学习必备欢迎下载烟台芝罘区数学二次函数定区间上最值问题2016 高三专题复习 -函数（ 2）明老师整理一、二次函数知识点回顾（一）二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（ abc， ， 是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而 bc， 可以为零二次函数的定义域是全体实数（二）二次函数2yaxbxc的性质1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随 x的增大而减小；当2bxa时，y随 x 的增大而增大；当2bxa时，y有最小值244acba2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随 x 的增大而增大；当2bxa时，y随 x 的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba（三）二次函数基本形式：1、2yax 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载2. 2yaxc 的性质：上加下减。3. 2ya xh的性质：左加右减。4. 2ya xhk的性质：二、二次函数闭区间上的最值解题思路分析一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 如设：f xaxbxca()()20，求 f x( ) 在 xmn，上的最大值与最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载方法思路分析：将f x( )配方，得顶点为baacba2442，、对称轴为 xba2当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在m，n 上fx( )的最值：（1）当bamn2，时，fx( )的最小值是 fbaacbaf x2442， ( ) 的最大值是 f mf n()( )、中的较大者。（2）当bamn2，时若bam2，由fx( )在mn，上是增函数则f x( )的最小值是f m()，最大值是f n( )若 nba2，由fx( )在mn，上是减函数则fx( )的最大值是f m()，最小值是f n( )当a0时，可类比得结论。三、例题分析归类（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（ 2）轴定，区间变；（ 3）轴变，区间定；（ 4）轴变，区间变。1. 轴定区间定例 1. 函数 yxx242在区间 0，3上的最大值是 _，最小值是 _。答案：函数的最大值为f ( )22，最小值为f ( )02。2、轴定区间变例 2. 如果函数f xx( )()112定义在区间tt，1上，求 f x( ) 的最小值。解：函数fxx( )()112，其对称轴方程为 x1，顶点坐标为（ 1，1） ，图象开口向上。如图 1 所示，若顶点横坐标在区间tt，1左侧时，有1t，此时，当 xt 时，函数取 得最小值 fxftt( )( )()min112。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载图 1 如图 2 所示，若顶点横坐标在区间tt，1上时，有tt11，即01t。当 x1时，函数取得最小值fxf()( )min11。图 2 如图 3 所示，若顶点横坐标在区间tt，1右侧时，有t11，即 t0。当xt1时，函数取得最小值fxftt( )()min112综上讨论，0110, 11, 1)1()(22mintttttxf图 3 3、轴变区间定例 4. 已知x21，且a20，求函数fxxax( )23的最值。解：由已知有112xa，于是函数fx( )是定义在区间11，上的二次函数，将fx( )配方得： fxxaa( )23422精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载二次函数f x( )的对称轴方程是 xa2顶点坐标为aa2342，图象开口向上由a2可得 xa21，显然其顶点横坐标在区间11，的左侧或左端点上。函数的最小值是fa()14，最大值是fa( )14。例 5. (1) 求2f( x )x2ax1在区间 -1,2 上的最大值。(2) 求函数)(axxy在1,1x上的最大值。解：(1)二次函数的对称轴方程为xa，当1a2即1a2时，maxf ( x )f ( 2 )4a5；当1a2即1a2时，maxf (x )f (1)2a2。综上所述：max12a2,a2f ( x )14a5,a2。(2)函数4)2(22aaxy图象的对称轴方程为2ax，应分121a，12a，12a即22a，2a和2a这三种情形讨论，下列三图分别为（1）2a；由图可知max( )( 1)f xf（2）a22；由图可知max( )()2af xf（3）2a时；由图可知max( )(1)f xf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载2,)1 (22,)2(2,)1(afaafafy最大；即2,122,42,) 1(2aaaaaay最大4. 轴变区间变例 6. 已知24 ()(0),ya xaa，求22(3)uxy的最小值。解：将24 ()ya xa代入 u 中，得，即时，即时，所以（二）、逆向型指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。例 7. 已知函数2( )21f xaxax在区间 3,2上的最大值为 4，求实数 a 的值。解：2( )(1)1, 3,2f xa xa x（1）若0,( )1,af x，不符合题意。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载（2）若0,a则max( )(2)81f xfa由814a，得38a（3）若0a时，则max( )( 1)1f xfa由14a，得3a综上知38a或3a例 8. 已知函数2( )2xfxx在区间, m n上的最小值是 3 m最大值是 3 n，求 m， n的值。解：讨论对称轴中 1 与,2mnmn的位置关系。若，则maxmin( )( )3( )()3f xf nnfxf mm解得若12mnn，则maxmin( )(1)3( )()3f xfnf xf mm，无解若12mnm，则maxmin( )(1)3( )( )3f xfnf xf nm，无解若，则maxmin( )()3( )( )3fxf mnfxf nm，无解综上，4,0mn例 9. 已知二次函数2f ( x )ax( 2a1)x1在区间3,22上的最大值为 3，求实数 a 的值。注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值， 再检验其真假，过程就简明多了。（1）令2a1f()32a，得1a2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载此时抛物线开口向下，对称轴方程为x2，且32,22，故12不合题意；（2）令f( 2 )3，得1a2此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故1a2符合题意；（3）若3f()32，得2a3此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故2a3符合题意。综上，1a2或2a3。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载【二次函数最值问题课后习题】1、当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值2、当12x时，求函数21yxx的最大值和最小值3、当1txt时，求函数21522yxx的最小值 (其中t为常数 )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载练习题答案1、解： 作出函数的图象当1x时，min4y，当2x时，max5y2、作出函数的图象当1x时，min1y，当2x时，max5y3、函数21522yxx的对称轴为1x画出其草图(1) 当对称轴在所给范围左侧即1t时：当xt时，2min1522ytt；(2) 当对称轴在所给范围之间即1101ttt时：当1x时，2min1511322y；(3) 当对称轴在所给范围右侧即110tt时：当1xt时，22min151(1)(1)3222yttt综上所述：2213,023,0115,122ttytttt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页