问题提出问题提出 1. 1.排列与排列数的含义分别是什么？排列与排列数的含义分别是什么？排列：排列：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mnm(mn) )个个元素，按照一定的顺序排成一列元素，按照一定的顺序排成一列. .排列数：排列数：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mnm(mn) )个元素的所有不同排列的个数个元素的所有不同排列的个数. . 2. 2.排列数公式是什么？排列数公式是什么？例例1 1、下列问题中哪些是排列问题？、下列问题中哪些是排列问题？（1 1）1010名学生中抽名学生中抽2 2名学生开会名学生开会（2 2）1010名学生中选名学生中选2 2名做正、副组长名做正、副组长（3 3）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相乘中任取两个数相乘（4 4）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相除中任取两个数相除（5 5）2020位同学互通一封信位同学互通一封信（6 6）以圆上的）以圆上的1010个点为端点作弦个点为端点作弦（7 7）以圆上的）以圆上的1010个点中的某一点为起点，作过另一个点的个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线射线（8 8）有）有1010个车站，共需要多少种车票？个车站，共需要多少种车票？（9 9）有）有1010个车站，共需要多少种不同的票价？个车站，共需要多少种不同的票价？ 3. 3.利用排列原理可以求得某些与利用排列原理可以求得某些与排列排列问题有关的方法数，但在实际生活中还问题有关的方法数，但在实际生活中还存在大量不符合排列原理的计数问题，存在大量不符合排列原理的计数问题，这需要我们进一步研究求解这些计数问这需要我们进一步研究求解这些计数问题的方法数的一般原理题的方法数的一般原理. .探究（一）：探究（一）：组合的概念组合的概念 思考思考1 1：“从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2人分别担任班长和团支书人分别担任班长和团支书”与与“从甲、从甲、乙、丙乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2人去参加学代会人去参加学代会”的方法数相同吗？二者有什么不同之的方法数相同吗？二者有什么不同之处？处？ 前者有顺序，后者没有顺序前者有顺序，后者没有顺序.思考思考2 2：“北京、天津、上海、重庆北京、天津、上海、重庆4 4个个民航站之间的直达航线的飞机票民航站之间的直达航线的飞机票”与与“北京、天津、上海、重庆北京、天津、上海、重庆4 4个民航站之间个民航站之间的直达航线的飞机票价的直达航线的飞机票价”的种数相同吗的种数相同吗？二者有什么不同之处？二者有什么不同之处？ 前者有顺序，后者没有顺序前者有顺序，后者没有顺序.思考思考3 3：“从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2人去参加学代会人去参加学代会”可以概括为从可以概括为从3 3个不同个不同的元素中取出的元素中取出2 2个合成一组，个合成一组，“北京、天北京、天津、上海、重庆津、上海、重庆4 4个民航站之间的直达航个民航站之间的直达航线的飞机票价线的飞机票价” 可以概括为从可以概括为从4 4个不同个不同的元素中取出的元素中取出2 2个合成一组，这两个事例个合成一组，这两个事例都可归结为组合问题，一般地，都可归结为组合问题，一般地，组合组合是是什么概念？什么概念？从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mnm(mn) )个元素合个元素合成一组，叫做从成一组，叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个个元素的一个组合元素的一个组合. . 思考思考4 4：在同一个组合中是否有相同的元在同一个组合中是否有相同的元素？两个组合相同的充要条件是什么？素？两个组合相同的充要条件是什么？ 两个组合的元素完全相同两个组合的元素完全相同. . 思考思考5 5：从从1 1，2 2，5 5三个数字中任取三个数字中任取2 2个相个相加、相减、相乘、相除，哪些是排列问加、相减、相乘、相除，哪些是排列问题？哪些是组合问题？排列与组合有何题？哪些是组合问题？排列与组合有何共性和个性？共性和个性？共性：共性：都是从都是从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mnm(mn) )个元素；个元素； 个性：个性：排列与元素的顺序有关，组合与排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关元素的顺序无关. .思考思考6 6：组合与集合有何共性和个性？组合与集合有何共性和个性？ 共性：共性：不考虑顺序，没有相同元素，不不考虑顺序，没有相同元素，不限制元素属性；限制元素属性； 个性：个性：集合中的元素个数可以有无数个集合中的元素个数可以有无数个. .小结作业小结作业 1. 1.排列与组合的本质区别在于排列与排列与组合的本质区别在于排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，一般可理解为关，一般可理解为“排列是站队，组合排列是站队，组合是开会是开会”. . 