模模 糊糊 数数 学（学（Fuzzy MathematicsFuzzy Mathematics）原理及应用原理及应用原理及应用原理及应用石鸿雁1主要参考教材主要参考教材1、应用模糊数学方法杨印生，、应用模糊数学方法杨印生， 吉林人民出版社吉林人民出版社 ，20012、 工程模糊数学及其应用李士勇工程模糊数学及其应用李士勇， 哈尔滨工业大学出版社哈尔滨工业大学出版社 ，20043、 模糊性精确性的另一半刘应明，模糊性精确性的另一半刘应明， 清华大学出版社清华大学出版社 ，20004、 计算智能的数学基础褚蕾蕾，计算智能的数学基础褚蕾蕾， 科技出版社科技出版社 ，20022主要内容主要内容l 绪绪 论论l第第一章章 F集合集合l第二章第二章 F模式识别模式识别l第三章第三章 F关系与聚类分析关系与聚类分析l第四章第四章 F映射与综合评判映射与综合评判l第五章第五章 扩张原理与扩张原理与F数数l模糊数学的应用模糊数学的应用3绪绪 论论一、模糊数学的产生一、模糊数学的产生 1. 模糊性及其客观性模糊性及其客观性 2. 模糊数学的产生模糊数学的产生二、模糊数学的研究内容二、模糊数学的研究内容 1. 理论研究理论研究 2. 逻辑研究逻辑研究 3. 应用研究应用研究三、模糊数学的发展三、模糊数学的发展4一、模糊数学的产生一、模糊数学的产生1. 模糊性及其客观性模糊性及其客观性概念概念： 内涵：符合此概念的对象所具有的共同属性内涵：符合此概念的对象所具有的共同属性 即区别于其他概念的全体本质属性即区别于其他概念的全体本质属性 外延：符合此概念的全体对象外延：符合此概念的全体对象“人人”的内涵：思维、语言、制造、使用工具的内涵：思维、语言、制造、使用工具 “人人”的外延：古今中外的一切人的外延：古今中外的一切人 “大于大于5的自然数的自然数”，“一粒种子一粒种子”5一、模糊数学的产生一、模糊数学的产生1. 模糊性及其客观性模糊性及其客观性“一粒一粒种子种子” 、“一堆一堆种子种子” “秃秃”和和“非秃非秃” N=1、2等时为真；能否找到等时为真；能否找到K0当当N=K0时为真时为真, 而而N=K0+1不为真；不为真；例如种子或头发的数量：例如种子或头发的数量： K0=123585回顾回顾数学归纳法数学归纳法：N=1时为真；且当时为真；且当N=K时为时为真真, N=K+1亦为真；亦为真； 则无论则无论N取何值均为真取何值均为真6一、模糊数学的产生一、模糊数学的产生“一堆种子一堆种子”的外延是不确定的！的外延是不确定的！“秃秃”和和“非秃非秃” 两个概念的区别是渐变的两个概念的区别是渐变的“一粒一粒”和和“一堆一堆”两个概念的区别是渐变的两个概念的区别是渐变的客观差异的中间过渡性导致划分的不明确性客观差异的中间过渡性导致划分的不明确性举例：举例：“冷和热冷和热” ， “高和矮高和矮” ， “胖和瘦胖和瘦” “少年和青年少年和青年”1. 模糊性及其客观性模糊性及其客观性7一、模糊数学的产生一、模糊数学的产生模糊性（模糊性（Fuzzy）：）： 客观事物差异的中间过渡中的不分明性客观事物差异的中间过渡中的不分明性模糊概念：模糊概念：没有明确外延的概念没有明确外延的概念模糊数学：模糊数学：用严密的数学方法研究和处理用严密的数学方法研究和处理 具有模糊性现象的数学理论和方法具有模糊性现象的数学理论和方法 尽量如实地反映人们使用模糊概念的本来含意尽量如实地反映人们使用模糊概念的本来含意L.A.Zadeh：美国加利福尼亚大学教授，控制论专家，数学家美国加利福尼亚大学教授，控制论专家，数学家 1965年，年，信息与控制信息与控制杂志杂志 “Fuzzy sets”1. 模糊性及其客观性模糊性及其客观性突破经典数学的基础突破经典数学的基础集合论集合论 ，用数学的观点来刻划模糊事物，用数学的观点来刻划模糊事物8一、模糊数学的产生一、模糊数学的产生2. 