学习好资料欢迎下载2010 中考数学函数与几何综合压轴题集合1.（ 2004 安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于 x 轴， 垂足分别为B、 D 且 AD 与 B 相交于 E 点.已知：A(-2,-6),C(1,-3) (1) 求证： E 点在 y 轴上；(2) 如果有一抛物线经过A，E，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果 AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k(k0) 个单位，此时AD 与 BC 相交于E点，如图，求AE C 的面积S 关于 k的函数解析式. 解（1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E 作 EO x 轴，垂足O ABEO DC ,EODOEOBOABDBCDDB又 DO + BO = DB 1EOEOABDC AB=6 ， DC=3 ， EO =2又DOEODBAB，2316EODODBABDO = DO ，即 O 与 O 重合， E 在 y 轴上方法二：由 D（1，0）， A（ -2，-6）得 DA 直线方程：y=2x-2 再由 B（ -2，0）， C（1， -3），得 BC 直线方程：y=-x-2 联立得02xy E 点坐标（ 0， -2），即E 点在 y 轴上（ 2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a 0)过 A（ -2，-6）， C（1，-3）E（0，-2）三点，得方程组42632abcabcc解得 a=-1,b=0,c=-2 抛物线方程y=-x2-2 （ 3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当 DC 水平向右平移k 后，过 AD 与 BC 的交点 E作 EFx图C （1，-3）（ 2， -6）B D O x E y 图C （1+k，-3）A （2， -6）B DO x Ey 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页学习好资料欢迎下载轴垂足为F。同（ 1）可得：1E FE FABDC得： E F=2 方法一：又E FABEFDFABDB，13DFDBSAE C= S ADC- S EDC=11122223DCDBDCDFDCDB=13DCDB=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式方法二： BADC ， S BCA=S BDA S AE C= S BDE 1132322BDE Fkk S=3+k 为所求函数解析式. 证法三： S DE CSAE C=DE AE= DC AB=1 2 同理：S DE C S DE B=12,又 S DE CS ABE=DC2AB2=1 4 2213992AE CABCDSSABCDBDk梯形 S=3+k 为所求函数解析式. 2. （2004 广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于 A、 D 两点 . （1）求点A 的坐标；（2）设过点A 的直线 yxb 与 x 轴交于点B.探究：直线AB 是否M 的切线？并对你的结论加以证明；（3） 连接 BC ， 记 ABC 的外接圆面积为S1、 M 面积为 S2， 若421hSS，抛物线y ax2bx c 经过 B、 M 两点，且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式. 解（ 1）解：由已知AM2， OM 1，在 Rt AOM 中， AO 122OMAM，点 A 的坐标为A（0， 1）（ 2）证：直线yx b 过点 A（0，1） 10 b 即 b1y x 1 令 y0 则 x 1B（ 1，0），AB2112222AOBO在 ABM 中， AB2，AM 2， BM2 222224)2()2(BMAMAB ABM 是直角三角形，BAM 90直线 AB 是 M 的切线（ 3）解法一：由得BAC 90 ，AB2，AC 22，BC 10)22()2(2222ACAB BAC 90 ABC 的外接圆的直径为BC ，25)210()2(221BCS而2)222()2(222ACS421hSS，A B C D x M y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页学习好资料欢迎下载5,4225hh即设经过点B（ 1， 0）、 M（1， 0）的抛物线的解析式为：ya（ 1）（ x1），（ a0 ）即 y ax2a， a 5， a 5 抛物线的解析式为y 5x25 或 y 5x25 解法二：（接上）求得 h5 由已知所求抛物线经过点B（1，0）、 M（1、0），则抛物线的对称轴是y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0， 5）抛物线的解析式为y a（ x0）2 5 又 B（ 1,0 ）、 M（ 1,0）在抛物线上，a 50， a 5 抛物线的解析式为y5x2 5 或 y 5x25 解法三：（接上）求得h5 因为抛物线的方程为yax2bx c（a0 ）由已知得5055c0b5544002cbaaabaccbacba或解得抛物线的解析式为y5x2 5 或 y 5x25. 