2）f (x) 既不是奇函数，也不是偶函数；g(x) 是奇函数；（3） (0,1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页