第 32 练直线与圆锥曲线的综合问题题型分析 高考展望 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高， 但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要无视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查，探索类和存在性问题考查的概率也很高. 常考题型精析题型一直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用例 1(1)(2015 福建改编 )已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点 .假设 AFBF4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆 E 的离心率的取值范围是_. (2)设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x24y2b21 (b0)，其离心率为22. 求椭圆M 的方程；假设直线l 过点 P(0,4)，则直线l 何时与椭圆M 相交？点评对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题，一是利用方程的根的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零；二是利用图形来处理和理解；三是直线过定点位置不同，导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页变式训练1已知椭圆 C：x2a2y2b2 1(ab0)的焦距为4，且过点P(2，3). (1)求椭圆 C 的方程；(2)设 Q(x0，y0)(x0y00)为椭圆 C 上一点，过点Q 作 x 轴的垂线，垂足为E.取点 A(0,22)，连结 AE，过点 A 作 AE 的垂线交x 轴于点 D.点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 题型二直线与圆锥曲线的弦的问题例 2设椭圆 C：x2a2y2b21 (ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，且焦距为6，点 P 是椭圆短轴的一个端点，PF1F2的周长为16. (1)求椭圆 C 的方程；(2)求过点 (3,0)且斜率为45的直线 l 被椭圆 C 所截得的线段中点的坐标. 点评直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程，弦长，弦的位置确定，弦中点坐标轨迹等问题，解决这些问题的总体思路是设相关量，找等量关系，利用几何性质列方程(组)，不等式(组)或利用一元二次方程根与系数的关系，使问题解决. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页变式训练2在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O，焦点在x 轴上，短轴长为 2，离心率为22. (1)求椭圆 C 的方程；(2)A，B 为椭圆 C 上满足 AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段 AB 的中点，射线OE 交椭圆 C 于点 P.设OPtOE，求实数t 的值 . 高考题型精练1.(2015北京)已知椭圆C：x23y23，过点 D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C 交于 A，B 两点，直线AE 与直线 x3 交于点 M. (1)求椭圆 C 的离心率；(2)假设 AB 垂直于 x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页2.如图，已知抛物线C 的顶点为O(0，0)，焦点为F(0,1). (1)求抛物线C 的方程；(2)过点 F 作直线交抛物线C 于 A，B 两点 .假设直线AO、BO 分别交直线 l：y x2 于 M、N 两点，求MN 的最小值 . 3.(2015南京模拟 )已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线 l：xy20 的距离为322.设 P 为直线 l 上的点， 过点 P 作抛物线C 的两条切线PA，PB，其中 A，B 为切点 . (1)求抛物线C 的方程；(2)当点 P(x0，y0)为直线 l 上的定点时，求直线AB 的方程；(3)当点 P 在直线 l 上移动时，求AF BF 的最小值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页4.已知点 A，B 是抛物线C：y22px (p0)上不同的两点，点D 在抛物线C 的准线 l 上，且焦点 F 到直线 xy 20 的距离为3 22. (1)求抛物线C 的方程；(2)现给出以下三个论断：直线 AB 过焦点 F；直线 AD 过原点 O； 直线 BD 平行于 x 轴. 请你以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页答案精析第 32 练直线与圆锥曲线的综合问题常考题型典例剖析例 1(1)0，32解析设左焦点为F0，连结 F0A，F0B，则四边形 AFBF0为平行四边形. AFBF4，AFAF0 4，a2. 