3.(2004湖北荆门 )如图，在直角坐标系中，以点P（1， 1）为圆心， 2为半径作圆，交x 轴于 A、B 两点，抛物线)0(2acbxaxy过点A、B，且顶点 C 在 P 上. (1)求 P 上劣弧AB的长；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC 与 PD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由. 解（ 1）如图，连结PB ，过 P 作 PM x 轴，垂足为M. 在 RtPMB 中， PB=2,PM=1, MPB 60 ， APB 120AB的长342180120（ 2）在 Rt PMB 中， PB=2,PM=1, 则 MB MA 3. 又 OM=1 ， A（13，0）， B（13，0），由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线 PM 上，则 C(1， 3). 点 A、B、C 在抛物线上，则cbacbacba3)31()31(0)31()31(022解之得221cba抛物线解析式为222xxy（ 3）假设存在点D，使 OC 与 PD 互相平分，则四边形OPCD 为平行四边形，且PC OD. A B O x y P （1， 1）A B C O x y P （1， 1）M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页学习好资料欢迎下载又 PC y 轴，点D 在 y 轴上， OD 2，即 D（0， 2）. 又点 D（0， 2）在抛物线222xxy上，故存在点D（ 0， 2），使线段OC 与 PD 互相平分 . 4.（ 2004 湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt ABC 的直角顶点 C（0，3）在y轴的正半轴上，A、B 是x轴上是两点， 且 OA OB3 1，以 OA 、 OB 为直径的圆分别交AC 于点 E，交 BC 于点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q. （1）求过A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想. （3）在 AOC 中，设点M 是 AC 边上的一个动点，过M 作 MN AB交 OC 于点N. 试问：在x轴上是否存在点P，使得 PMN是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由 . 解 (1) 在 Rt ABC 中， OC AB， AOC COB. OC2OA OB. OA OB31,C(0,3), 2( 3)3.OB OBOB 1.OA 3. A(-3,0),B(1,0). 设抛物线的解析式为2.yaxbxc则930,0,3.abcabcc解之，得3,323,33.abc经过A、B、 C 三点的抛物线的解析式为：23233.33yxx(2)EF 与 O1、 O2都相切 . 证明：连结O1E、 OE、 OF. ECF AEO BFO 90 , 四边形EOFC 为矩形 . QE QO. 1 2. 3 4,2+4 90 ，EF 与 O1相切 . 同理： EF 理 O2相切 . (3)作 MP OA 于 P，设 MN a,由题意可得MP MN a. MN OA, CMN CAO. .MNCNAOCO3.33aa解之，得3 33.2a此时，四边形OPMN 是正方形 . 3 33.2MNOP3 33(,0).2P考虑到四边形PMNO 此时为正方形，点 P 在原点时仍可满足PNN 是以 MN 为一直角边的等腰直角三角形. 故x轴上存在点P 使得 PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形且3 33(,0)2P或(0,0).P5.（2004 湖北宜昌）如图，已知点A(0 ，1)、 C(4， 3)、E(415，823)，P 是以 AC 为对角线的矩形ABCD内部 (不在各边上 )的 个动点， 点 DA y x B E F O1Q O O2C B A E F O1Q O O2y x 2 1 3 4 M P C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页学习好资料欢迎下载X O P D C A B Y 由方程组y=ax2 6ax+1 y=21x+1 得： ax2（ 6a+21）x=0 在 y 轴，抛物线yax2+bx+1以 P 为顶点(1)说明点A、C、E 在一条条直线上；(2)能否判断抛物线yax2+bx+1的开口方向?