精品资料欢迎下载二次函数应用题分类解析二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类：第一类、利用待定系数法对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。例 1 某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3 元，年销售量为100 万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是 x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且 y 是 x 的二次函数，它们的关系如下表：x（十万元）0 1 2 y 1 1.5 1.8 （1）求 y 与 x 的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；（ 3）如果投入的年广告费为1030 万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？析解： （1）因为题中给出了y 是 x 的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y与 x 的函数关系式为1x53x101y2（2）由题意得S=10y(3-2)-x10x5x2（3）由（2）465)25x(10x5xS22及二次函数性质知，当 1 x2.5 ，即广告费在1025 万元之间时，S随广告费的增大而增大。二、分析数量关系型题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。例 2 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000 千克，购进价格为每千克 30 元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70 元，也不得低于30 元。市场调查发现：单价定为70 元时，日均销售60 千克；单价每降低1 元，日均多售出2 千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500 元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x 元，日均获利为y 元。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页精品资料欢迎下载（1）求 y 关于 x 的二次函数关系式，并注明x的取值范围；（2）将（ 1）中所求出的二次函数配方成a4bac4)a2bx(ay22的形式，写出顶点坐标；在图 2 所示的坐标系中画出草图；观察图象， 指出单价定为多少元时日均获得最多，是多少？（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？析解： （1） 若销售单价为x 元，则每千克降低 （70-x ） 元，日均多售出2 （70-x ）千克，日均销售量为60+2(70-x)千克，每千克获利为(x-30) 元。根据题意得6500x260x2500)x70(260)30x(y2（30x 70）。（2）1950)65x(26500)x130x(2y22。 顶点坐标为 （65， 1950） ，草图略，当单价定为65 元时，日均获利最多，是1950 元。（3）列式计算得，当日均获利最多时，可获总利195000 元；当销售单价最高时，可获总利221500 元。故当销售单价最高时获总利较多，且多获利221500-195000=26500 元。三、建模型即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。这类问题建模要求高，有一定难度。例 3 如图 4， 有一块铁皮， 拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm ，抛物线顶点处到边MN的距离是4dm ，要在铁皮上截下一矩形 ABCD ，使矩形顶点B、C落在边 MN上， A、D落在抛物线上，问这样截下去的矩形铁皮的周长能否等于8dm ？析解： 由“抛物线”联想到二次函数。如图4，以 MN所在的直线为x 轴，点 M为原点建立直角坐标系。设抛物线的顶点为P，则 M （0，0）， N（ 4，0）， P（2， 4）。用待定系数法求得抛物线的解析式为x4xy2。设 A点坐标为（ x， y），则 AD=BC=2x-4 ，AB=CD=y 。于是x12x2)4x2(2)x4x(2)4x2(2y2AD2AB2l22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页精品资料欢迎下载8x12x2)4x2(2)x4x(2)4x2(2y2AD2AB2l22。且 x 的取值范围是0x4 （x2）。若 l=8 ，则88x12x22，即08x6x2。解得4x2x21，。而 0x-1) 中的 y 的取值范围解y=1x121x11)2(x1x3x201x1y2在高中我们将学习这样一个重要的不等式：xy2yx(x 、y 为正数 ) ；此不等式说明：当正数x、y 的积为定值时，其和有最小值例如：求证： x+x12(xO) 证明：1x1x2x1xx+x12利用以上信息，解决以下问题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页精品资料欢迎下载(1) 求函数： y=1x1x中(x1) ，y 的取值范围(2) 若 xO，求代数式2x+x4的最小值4如图，已知二次函数y=-21 x2+4x+c 的图像经过坐标原点，并且与函数y=21 x 的图像交于O 、A两点 (1)求 c 的值； (2)求 A点的坐标； (3)若一条平行于y 轴的直线与线段OA交于点 F，与这个二次函数的图像交于点 E，求线段 EF的最大长度5利用图象解一元二次方程x2-2x-1=0 时，我们采用的一种方法是：在直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线 y=2x+1，两图象交点的横坐标就是该方程的解(1) 请再给出一种利用图象求方程x2-2x-1=0 的解的方法(2) 已知函数 y=x3的图象 ( 如图 ) ：求方程 x3-x-2=0的解( 结果保留 2 个有效数字) 6我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数y=3x2的图象向左平移2 个单位，再向下平移4 个单位，所图象的函数表达式是23(2)4yx. 