探究（二）：探究（二）：组合数概念与公式组合数概念与公式思考思考1 1：从从a，b，c，d四个元素中任取四个元素中任取2 2个、个、3 3个的组合分别有哪些？个的组合分别有哪些？ (ab) (ac) (ad) (bc) (bd) (cd)(abc) (abd) (acd) (bcd)思考思考2 2：从从4 4个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的个元素的所有不同组合共有所有不同组合共有6 6个，取出个，取出3 3个元素的个元素的所有不同组合共有所有不同组合共有4 4个，这些不同组合的个，这些不同组合的个数称为个数称为组合数组合数，一般地，组合数是什，一般地，组合数是什么概念？么概念？ 从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mnm(mn) )个元素的个元素的所有不同组合的个数，叫做从所有不同组合的个数，叫做从n n个不同元个不同元素中取出素中取出m m个元素的组合数个元素的组合数. . 思考思考3 3：用符号用符号 表示从表示从n n个不同元素中个不同元素中取出取出m m个元素的组合数，那么个元素的组合数，那么 ， 分分别等于多少？别等于多少？思考思考4 4：从从a，b，c，d四个元素中任取四个元素中任取3 3个元素作排列可分两步进行，先从这个元素作排列可分两步进行，先从这4 4个个元素中任取元素中任取3 3个合成一组，再将所取的个合成一组，再将所取的3 3个元素作全排列，若先取出的元素是个元素作全排列，若先取出的元素是a，b，c，则得到哪些，则得到哪些排列？若先取出的元排列？若先取出的元素是素是a，b，d，则得到哪些排列？则得到哪些排列？ （abc）abc acb bac bca cab cba （abd）abd adb bad bda dab dba思考思考5 5：从从4 4个元素中取个元素中取3 3个元素的排列数，个元素的排列数，从从4 4个元素中取个元素中取3 3个元素的组合数，个元素的组合数， 3 3个个元素的全排列数用符号分别怎样表示？元素的全排列数用符号分别怎样表示？由此可得什么结论？由此可得什么结论？ 思考思考6 6：一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mnm(mn) )个元素作排列，可分哪两步进行个元素作排列，可分哪两步进行？每步各有多少种不同的方法？每步各有多少种不同的方法？先从先从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m元素合成一组，元素合成一组，有有 种方法；再将取出的种方法；再将取出的m m个元素作全个元素作全排列，有排列，有 种方法种方法. .思考思考7 7：根据分步乘法计数原理可得什么根据分步乘法计数原理可得什么结论？组合数的计算公式如何？结论？组合数的计算公式如何？思考思考8 8：公式公式( m( m，nNnN*，mnmn) ) 叫做叫做组合数公式组合数公式，这个公式如何用阶乘形式表示？这个公式如何用阶乘形式表示？ 思考思考9 9：特别地，当特别地，当m m1 1时，时， 等于多少等于多少？当？当m mn n时，时， 等于多少？等于多少？ 思考思考1010：当当m m0 0时，时， 等于多等于多少？少？ 有实际意义吗？有实际意义吗？ 规定：规定： 理论迁移理论迁移 例例1 1 一位教练的足球队共有一位教练的足球队共有1717名初级名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛，学员，他们中以前没有一人参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是的上场队员是1111人，问：人，问：（1 1）这位教练从这）这位教练从这1717名学员中可以形成名学员中可以形成多少种学员上场方案？多少种学员上场方案？（2 2）如果在选出）如果在选出1111名上场队员时，还要名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事？种方式做这件事？ 例例2 2 平面内有平面内有1010个不同的点，以其个不同的点，以其中每两个点为端点的线段共有多少条？中每两个点为端点的线段共有多少条？以其中每两个点为端点的有向线段共有以其中每两个点为端点的有向线段共有多少条？多少条？ 例例3 3 在在100100件产品中有件产品中有9898件合格品，件合格品， 2 2件次品，从这件次品，从这100100件产品中任意抽取件产品中任意抽取3 3件件. .（1 1）有多少种不同的抽法？）有多少种不同的抽法？（2 2）抽出的）抽出的3 3件中恰有件中恰有1 1件是次品的抽法件是次品的抽法有多少种？有多少种？（3 3）抽出的）抽出的3 3件至少有件至少有1 1件是次品的抽法件是次品的抽法有多少种？有多少种？ 小结作业小结作业 1. 1.排列与组合的本质区别在于排列与排列与组合的本质区别在于排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，一般可理解为关，一般可理解为“排列是站队，组合排列是站队，组合是开会是开会”. . 2. 2.组合数公式是建立在排列数公式的组合数公式是建立在排列数公式的基础上，尽管其运算式是一个分式，但基础上，尽管其运算式是一个分式，但其运算结果一定是正整数，对复杂的组其运算结果一定是正整数，对复杂的组合数计算可利用计算器完成合数计算可利用计算器完成. . 3. 3.解决组合应用问题的基本方法与解解决组合应用问题的基本方法与解排列应用问题一致，即定义法，分步法，排列应用问题一致，即定义法，分步法，分类法和间接法分类法和间接法. .作业：作业：P25P25练习：练习：1 1，2 2，3 3，4.4.