请说明理由；(3)设抛物线y ax2+bx+1 与 x 轴有交点F、 G(F 在 G 的左侧 )， GAO与FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点这时能确定a、b 的值吗 ?若能，请求出a、b 的值；若不能，请确定 a、b 的取值范围(本题图形仅供分析参考用) 解（1）由题意， A(0 ，1)、 C(4， 3) 确定的解析式为：y=21x+1. 将点 E 的坐标E(415，823)代入y=21x+1 中，左边 =823，右边 =21415+1=823，左边 =右边，点E 在直线y=21x+1 上，即点 A、C、E 在一条直线上. （2）解法一：由于动点P 在矩形 ABCD 内部，点 P 的纵坐标大于点A 的纵坐标，而点A 与点 P 都在抛物线上，且P 为顶点，故，这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下解法二：抛物线y=ax2+bx+c 的顶点 P 的纵坐标为aba442，且 P 在矩形 ABCD 内部， 1aba4423，由 11ab42得ab420， a 0，抛物线的开口向下. （ 3）连接 GA、FA ， SGAO SFAO=3 21GO AO 21FO AO=3 OA=1 ， GO FO=6. 设 F（x1,0）、 G（x2,0），则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1 x2，又 a0， x1x2=a10， x1 0 x2， GO= x2， FO= x1， x2（ x1）=6 ，即 x2+x1=6， x2+x1= abab=6， b= 6a, 抛物线解析式为：y=ax2 6ax+1, 其顶点 P 的坐标为（ 3，19a） , 顶点P 在矩形 ABCD 内部，11 9a3, 92 a0. x=0 或 x=aa216=6+a21. 当 x=0 时，即抛物线与线段AE 交于点 A，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，则有：0 6+a21415，解得：92 a121综合得：92 a121X G F O P D E C A B Y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页学习好资料欢迎下载b= 6a，21b346.（2004 湖南长沙）已知两点O(0， 0)、B(0 ，2)， A 过点 B 且与 x轴分别相交于点O、 C， A 被 y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为3 1，直线 l 与 A 切于点O，抛物线的顶点在直线l 上运动 . （ 1）求 A 的半径；（ 2）若抛物线经过O、C 两点，求抛物线的解析式；（ 3）过 l 上一点P 的直线与A 交于 C、E 两点，且PC CE ，求点E 的坐标；（ 4）若抛物线与x 轴分别相交于C、F 两点， 其顶点P 的横坐标为m，求PEC 的面积关于m 的函数解析式. 解 (1) 由弧长之比为31，可得 BAO 90o再由 AB AO r，且 OB 2，得 r2 (2)A 的切线 l 过原点，可设l 为 ykx 任取 l 上一点 (b， kb)，由 l 与 y 轴夹角为45o 可得：b kb 或 bkb ，得 k 1 或 k1，直线 l 的解析式为y x 或 yx 又由 r2，易得C(2 ，0)或 C( 2， 0) 由此可设抛物线解析式为yax(x 2)或 yax(x 2) 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a1 抛物线为yx22x 或 yx2 2x 6 分(3)当 l 的解析式为y x 时，由 P 在 l 上，可设P(m ， m)(m 0) 过 P 作 PP x 轴于 P ， OP |m|，PP |m|， OP 2m2，又由切割线定理可得：OP2PC PE, 且 PC CE ，得PC PEmPP 7分C 与 P 为同一点，即PEx 轴于 C， m 2， E(2，2)8分同理，当l 的解析式为yx 时， m 2，E( 2，2) (4)若 C(2 ，0)，此时l 为 y x， P 与点 O、点 C 不重合， m 0且 m 2，当 m0 时， FC 2(2m) ，高为 |yp|即为 m，S22(2)()22mmmm同理当0 m 2 时， S m22m；当 m2 时， Sm2 2m ；S222 (02)2 (02)mm mmmmm或又若 C( 2，0)，此时 l 为 yx，同理可得；S222 (20)2 ( 20)mm mmmmm或7.