类比二次函数的图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换：（1）将1yx的图象向右平移1 个单位，所得图象的函数表达式为，再向上平移 1 个单位，所得图象的函数表达式为；（2）函数1xyx的图象可由1yx的图象向平移个单位得到；12xyx的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？（3）一般地，函数xbyxa（0ab，且ab）的图象可由哪个反比例函数的图象经过和怎样的变换得到？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页精品资料欢迎下载7已知抛物线yax2b x c 经过 A，B，C三点，当 x0 时，其图象如图所示(1) 求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；(2) 画出抛物线yax2b x c 当 x0 时的图象；(3) 利用抛物线yax2b x c，写出为何值时，y08下表给出了代数式2xbxc与x的一些对应值：x 0 1 2 3 4 2xbxc3 1 3 （1）请在表内的空格中填入适当的数；（2）设y2xbxc，则当x取何值时， y0？（3）请说明经过怎样平移函数y2xbxc的图象得到函数2yx的图象 .9已知抛物线2yaxbxc经过53(3 3)02PE，及原点(0 0)O，（1）求抛物线的解析式（2）过 P点作平行于x轴的直线 PC交y轴于 C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点 Q，过点 Q作直线 QA平行于y轴交x轴于 A点，交直线PC于 B 点，直线 QA与直线 PC及两坐标轴围成矩形 OABC （如图 13） 是否存在点Q，使得 OPC 与 PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由（3）如果符合（ 2）中的 Q点在 x 轴的上方，连结OQ ，矩形 OABC 内的四个三角形 OPC ， PQB ，OQP ， OQA 之间存在怎样的关系？为什么？10一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8 m，宽为 2 m ，隧道最高点P位于 A B的中央且距地面 6 m，建立如图所示的坐标系 (1)求抛物线的解析式； (2)一辆货车高 4 m，宽 2 m，能否从该隧道内通过，为什么? (3) 如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么? 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页精品资料欢迎下载11如图所示， 有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时，宽 20m，水位上升 3m 就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m。(1) 在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；(2) 若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？12某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润yA（万元）与投资金额x 万元）之间存在正比例函数关系：yA=kx，并且当投资5 万元时，可获利润2 万元信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润yB（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：yB=ax2+bx，并且当投资2 万元时，可获利润2.4 万元；当投资4 万元时，可获利润3.2 万元（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对A，B 两种产品共投资10 万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？13小明为了通过描点法作出函数y=x2-x+1 的图象，先取自变量x 的 7 个值满足： x2-x1=x3-x2=x7-x6=d，再分别算出对应的y 值，列出表1：表 l x xl x2 x3 x4 x5 x6 x7 y l 3 7 13 21 31 43 记 ml=y2-y1 ，m2=y3-y2，m3=y4-y3，m4=y5-y4，； s1=m2-m1 ，S2=m3-m2 ，S3=m4-m3 ， (1)判断 S1、S2、S3之间关系，并说明理由； (2)若将函数“ y=x2 - x+1”改为“ y=ax2+bx+c(a0)”，列出表2：表 2 x x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 y y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 其他条件不变，判断s1、s2、S3 之间关系，并说明理由；(3) 小明为了通过描点法作出函数y=ax2+bx+c(a0)的图象，列出表3：表 3 x xl x2 x3 x4 x5 x6 x7 y 10 50 110 190 290 412 550 由于小明的粗心，表3 中有一个 y 值算错了，请指出算错的y 值( 直接写答案 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页