模糊数学的产生模糊数学的产生历史原因：历史原因：系统的复杂性系统的复杂性微积分微积分，力学、电磁学，万有引力定律，力学、电磁学，万有引力定律多变量、非线性、时变的大系统：复杂性、精多变量、非线性、时变的大系统：复杂性、精确性形成了尖锐的矛盾确性形成了尖锐的矛盾互克性原理互克性原理（不相容性原理（不相容性原理 ）：）： 当系统的复杂性日益增长时，我们做出系统特性当系统的复杂性日益增长时，我们做出系统特性的精确而有意义的描述能力将相应降低，直到达到这的精确而有意义的描述能力将相应降低，直到达到这样样个阀值，个阀值，旦超过它，旦超过它，精确性精确性和和有意义性有意义性将变成将变成两个几乎互相排斥的特性。两个几乎互相排斥的特性。 9一、模糊数学的产生一、模糊数学的产生复杂性与精确性的矛盾复杂性与精确性的矛盾 复杂性升高，精确性降低复杂性升高，精确性降低 考虑最重要的部分，忽略一些所谓的次要因素考虑最重要的部分，忽略一些所谓的次要因素对系统的描述带来模糊性对系统的描述带来模糊性 复杂性升高，模糊性增加，精确性降低复杂性升高，模糊性增加，精确性降低 复杂性升高，模糊性增加，保持或提高精确性复杂性升高，模糊性增加，保持或提高精确性2. 模糊数学的产生模糊数学的产生历史原因：系统的复杂性历史原因：系统的复杂性10一、模糊数学的产生一、模糊数学的产生2. 模糊数学的产生模糊数学的产生直接原因：直接原因：信息技术的智能化信息技术的智能化智能化：智能化： 在信息获取、处理、利用上模仿人的智能、行在信息获取、处理、利用上模仿人的智能、行为能力和生命进化的过程为能力和生命进化的过程“听懂听懂”人类语言，人类语言，“看清看清”文字图像，与人文字图像，与人 “说话交说话交流流”，学习、辨识、理解、联想、推理、优化。，学习、辨识、理解、联想、推理、优化。举例：举例： “把电视调得更清楚一些把电视调得更清楚一些”、“大胡子大胡子”11一、模糊数学的产生一、模糊数学的产生2. 模糊数学的产生模糊数学的产生“软软”科学和交叉科学的需要：科学和交叉科学的需要： “硬硬”科学：自然科学和工程技术科学科学：自然科学和工程技术科学 “软软”科学：科学：人文、社会科学人文、社会科学 系统科学、管理科学、运筹学等交叉科学系统科学、管理科学、运筹学等交叉科学 需要需要 定性方法定性方法与与定量方法定量方法相结合相结合定性要靠专家的意见，但专家意见是实践经验的概括，有点模糊定性要靠专家的意见，但专家意见是实践经验的概括，有点模糊12二、模糊数学的研究内容二、模糊数学的研究内容 三个方面：理论研究、逻辑研究、应用研究三个方面：理论研究、逻辑研究、应用研究1. 理论研究理论研究研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系随机数学的关系 集合集合 修改和推广修改和推广 模糊集合模糊集合 运算、变换规律运算、变换规律 模糊群论、模糊概率、模糊图论、模糊环论模糊群论、模糊概率、模糊图论、模糊环论以及模糊拓扑学以及模糊拓扑学13二、模糊数学的研究内容二、模糊数学的研究内容 2. 逻辑研究：研究模糊语言学和模糊逻辑逻辑研究：研究模糊语言学和模糊逻辑特点：特点：（1）较多地移植了数理逻辑的思想和方法较多地移植了数理逻辑的思想和方法 （2）围绕应用，具有丰富的模糊推理方法围绕应用，具有丰富的模糊推理方法将人类的语言和思维过程提炼成数学模型将人类的语言和思维过程提炼成数学模型 （输入指令，（输入指令，建立合适的模糊数学模型建立合适的模糊数学模型 ）二值逻辑二值逻辑 多值逻辑多值逻辑 模糊逻辑模糊逻辑举例：举例：“今天的天气有点凉今天的天气有点凉” 14二、模糊数学的研究内容二、模糊数学的研究内容 3. 应用研究应用研究模糊方法：模糊方法： 模糊模式识别、模糊综合评判、模糊聚类分模糊模式识别、模糊综合评判、模糊聚类分析析和模糊规划方法、模糊和模糊规划方法、模糊决策决策方法、模糊评价方法、模糊评价方法，是模糊概念和模糊表述方式在管理科学、方法，是模糊概念和模糊表述方式在管理科学、控制论和聚类分析中的应用。控制论和聚类分析中的应用。