（2006 江苏连云港） 如图， 直线4kxy与函数)0, 0(mxxmy的图像交于A、B 两点，且与x、y 轴分别交于C、 D 两点（ 1）若COD的面积是AOB的面积的2倍，求k与m之间的函数关系式；（ 2）在（ 1）的条件下，是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经0 x y A A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页学习好资料欢迎下载x y O 过点)0, 2(P若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由解（1）设),(11yxA，),(22yxB(其中2121,yyxx)，由AOBCODSS2，得)(2BODAODCODSSS21OC2OD(21OD1y21OD2y)，)(221yyOC，又4OC，8)(221yy，即84)(21221yyyy，由xmy可得ymx，代入4kxy可得042kmyy421yy，kmyy21，8416km，即mk2又方程的判别式08416km，所求的函数关系式为mk2)0(m（2）假设存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点)0,2(P则BPAP，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、NMAP与BPN都与APM互余，MAPBPNRtMAPRtNPB，NBMPPNAM212122yxxy，0)2)(2(2121yyxx，0)2)(2(2121yyymym，即0)(4)(222121212yyyyyymm由（ 1）知421yy，221yy，代入得01282mm，2m或6，又mk2，12km或316km，存在k,m使得以AB为直径的圆经过点)0,2(P， 且12km或316km8.（2004 江苏镇江）已知抛物线2(5)5(0)ymxmxm与 x 轴交于两点1(,0)A x、2(,0)B x12()xx，与y 轴交于点C，且AB=6. （ 1）求抛物线和直线BC 的解析式 . （ 2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC. （ 3）若P过 A、B、C 三点，求P的半径 . MNx轴 于 点（ 4 ） 抛 物 线 上 是 否 存 在 点M ， 过 点M作N，使MBN被直线BC分成面积比为1 3的两部分？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. NMOPDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页学习好资料欢迎下载解（1）12122155,6.mxxxxxxmm221212520()436,36,mxxx xmm解得1251,.7mm经检验 m=1 ，抛物线的解析式为：245.yxx或：由2(5)50mxmx得，1x或5xm0,m516 ,1.mm抛物线的解析式为245.yxx由2450xx得125,1.xxA（ 5，0）， B（ 1，0）， C（0， 5）. 设直线 BC 的解析式为,ykxb则5,5,0.5.bbkbk直线 BC 的解析式为55.yx(2)图象略 . （3）法一：在RtAOCD中，5,45 .OAOCOAC90BPC. 又2226,BCOBOCP的半径22613.2PB法二：由题意，圆心P 在 AB 的中垂线上，即在抛物线245yxx的对称轴直线2x上，设P（ 2， h）（ h0），连结 PB、PC ，则222222(12),(5)2PBhPCh，由22PBPC，即2222(12)(5)2hh，解得 h=2. ( 2, 2),PP的半径22(1 2)213PB. 法三：延长CP 交P于点 F. CF为P的直径，90 .CAFCOB又,.ABCAFCACFOCBD D,.CFACAC BCCFBCOCOC又22555 2,AC225,5126,COBC5 2262 13.5CFP的半径为13.（ 4）设 MN 交直线BC 于点 E，点 M 的坐标为2( ,45),t tt则点 E的坐标为( ,55).tt若1 3,MEBENBSSDD:则1 3.ME EN:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页学习好资料欢迎下载243 4,45(55).3ENMNttt:解得11t（不合题意舍去），25,3t5 40,.39M若3 1,MEBENBSSDD:则3 1.ME EN:21 4,454(55).EN MNttt:解得31t（不合题意舍去），415,t15,280 .M存在点 M，点 M 的坐标为5 40,39或（ 15，280 ）. 9. 