设 M(0， b)，则|304b|32 424b545，1b2. 离心率 ecac2a2a2b2a24b240，32. (2)解因为椭圆M 的离心率为22，所以4b24222，得 b2 2. 所以椭圆M 的方程为x24y221. ()过点 P(0,4)的直线 l 垂直于 x 轴时，直线l 与椭圆 M 相交 . ( )过点 P(0,4)的直线 l 与 x 轴不垂直时，可设直线l 的方程为ykxykx4，x24y22 1，消去 y，得 (1 2k2)x216kx280. 因为直线l 与椭圆 M 相交，所以 (16k)24(12k2)2816(2k27)0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页解得 k142. 综上，当直线l 垂直于x 轴或直线l 的斜率的取值范围为，142142， 时，直线 l 与椭圆 M 相交 . 变式训练1解(1)由已知条件得椭圆C 的焦点为F1( 2,0)， F2(2,0)，PF1222 3942221，PF2222 3942221，2aPF1PF242，则 a22. b2a2c24，因此椭圆C 的方程为x28y24 1. (2)设 D(x1,0)，DA(x1,22)，EA (x0,22)；由DAEA，得 DA EA0，则 G(x1,0) x1x080，则 x18x0，kQGy0x0x1y0x08x0x0y0x208，直线 QG 的方程为 yx0y0x208x8x0y0x208(x0x8)，又x208y2041，y204 1x20812(8x20)，可得 y28x202 x208(x0x8)，将代入x28y241 整理得 8x216x0x 8x200， (16x0)2464x200，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点. 例 2解(1)设椭圆的半焦距为c，则由题意，可得2c6，2a2c 16，解得a5，c 3，所以 b2a2c2523216. 故所求椭圆C 的方程为x225y2161. (2)方法一过点 (3,0)且斜率为45的直线 l 的方程为y45(x 3)，将之代入C 的方程，得x225x3225 1，即 x2 3x80. 因为点 (3,0) 在椭圆内，设直线l 与椭圆 C 的交点为A(x1， y1)，B(x2，y2)，因为 x1x23，所以线段AB 中点的横坐标为x1x2232，纵坐标为45(323)65. 故所求线段的中点坐标为32，65. 方法二过点 (3,0)且斜率为45的直线l 的方程为y45(x3)，因为 (3,0)在椭圆内，所以直线l与椭圆有两个交点，设两交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，中点 M 的坐标为 (x0，y0)，则有x2125y21161，x2225y22161， 由 ，得x1x2x1x225y1y2y1y216，即16x025y045.又 y045(x03), 所以x032，y065.故所求线段的中点坐标为32，65. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页变式训练2解(1)设椭圆 C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，则c2a2b2，ca22，2b2，解得 a2，b1，故椭圆 C 的方程为x22y2 1. (2) 当 A， B 两点关于 x 轴对称时，设直线 AB的方程为 x m， 由题意得2m0 或 0m0，所以 t 2或 t233. 当 A，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为ykxn，由ykx n，x22y21得(12k2)x24knx2n220. 设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，由 16k2n24(12k2)(2n22)0 得 1 2k2n2. 此时 x1x24kn1 2k2，x1x22n2212k2，y1y2k(x1x2) 2n2n12k2. 所以 AB1k2x1 x224x1x2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页22 1 k212k2n212k2 2. 又点 O 到直线 AB 的距离 d|n|1 k2. 所以 SAOB12d AB122 2 1k212k2n212k2 2|n|1k2. 212k2 n212k2 2 |n|64. 令 r12k2代入上式得： 3r216n2r16n40. 解得 r4n2或 r43n2，即 12k24n2或 12k243n2. 又OPtOE12t(OAOB)12t(x1x2，y1y2) 2knt1 2k2，nt12k2. 又点 P 为椭圆 C 上一点，所以 t2122kn12k22n1 2k22 1，即n212k2t21. 由12k2 4n2或12k243n2，n212k2t21得 t24 或 t243. 又 t0，故 t2 或 t2 33. 经检验，适合题意. 综合 得 t 2 或 t233. 常考题型精练1.解(1)椭圆 C 的标准方程为x23y21，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页所以 a3，b 1，c2. 所以椭圆C 的离心率eca63. (2)因为 AB 过点 D(1,0)且垂直于x 轴，所以可设A(1，y1)，B(1， y1)，直线 AE 的方程为y1 (1y1)(x2)，令 x3，得 M(3,2y1)，所以直线BM 的斜率 kBM2y1y1311. (3)直线 BM 与直线 DE 平行，证明如下：当直线 AB 的斜率不存在时，由(2)可知 kBM1. 