模糊技术：模糊技术：设备投资、产业化特征设备投资、产业化特征 模糊控制模糊控制 将将0，1事物事物0,1化，模糊探测仪、模糊家电化，模糊探测仪、模糊家电15三、模糊数学的发展三、模糊数学的发展1974年，英国年，英国曼达尼（曼达尼（E.H.Mandani）教授率先将模教授率先将模糊逻辑应用到蒸汽发电机的压力和速度控制中，取得糊逻辑应用到蒸汽发电机的压力和速度控制中，取得了比常规的了比常规的PID控制更好的结果。控制更好的结果。有关模糊理论与应用的杂志、特刊有数十种，论文数有关模糊理论与应用的杂志、特刊有数十种，论文数千篇。此外还有数以百计的应用实例。仅在家用电器千篇。此外还有数以百计的应用实例。仅在家用电器方面，就已生产出了方面，就已生产出了模糊热水器、模糊电饭锅、模糊模糊热水器、模糊电饭锅、模糊空调器、模糊洗衣机、模糊吸尘器、模糊电冰箱、模空调器、模糊洗衣机、模糊吸尘器、模糊电冰箱、模糊微波炉、模糊摄录一体机、模糊彩色电视机、模糊糊微波炉、模糊摄录一体机、模糊彩色电视机、模糊空气净化器、模糊电动剃须刀空气净化器、模糊电动剃须刀等等。等等。2007年年4月月17日，中国期刊全文数据库：日，中国期刊全文数据库：19802007 模糊模糊：109310 ；模糊数学模糊数学：17444 ；模糊控制模糊控制：19456 ； 模糊统计模糊统计：2975 ；模糊逻辑模糊逻辑：6481 ；模糊综合评判模糊综合评判：8886 ；模糊聚类分析模糊聚类分析：4207 ；模糊模式识别模糊模式识别：2132 16三、模糊数学的发展三、模糊数学的发展1983年年, ,中国在武汉成立了中国在武汉成立了模糊数学与系统学会模糊数学与系统学会, ,出版发行出版发行模糊系统与数学模糊系统与数学杂志。杂志。19941994年，年，国家经贸委国家经贸委，模糊控制技术在洗衣机上模糊控制技术在洗衣机上的应用，江门金羚集团的应用，江门金羚集团。 金羚集团和华南计算机公司合作，设计开发带有金羚集团和华南计算机公司合作，设计开发带有布量、布质、脏污程度、脏污性质和温度布量、布质、脏污程度、脏污性质和温度等完备等完备传感功能的传感功能的XQB55-30XQB55-30型模糊控制全自动洗衣机。型模糊控制全自动洗衣机。17三、模糊数学的发展三、模糊数学的发展模糊洗衣机的工作过程：模糊洗衣机的工作过程：洗衣机、传感器、电脑洗衣机、传感器、电脑 不同种类的布料不同种类的布料洗涤洗涤时间不同时间不同 冬夏两季水温不同冬夏两季水温不同 脏肮程度脏肮程度洗涤液剂量洗涤液剂量不同不同 根据根据 洗涤液透明度洗涤液透明度 判断判断 衣物脏肮程度、脏肮性质（泥或油类）衣物脏肮程度、脏肮性质（泥或油类） 识别识别 设定设定最佳洗涤时间最佳洗涤时间：洗净衣物、不伤布料：洗净衣物、不伤布料 18三、模糊数学的发展三、模糊数学的发展模糊数学的不足模糊数学的不足：v隶属函数的确立方法隶属函数的确立方法 大多用大多用主观判定主观判定和和模糊统计模糊统计的方法的方法 v没有建立完善的公理体系没有建立完善的公理体系 牛顿，希尔伯特，数学分析，牛顿，希尔伯特，数学分析，200200年年 模糊数学只有模糊数学只有40多年的历史多年的历史 19第一章第一章 F集合集合1.1 引言引言1.2 F集的基本概念集的基本概念1.3 F集的运算集的运算1.4 F集的运算的其它定义集的运算的其它定义1.5 F集的截集集的截集1.6 分解定理分解定理1.9 F集的模糊度集的模糊度20第一章第一章 F集合集合l1.1 引言引言 模糊数学是描述模糊现象的数学模糊数学是描述模糊现象的数学 处理现实对象的数学模型分为三大类：处理现实对象的数学模型分为三大类：1.确定性数学模型确定性数学模型 背景对象具有确定性或固定性，对象间具有必然的关系背景对象具有确定性或固定性，对象间具有必然的关系2.随机性数学模型随机性数学模型 背景对象具有或然性或随机性背景对象具有或然性或随机性3.