如图， M 与 x 轴交于A、B 两点，其坐标分别为)03(，A、)01( ，B，直径 CD x 轴于 N，直线 CE 切 M 于点 C，直线 FG 切 M 于点 F，交 CE 于 G，已知点G 的横坐标为3. (1) 若抛物线mxxy22经过 A、 B、 D 三点，求m 的值及点 D 的坐标 . (2) 求直线 DF 的解析式 . (3) 是否存在过点G 的直线，使它与（ 1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由. 解 (1) 抛物线过A、B 两点，11)3(m，m=3. 抛物线为322xxy. 又抛物线过点D，由圆的对称性知点D 为抛物线的顶点. D 点坐标为)41(，. (2) 由题意知：AB=4. CD x 轴， NA=NB=2. ON=1. 由相交弦定理得：NA NB=ND NC ， NC 4=2 2. NC=1. C 点坐标为)11(，. 设直线DF 交 CE 于 P，连结 CF ，则 CFP=90 . 2+3=1+4=90 . GC 、GF 是切线， GC=GF. 3= 4. 1=2. GF=GP. GC=GP. 可得 CP=8. P 点坐标为)17( ，设直线DF 的解析式为bkxy则174bkbk解得82785bk直线 DF 的解析式为：82785xyF A y x O N M G E D C P 1 2 3 4 A y x O N M G F E D C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页学习好资料欢迎下载(3) 假设存在过点G 的直线为11bxky，则1311bk，1311kb. 由方程组3213211xxykxky得034)2(112kxkx由题意得421k，61k. 当61k时，040，方程无实数根，方程组无实数解. 满足条件的直线不存在. 10.（ 2004 山西）已知二次函数212yxbxc的图象经过点A（ 3，6），并与x 轴交于点B（ 1， 0）和点C，顶点为P. （1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；（2）设 D 为线段OC 上的一点，满足DPC BAC ，求点 D 坐标；（3）在 x 轴上是否存在一点M，使以M 为圆心的圆与AC 、PC 所在的直线及y 轴都相切？如果存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解（ 1）解：二次函数212yxbxc的图象过点A（ 3，6），B（ 1， 0），得9362102bcbc解得132bc这个二次函数的解析式为：21322yxx由解析式可求P（ 1， 2）， C（3，0）画出二次函数的图像（ 2）解法一：易证：ACB PCD 45又已知：DPC BAC DPC BAC DCPCBCAC易求6 2,2 2,4ACPCBC43DC45333OD5,03D解法二：过A 作 AEx 轴，垂足为E. 设抛物线的对称轴交x 轴于 F. 亦可证 AEB PFD 、PEEBPFFD.易求： AE6，EB 2， PF 2 23FD25133OD5,03D（ 3）存在 . 1 ）过 M 作 MH AC ，MG PC 垂足分别为H、G，设 AC 交 y轴于 S， CP 的延长线交y 轴于 T SCT 是等腰直角三角形，M 是SCT 的内切圆圆心，MG MH OM 又2MCOM且 OM MC OC 23,3 23OMOMOM得3 23,0M2 ）在 x 轴的负半轴上，存在一点M同理 OM OC M C，2OMOCOM得3 23OMM3 23,0即在 x 轴上存在满足条件的两个点. x O y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页学习好资料欢迎下载A B C M O x y 11.（2004 浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A（ 1，0），B（3，0）. （1）若抛物线过A，B 两点，且与y 轴交于点（0， 3），求此抛物线的顶点坐标；（2）如图，小敏发现所有过A，B 两点的抛物线如果与y 轴负半轴交于点 C，M 为抛物线的顶点，那么ACM 与 ACB 的面积比不变，请你求出这个比值；（3）若对称轴是AB 的中垂线l 的抛物线与x 轴交于点E，F，与 y 轴交于点 C，过 C 作 CP x 轴交 l 于点 P，M 为此抛物线的顶点.若四边形 PEMF 是有一个内角为60 的菱形，求次抛物线的解析式. 解（ 1）322xxy，顶点坐标为（1， 4）. （ 2）由题意，设y a（ x 1）（ x3），即 y ax22ax 3a，A（ 1，0）， B（ 3， 0），C（0， 3a）， M（1， 4a），S ACB21 4a36a，而a 0，SACB6A 、作 MD x 轴于 D，又 S ACMSACOSOCMDSAMD 21 1 3a21（3a 4a）21 2 4aa，S ACM： S ACB1：6. （ 3）当抛物线开口向上时，设ya（x 1）2k，即 y ax22ax ak， 有菱形可知kak，ak0， k0，k2a， yax2 2ax 2a，2EF. 