又因为直线DE 的斜率 kDE10211，所以 BMDE，当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为yk(x 1)(k 1)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 AE的方程为y 1y11x12(x2).令 x3，得点 M 3，y1x13x12，由x23y2 3，y k x1 ，得(1 3k2)x26k2x 3k230，所以 x1x26k213k2，x1x23k2 313k2，直线 BM 的斜率 kBMy1x13x12y23x2，因为 kBM1k x11 x13k x21 x12 3x2x123x2x12k1 x1x22 x1x233x2x1 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页k13k2313k212k213k2 33x2x120 所以 kBM1kDE. 所以 BMDE，综上可知，直线BM 与直线 DE 平行 . 2.解(1)由题意可设抛物线C 的方程为x22py(p0)，则p21，所以抛物线C 的方程为x24y. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为ykx1. 由y kx1，x24y消去 y，整理得 x24kx40，所以 x1x24k，x1x2 4. 从而 |x1 x2|4k21. 由yy1x1x，y x2，解得点 M 的横坐标xM2x1x1y12x1x1x21484x1. 同理点 N 的横坐标xN84 x2. 所以 MN2|xMxN| 284x184x282x1x2x1x24 x1x21682k21|4k3|. 令 4k3t，t0，则 kt 34. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页当 t0 时， MN22 25t26t 122. 当 t0，解得 c1. 所以抛物线C 的方程为x24y. (2)由 y14x2得 y12x，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则切线PA，PB 的斜率分别为12x1，12x2，所以切线PA 的方程为yy1x12(xx1)，即 yx12xx212y1，即 x1x2y2y10. 同理可得切线PB 的方程为x2x2y 2y20，又点 P(x0，y0)在切线 PA 和 PB 上，所以 x1x0 2y02y10，x2x02y02y2 0，所以 (x1，y1)，(x2，y2)为方程 x0x2y02y 0 的两组解， 所以直线AB 的方程为x0x2y2y00. (3)由抛物线定义知AFy11，BF y21，所以 AF BF(y11)(y21)y1y2(y1y2) 1，联立方程x0x2y2y00，x24y，消去 x整理得 y2(2y0x20)yy200，所以 y1y2x202y0，y1y2y20，所以 AF BFy1y2(y1y2)1 y20x202y01 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页y20(y0 2)22y012y202y05 2 y012292，所以当 y012时， AF BF 取得最小值，且最小值为92. 4.解(1)抛物线 C：y22px (p0)的焦点为Fp2， 0 ，依题意得d|p202|23 22，解得 p2，抛物线 C 的方程为y24x. (2) 命题 .假设直线AB 过焦点 F，且直线AD 过原点 O，则直线BD 平行于 x 轴. 设直线 AB 的方程为xty1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x ty1，y24x，得 y24ty40，y1y2AD 的方程为yy1x1x，点 D 的坐标为1，y1x1. y1x14y1y214y1y2. 直线 BD 平行于 x 轴. 命题：假设直线AB 过焦点 F，且直线 BD 平行于 x 轴，则直线AD 过原点 O. 设直线 AB 的方程为xty1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x ty1y24x，得 y24ty40， y1y2 4，即点 B 的坐标为x2，4y1，直线 BD 平行于 x 轴， D 点的坐标为1，4y1. OA(x1，y1)，OD 1，4y1. 由于 x14y1y1(1) y1y10，OAOD，即 A，O，D 三点共线 . 直线 AD 过原点 O. 命题：假设直线AD 过原点 O，且直线 BD 平行于 x 轴，则直线AB 过焦点 F. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页设直线 AD 的方程为 ykx(k0)，则点 D 的坐标为 (1， k)，直线 BD 平行于 x 轴， yB k. xBk24，即点 B 的坐标为k24， k ，由y kx，y24x，得 k2x24x，xA4k2，yA4k，即点 A 的坐标为4k2，4k. FA4k21，4k，FBk241， k ，4k21 (k)4kk2414kkk4k0. FA FB，即 A，F，B 三点共线 .直线 AB 过焦点 F. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页