模糊性数学模型模糊性数学模型 背景对象及其关系具有模糊性背景对象及其关系具有模糊性前两种模型的共同特点是所描述的事物本身的含义是确定的，其赖以存在的前两种模型的共同特点是所描述的事物本身的含义是确定的，其赖以存在的基石基石集合论，它满足互补率，就是这种非此即彼的清晰概念的抽象集合论，它满足互补率，就是这种非此即彼的清晰概念的抽象第三种模型所描述的事物本身的含义是不确定的（健康人的集合）第三种模型所描述的事物本身的含义是不确定的（健康人的集合）模糊现象普遍存在，其成员没有精确定义的判别准则，模糊集反映了模糊现象普遍存在，其成员没有精确定义的判别准则，模糊集反映了“亦此亦此亦彼亦彼”的模糊性，它不满足互补率的模糊性，它不满足互补率21第一章第一章 F集合集合l1.1 引言引言随机性与模糊性虽然都具有不确定性，但有区别随机性与模糊性虽然都具有不确定性，但有区别随机性：是针对事件的某种结果的机会而言，由于条件随机性：是针对事件的某种结果的机会而言，由于条件不充分，导致各种可能的结果，是因果律的破缺而造不充分，导致各种可能的结果，是因果律的破缺而造成的不确定性，概率与统计数学是处理这类随机现象成的不确定性，概率与统计数学是处理这类随机现象的数学的数学模糊性：是指存在于现实中的不分明现象，如健康与不模糊性：是指存在于现实中的不分明现象，如健康与不健康之间找不到明确的边界。从差异的一方到另一方，健康之间找不到明确的边界。从差异的一方到另一方，中间经历了从量变到质变的连续过渡过程。是由于排中间经历了从量变到质变的连续过渡过程。是由于排中律的破缺而造成的不确定性。中律的破缺而造成的不确定性。22第一章第一章 F集合集合l1.1 引言引言概率与统计数学将数学的应用范围从必然现象扩概率与统计数学将数学的应用范围从必然现象扩大到随机现象的领域；大到随机现象的领域；模糊数学将数学的应用范围从清晰现象扩大到模模糊数学将数学的应用范围从清晰现象扩大到模糊现象的领域；糊现象的领域；231.2 F集合的基本概念集合的基本概念论域论域(universal set) ：讨论所涉及到对象的全体，讨论所涉及到对象的全体，也称为全集。通常用大写的英文字母也称为全集。通常用大写的英文字母U，V，W，X 、Y、 Z 等等表示论域。表示论域。元素元素(member或或element) ：论域中的每个对象。论域中的每个对象。 通常用小写的英文字母通常用小写的英文字母u, , v, , w，x，y 等等表示表示元素。元素。集合集合(Set) ：给定论域给定论域U和某一性质和某一性质P， U中具有中具有性质性质P P 的元素组成的全体。通常，用大写的英文字的元素组成的全体。通常，用大写的英文字母母A, , B, , C 等等表示集合。表示集合。24包含有限个元素的集合，称为有限集或有穷集包含有限个元素的集合，称为有限集或有穷集( (finite set ) )；包含无限个元素的集合，称为无限集或无穷集包含无限个元素的集合，称为无限集或无穷集( (infinite set ) )。存在一个没有任何元素的集合，称为空集存在一个没有任何元素的集合，称为空集( (empty set ) ) ，记为记为 。例：例：所有英文字母组成的集合是所有英文字母组成的集合是有限集，整数集有限集，整数集合合是是无限集，集合无限集，集合 为为空集空集。有限集有限集 、无限集无限集 、空集空集25列举法；列举法；将集合中的元素一一列举，或列将集合中的元素一一列举，或列出足够多的元素以反映集合中元素的特征，出足够多的元素以反映集合中元素的特征，例如：例如：A=a,e,i,o,u 或或B=1,4,9,16,25,36。 描述法描述法 ；通过描述集合中元素的共同特征通过描述集合中元素的共同特征来表示集合，例如：来表示集合，例如： A= x|x是元音字母是元音字母 ，B= x|x=n 2 , n 是自然数是自然数集合的表示法集合的表示法26文氏图文氏图(Venn Diagram)用一个大的用一个大的矩形表示论域（全集），在矩形矩形表示论域（全集），在矩形内画一些圆或其它的几何图形，来表示集合，内画一些圆或其它的几何图形，来表示集合，有时也用一些点来表示集合中的特定元素。有时也用一些点来表示集合中的特定元素。例如：集合例如：集合A=a,e,i,o,u ，用，用文氏图文氏图表示如表示如下下:UVau27设设A是一个集合，是一个集合，a是集合是集合A中的元素，记以中的元素，记以a A，读作读作a属于属于A；若；若a不是集合不是集合A中的元素，中的元素，则记以则记以a A，读作读作a不属于不属于A。