记 l 与 x 轴交点为D， 若 PEM 60 ，则 FEM 30 ，MD DE tan30 66，k66， a36，抛物线的解析式为666326312xxy. MT 1 1 -1 -4 -2 3 0 5 6 E -1 -2 3 C x y B D M F S G H P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页学习好资料欢迎下载若 PEM 120 ，则 FEM 60 ，MD DE tan60 26，k26，a6， 抛物线的解析式为266262xxy. 当抛物线开口向下时，同理可得666326312xxy，266262xxy. 12. （ 2005 北京）已知： 在平面直角坐标系xOy 中， 一次函数ykxk4的图象与x 轴交于点A，抛物线yaxbxc2经过 O、A 两点。（1）试用含a 的代数式表示b；（2）设抛物线的顶点为D，以 D 为圆心， DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求D 半径的长及抛物线的解析式；（3）设点B 是满足（ 2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得POAOBA43？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。解（1）解法一：一次函数ykxk4的图象与x 轴交于点A 点 A 的坐标为（4， 0）抛物线yaxbxc2经过 O、A 两点cab01640，ba4解法二：一次函数ykxk4的图象与x 轴交于点A 点 A 的坐标为（ 4，0）抛物线yaxbxc2经过 O、 A 两点抛物线的对称轴为直线x2xba22ba4（ 2）由抛物线的对称性可知，DO DA 点 O 在 D 上，且 DOA DAO 又由（ 1）知抛物线的解析式为yaxax24点 D 的坐标为（24，a）当a0时，如图1，设 D 被 x 轴分得的劣弧为OmA，它沿 x 轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA所在的圆与D 关于 x 轴对称，设它的圆心为D 点 D与点 D 也关于x 轴对称点 O 在 D上，且 D 与 D相切点 O 为切点DO OD DOA DOA 45 ADO 为等腰直角三角形OD2 2点 D 的纵坐标为2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页学习好资料欢迎下载421242aaba，抛物线的解析式为yxx1222当a0时，同理可得：OD2 2抛物线的解析式为yxx1222综上， D 半径的长为2 2，抛物线的解析式为yxx1222或yxx1222（3）抛物线在x 轴上方的部分上存在点P，使得POAOBA43设点 P 的坐标为（x，y），且 y0 当点 P 在抛物线yxx1222上时（如图 2）点 B 是 D 的优弧上的一点OBAADO1245POAOBA4360过点 P 作 PEx 轴于点 E tantanPOEEPOEyxyx603由yxyxx31222解得：xyxy112242 364 300，（舍去）点 P 的坐标为42 364 3，当点P 在抛物线yxx1222上时（如图3）同理可得，yx3。由yxyxx31222解得：xyxy112242 364300，（舍去）点 P 的坐标为42 364 3，综上，存在满足条件的点P，点 P 的坐标为423643，或42 364 3，13. （2005 北京丰台）在直角坐标系中，O1经过坐标原点O，分别与 x 轴正半轴、y 轴正半轴交于点A、 B。（ 1）如图，过点A 作O1的切线与y 轴交于点C，点 O 到直线AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页学习好资料欢迎下载的距离为123sin55ABC，求直线AC 的解析式；（2）若O1经过点M（ 2， 2），设BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。解（1）如图 1，过 O 作OGB于 G，则OG125设OAk kAOBABC309035(),sinABkOBk54，OA OBAB OGSkkkAOB23451251,OAOBAB345，A（3，0）AOB90 ,AB 是O1的直径AC切O1于 A，BA ACBAC,90在Rt ABC中cos,ABCABBCBCOCBCOB4525494C()094，设直线AC 的解析式为ykxb，则3094kbbkb3494，直线 AC 的解析式为yx3494（ 2）结论：dAB的值不会发生变化设AOB的内切圆分别切OA、OB 、AB 于点 P、 Q、T，如图 2 所示y B M O1Q P O A N x T 图 2 BQBTAPATOQOPdBQBTOBdAPATOAdABBTATOBdOAdOAOBd，22222,则dABdOAOBdOAOB在 x 轴上取一点N，使 AN=OB ，连接 OM 、BM、 AM、 MN y B O1O A x C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页学习好资料欢迎下载MOM( , ),2 2平分AOBOM,22BOMMONAMBMMANOBM OBAN45 ,又BOMANMBOMANMANMMON,45OMNMOMN,90OAOBOAANONOMMNOM22222 24dAB的值不会发生变化，其值为4。14.（ 2005福建厦门）已知：O 是坐标原点，P（m， n） (m 0)是函数 y kx(k0)上的点，过点P 作直线 PA OP 于 P，直线 PA 与 x轴的正半轴交于点A （a， 0） (am). 设 OPA 面积为 s，且 s1n44. （1）当 n 1 时，求点A 的坐标；（2）若 OP AP ，求 k 的值；（3 ) 设 n 是小于20 的整数，且kn42，求 OP2的最小值 . 解过点 P 作 PQ x 轴于 Q，则 PQ n， OQm (1) 当 n1 时，s54 a2sn52(2) 解 1： OP AP PA OP OPA 是等腰直角三角形 mna2 1n4412 an 即 n4 4n240 k2 4k40 k2 解 2： OP AP PA OP OPA 是等腰直角三角形 mn 设 OPQ 的面积为s1, 则： s1s212 mn12(1n44) 即： n4 4n240 k2 4k40 k2 (3) 解 1：PA OP ， PQ OA OPQ OAP 设： OPQ 的面积为s1，则s1sPO2AO2即：12k1n44n2k2n24 (1 n44)2n2化简得： 2n42k2k n44k 0 （k2）（ 2kn4） 0 k 2 或 kn42(舍去 ) 。当 n 是小于20 的整数时， k2. OP2 n2m2 n2k2n2又 m0，k 2， n 是大于 0 且小于20 的整数当 n1 时， OP25 当 n2 时， OP25 当 n3 时， OP232432949859当 n 是大于3 且小于 20 的整数时，即当n 4、5、6、 19 时，OP2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页学习好资料欢迎下载得值分别是：42442、52452、62462、 19241921924192 1824182 32432 5 OP2的最小值是5. 解 2： OP2n2m2 n2k2n2 n222n2(n2n)2 4 当 n2n时，即当n2时， OP2最小；又 n 是整数，而当n1 时， OP2 5；n 2 时， OP25 OP2的最小值是5. 解 3：PA OP ， PQ OA OPQ P AQ PQQAOQPQnammn化简得： 2n4 2k2k n44k 0 （k2）（ 2kn4） 0 k2 或 kn42(舍去 ) 解 4：PA OP ， PQ OA OPQ P AQ s1ss1OQ2PQ2化简得： 2n42k2 k n44k0 （k2）（ 2kn4） 0 k2 或 kn42(舍去 ) 解 5：PA OP ， PQ OA OPQ OAP OPOAOQOP OP2 OQ OA 化简得： 2n42k2 k n44k0 （k2）（ 2kn4） 0 k 2 或 kn42(舍去 ) 15.（ 2005 湖北黄冈课改）如图，在直角坐标系中，O 是原点， A、B、C 三点的坐标分别为A（18，0）， B（18， 6）， C（ 8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q 同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P沿 OA 向终点A 运动，速度为每秒1 个单位，点Q 沿 OC、CB 向终点B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。（ 1）求出直线OC 的解析式及经过O、A、C 三点的抛物线的解析式。（ 2）试在中的抛物线上找一点D，使得以O、 A、 D 为顶点的三角形与 AOC 全等，请直接写出点D 的坐标。（ 3）设从出发起，运动了t 秒。如果点Q 的速度为每秒2 个单位，试写出点Q 的坐标，并写出此时t 的取值范围。（ 4）设从出发起，运动了t 秒。当 P、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半，这时，直线PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，请求出t 的值；如不可能，请说明理由。