例如：例如：A是正偶数集合，则是正偶数集合，则2 A，8 A，36 A；而而 3 A，9 A，17 A。属于属于(belong to)28设集合设集合S=A|A是集合，且是集合，且A A 集合集合S由一切不是自身元素的集合所组成由一切不是自身元素的集合所组成1.若若S S，则，则S是是集合集合S的的元素，则根据元素，则根据S的的定义，有定义，有S S，与假设矛盾；与假设矛盾；2.若若S S，则，则S是不以自身为元素的集合是不以自身为元素的集合，则根据，则根据S的的定义，有定义，有S S，与假设矛盾。与假设矛盾。罗素悖论罗素悖论( (Russells paradox) ) 罗素悖论说明经典集合论有漏洞！罗素悖论说明经典集合论有漏洞！理发师的故事：不给自己刮脸的人刮脸；只给理发师的故事：不给自己刮脸的人刮脸；只给 所有自己不刮脸的人刮脸。所有自己不刮脸的人刮脸。29当当两个集合两个集合A和和B的元素完全一样，的元素完全一样，即即A，B实际上是同一个集合时，则称集合实际上是同一个集合时，则称集合A，B相等，相等，记以记以A=B。 例：设例：设A=x|x是偶数，且是偶数，且0x10，B=2,4,6,8，则，则A=B。 定义定义 集合相等集合相等30设设A，B是两个集合，若是两个集合，若A的元素都是的元素都是B的元的元素，则称素，则称A是是B的子集的子集，也称，也称B包含包含A，或，或A包包含含于于B，记以记以A B，或，或B A 。若若A B，且，且A B，则称，则称A是是B的真子集的真子集( (proper subsetproper subset) )，也称也称B真包含真包含A，或，或A真包真包含含于于B，记以记以A B，或，或B A 。 定义定义 子集子集( (subsetsubset) ) 31设设A=2,4,6,8 ，B= x|x是正偶数是正偶数， C= =x|x是整是整数数, ,则有则有A B，B C，A C,并且并且A B，B C，A C 。 A的元素自然都是的元素自然都是A的元素，的元素，A是是自身自身的子集。的子集。示例：示例： 注意：注意： 论域（全集）论域（全集）中的每个对象称为中的每个对象称为元素元素，我们所讨论的我们所讨论的集合集合都是由都是由论域（全集）论域（全集）中的中的元元素素组成的，集合自然而然是组成的，集合自然而然是全集全集的子集的子集 。32设设A 是集合，是集合，A的所有子集为元素构成的集合称的所有子集为元素构成的集合称为为A的幂集，记以的幂集，记以P (A) 。P (A) =S|S A 特别地：特别地：论域论域U的幂集记为的幂集记为P (U) ，论域论域U的任一的任一子集子集A有两种记法：有两种记法： A U 或或 A P (U) 例：例： A=a,b,c ，则，则 P (A) = = ,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c 定义定义 幂集幂集 (power set)33设设A，B是是两两个个集集合合。所所有有属属于于A或或者者属属于于B的的元元素素做做成成的的集集合合，称称为为A和和B的的并并集集，记记以以AB。即即AB=x|x A或或x B例如，令例如，令A=a，b，c，d ，B=c，d，e，f ，于是于是AB=a，b，c，d，e，f。 定义定义 集合的并集集合的并集(Union)34并集的文氏图并集的文氏图ABAB35设设A，B是是两两个个集集合合。由由属属于于A又又属属于于B的的元元素素组组成成的的集集合合，称称为为A和和B的的交交集集，记记以以AB。即即AB=x|x A且且x B例如，令例如，令A=a，b，c，d，B=c，d，e，f ，于是于是AB=c，d。 定义定义 集合的交集集合的交集(Intersection)36交集的文氏图交集的文氏图ABAB37设设A是是一一个个集集合合，全全集集U与与A的的差差集集称称为为A的余集或补集，记以的余集或补集，记以AC。即。