解（1） O、C 两点的坐标分别为O0,0，C6,8设 OC 的解析式为bkxy，将两点坐标代入得：43k，0b，xy43 A，O 是x轴上两点，故可设抛物线解析式为：180 xxay再将 C6 ,8代入得：403aQP O C（8，6）B（18，6）A（ 18， 0）x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页学习好资料欢迎下载xxy20274032（2） D6 ,10（ 3 ） 当Q在OC上 运 动 时 ， 可 设Qmm43,， 依 题 意 有 ：222243tmmtm58， Qtt56,58，50t当 Q 在 CB 上时，Q 点所走过的路程为t2， OC 10， CQ 102tQ 点的横坐标为228102tt， Q6,22t，105t（4）梯形 OABC 的周长为44， 当 Q 点 OC 上时，P 运动的路程为t，则Q运 动 的 路 程 为t22。 OPQ中 ， OP边 上 的 高 为 ：532221,5322tttOPQS梯形 OABC 的面积846101821，依题意有：2184532221tt整理得：0140222tt01404222，这样的t不存在当 Q 在 BC 上时， Q 走过的路程为t22，CQ 的长为：tt121022梯形 OCQP 的面积tt102262136 8421这样的t值不存在。综上所述，不存在这样的t值，使得P， Q 两点同时平分梯形的周长和面积16.（ 2005 湖北荆门）已知：如图，抛物线mxxy332312与 x轴交于A、 B 两点，与y 轴交于C 点， ACB 90 ，（ 1）求 m 的值及抛物线顶点坐标；（ 2）过 A、B、C 的三点的M 交 y 轴于另一点D，连结DM 并延长交 M 于点 E，过 E 点的 M 的切线分别交x 轴、 y 轴于点F、G，求直线 FG 的解析式；（ 3）在（ 2）条件下，设P 为CBD上的动点（ P 不与 C、D 重合），连结 PA 交 y 轴于点H，问是否存在一个常数k， 始终满足AH AP k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由. 解（1）由抛物线可知，点C 的坐标为（ 0，m），且 m0. 设 A（x1，0）， B（x2，0）.则有 x1 x23m又 OC 是 RtABC 的斜边上的高， AOC COBOBOCOCOA21xmmx，即 x1 x2 m2 m23m，解得m0或 m 3而 m0，故只能取m 3 这时，4)3(3133323122xxxy故抛物线的顶点坐标为（3， 4）A B C D E F G M x y O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页学习好资料欢迎下载（2）解法一：由已知可得：M（3， 0）， A（3，0），B（ 33，0）， C（0,3）， D（0， 3）抛物线的对称轴是x3，也是 M 的对称轴，连结CE DE 是 M 的直径， DCE 90 ， 直线 x3， 垂直平分CE ，E 点的坐标为（23， 3）33ODOMOCOA， AOC DOM 90 ， ACO MDO 30 ， AC DE ACCB ， CB DE 又 FG DE ，FG CB 由 B（ 33，0）、 C（ 0， 3）两点的坐标易求直线CB 的解析式为：yx33 3可设直线FG 的解析式为yx33 n，把（ 23， 3）代入求得n 5 故直线 FG 的解析式为yx335解法二：令y0，解xx33231230 得，x13，x233即 A（3， 0）， B（ 33， 0）根据圆的对称性，易知：M 半径为23，M（3，0）在 Rt BOC 中， BOC 90 ，OB 33， OC 3 CBO 30 ，同理， ODM 30 。而 BME DMO ， DOM 90 ， DE BC DE FG，BC FG EFM CBO 30在 Rt EFM 中， MEF 90 ， ME23， FEM 30 ，MF 43， OF OM MF 53，F 点的坐标为（53，0）在 Rt OFG 中， OG OF tan30 53335 G 点的坐标为（0， 5）直线FG 的解析式为yx335（ 3）解法一：存在常数k 12，满足 AH AP 12。连结 CP，由垂径定理可知ACAD，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页学习好资料欢迎下载 P ACH （或利用P ABC ACO ）又 CAH PAC ， ACH APC ACAPAHAC即 AC2AH AP在 RtAOC 中，AC2 AO2 OC2（3）23212 （或利用AC2AO AB3 4312AH AP 12解法二：存在常数k12 ，满足 AH AP12 设 AH x， APy 由相交弦定理得HD HC AH HP 即)()33)(33(2xyxxx化简得： xy 12 即AH AP 12A B C D E F G M x y P H O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页