即AC=U-A例如，例如，令令U=a，b，c，d，e，f ，A=b，c ，于是于是AC=a，d，e，f 。 特别，特别，定义定义 集合的补集集合的补集(Complement)38补集的文氏图补集的文氏图AA的补集的补集UAC391.幂等律：幂等律： AA=A，AA=A。2.交换律：交换律： AB=BA，AB=BA。3.结合律：结合律： (AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)。4.分配律：分配律： A(BC)=(AB)(AC)，A(BC)=(AB)(AC)。5.吸收律：吸收律： A(AB)=A，A(AB)=A。对于任意集合对于任意集合A,B,C有如下算律：有如下算律： 406.互补律互补律： 7.摩根律：摩根律：8.同一律：同一律：UA=A， A=A。9.零一律：零一律： A= ，UA=U。10. 双重否定律：双重否定律：41在集合论中，考察集合的着眼点是论域中元素对该集在集合论中，考察集合的着眼点是论域中元素对该集合的从属关系，而对元素本身的具体性质并不关心。合的从属关系，而对元素本身的具体性质并不关心。一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。符合明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。从这个意义上讲，就是集合。从这个意义上讲，集合可以表现概念集合可以表现概念，而集，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都有可能纳入集合描述的数学框架。的理论系统都有可能纳入集合描述的数学框架。 对于普通集合而言，给定论域对于普通集合而言，给定论域U及其中的任意一个子及其中的任意一个子集集A, 论域论域U中任一元素中任一元素 ，只有，只有 和和 两种两种情况，非此即彼，满足情况，非此即彼，满足排中律排中律。这种特性可用从。这种特性可用从U 到二到二元集合元集合0,1的映射来描述。的映射来描述。42定义定义 特征函数特征函数 给定论域给定论域U，对于论域，对于论域U上的任意一个子集上的任意一个子集 A（ A P (U) 或或 A U ）,定义一个从论域定义一个从论域U 到二元集合到二元集合0，1的映射的映射 : 称称 为为A的的特征函数特征函数， 为元素为元素 对子集对子集 A的隶属程度，简称的隶属程度，简称隶属度隶属度。43特征函数是从论域特征函数是从论域U到二元集合到二元集合0，1的映射的映射 ，如图所示：，如图所示： 显然，只要给出论域显然，只要给出论域U的一个子集的一个子集 A，就，就唯一地确定一个唯一地确定一个A的特征函数的特征函数 ； 反过来，给出反过来，给出U 中一个特征函数中一个特征函数 ，也，也唯一地确定了唯一地确定了U 的一个子集的一个子集 A 。44注意：注意：一个集合与其特征函数是相互唯一确定的一个集合与其特征函数是相互唯一确定的集合集合是直观概念，而是直观概念，而特征函数特征函数则是它的数则是它的数学表现。学表现。对论域对论域U 的子集的研究完全可以用对其特的子集的研究完全可以用对其特征函数的研究来代替。征函数的研究来代替。当当 属于属于A时，隶属度时，隶属度 为为1，表示，表示 绝对属于绝对属于A; 当当 不属于不属于A时，隶属度时，隶属度 为为0，表示，表示 绝对不属于绝对不属于A。45示例：示例：设设U是由自然数组成的，集合是由自然数组成的，集合A=11，2 2，33，则则A的特征函数为的特征函数为 可以用特征函数描述集合。可以用特征函数描述集合。特别地，论域特别地，论域U 的特征函数为的特征函数为1，空集，空集 的特征的特征函数为函数为0 。46集合与特征函数在运算上的关系集合与特征函数在运算上的关系（1）包含包含（2）相等相等（3）并集并集（4）交集交集（5）补集补集引入实数间引入实数间“取大取大”和和“取小取小”的运算符号（逻辑中的的运算符号（逻辑中的或、与）或、与）“”和和“”代替通常使用的代替通常使用的“max”和和“min”。47