5.4.1 辐角原理5.4.2 奈奎斯特稳定判据5.4.3 系统含有积分环节时奈奎斯特稳定 判据的应用5.4.4 奈奎斯特稳定判据应用举例5.4 奈奎斯特稳定判据5.4.1 辐角原理对于一个复变函数式中-zi(i=1,2,m)为F(s)的零点， -pj(j=1,2,n)为F(s)的极点。函数F(s)是复变量s的单值函数，s可以在整个S平面上变化，对于其上的每一点，除有限(n)个极点外，函数F(s)都有唯一的一个值与之对应。例设： ，则s平面上 点（-1，j1），映射到F(s)平面上的点 为(0，-j1),见下图： F(s)的值域构成的复平面称为F(s)平面。S平面上的每一点依照所给的函数关系，将映射到F(s)平面上的相应点。其中S平面上的全部零点都映射到F(s)平面上的原点；S平面上的极点映射到F(s)平面上时都变成了无限远点。除了S平面上的零、极点之外的普通点，映射到F(s)平面上是除原点之外的有限远点。 现考虑S平面上一点s1映射到F(s)平面上的点F(s1)可以用一个向量来表示，即当向量的幅值为向量的相角为ReImReImS平面F(s)平面例设： ，则s平面上 点（-1，j1），映射到F(s)平面上的点 为（0，-j1），计算如下：向量的相角为向量的幅值为若取ds点为(-1，j0)则在F(s)平面的向量的幅值为1向量的相角为180当S平面上动点s从s1经过某曲线CS到达s2，映射到F(s)平面上也将是一段曲线CF ，该曲线完全由F(s)表达式和s平面上的曲线CS决定。若只考虑动点s从s1到达s2相角的变化量，则有例设： ，当s平面上的动点沿平行于虚轴的直线，从(-1，j1)到(-1，j0) ，映射到F(s)平面上的点将沿某曲线从(0，-j1)到(-1，-j0) ，相角的变化为：现考虑S平面上既不经过零点也不经过极点的一条封闭曲线CS 。当变点s沿CS顺时针方向绕行一周，连续取值时，则在F(s)平面上也映射出一条封闭曲线CF 。在S平面上，用阴影线表示的区域，称为CS的内域。由于我们规定沿顺时针方向绕行，所以内域始终处于行进方向的右侧。在F(s)平面上，由于CS映射而得到的封闭曲线CF的形状及位置，严格地决定于CS 。示意图示意图在这种映射关系中，有一点是十分重要的，即：不需知道围线CS的确切形状和位置，只要知道它的内域所包含的零点和极点的数目，就可以预知围线CF是否包围坐标原点和包围原点多少次；反过来，根据已给的围线CF是否包围原点和包围原点的次数，也可以推测出围线CS的内域中有关零、极点数的信息。1. 围线CS既不包围零点也不包围极点如图所示，在S平面上当变点s沿围线CS按顺时针方向运动一周时，我们来考察F(S)中各因子项的幅角的变化规律。现以图中未被包围的零点-2为例。当变点s沿CS绕行一周后，因子(s+2)的幅角a的变化为0。同理，对未被包围的极点也是一样，因子项(s+0) 的幅角b在变点s沿CS绕行一周后的变化也等于0。于是，映射到F(S)平面上，当变点F(s)沿CF绕行一周后的幅角变化也应等于0。这表明，围线CF此时不包围原点。ab2. 围线CS只包围零点不包围极点如图所示围线CS包围一个零点z=-2，考察因子(s+2)幅角a，当变点s沿CS顺时针绕行一周时，a的变化为-360。映射到F(S)平面上对应变点F(S)沿CF绕行一周后的幅角变化也应等于-360。同理，当围线CS的内域包含Z个零点时(但不包含极点)， CF应顺时针包围原点Z次。a3. 围线CS只包围极点不包围零点这种情况如图所示，如果围线CS包围一个极点 ，则当变点s沿CS顺时针绕行一周时，因子(s+0)-1的幅角-b将变化360。映射到 F(S)平面上，围线CF应逆时针包围原点一次。同理，当围线CS的内域只包含P个极点时， CF应逆时针包围原点P次，或者说， CF顺时针包围原点P次。b4. 围线CS包围Z个零点和P个极点由上述讨论显然可知，当变点s沿CS顺时针绕行一周时，CF应顺时针包围原点ZP次。亦即CF顺时针包围原点次数N=ZP。这就是所谓幅角原理。柯西幅角原理：S平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线CS包围S平面上F(s)的Z个零点和P个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲线CS移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线CF将以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，Z，P的关系为：N=ZP。若N为正，表示CF顺时针运动，包围原点；若N为0，表示CF顺时针运动，不包围原点；若N为负，表示CF逆时针运动，包围原点。5.4.2 奈奎斯特稳定判据 奈奎斯特当年就是巧妙地应用了幅角原理得到了奈奎斯特稳定判据。设系统结构图如图所示令：则开环传递函数为： (a)闭环传递函数为： (b) 显然，令复变函数等于零即是闭环特征方程。复变函数的阶数为n阶，且分子分母同阶。则复变函数可写成以下形式：。式中， 为F(s)的零、极点。由 (a)、(b)及(c)式可以看出：F(s)的极点为开环传递函数的极点；F(s)的零点为闭环传递函数的极点；将闭环特征式与开环特征式之比构成一个复变函数，得：.(c) 对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不稳定的。对于上面讨论的复变函数 F(s)1Gk(s)，其零点恰好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的零点在s右半平面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为零，则闭环系统是稳定的。 奈奎斯特为了应用柯西幅角原理研究闭环系统的稳定性，因此设想： 如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据柯西幅角原理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次数应为： N = F(s)的右半零点数F(s)的右半极点数 = 闭环系统右半极点数开环系统右半极点数当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。这里需要解决两个问题：1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性Gk(jw)相联系？ 正虚轴：第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线CS包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈奎斯特路径。如下图所示。它可分为三部分： 右半平面上半径为无穷大的半圆： 负虚轴：F(s)平面上的映射是这样得到的： 以 s=Rejq 代入F(s)，令R，q : ，得第二部分的映射； 得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 N = ZP，式中Z、P是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。 若已知P，并能确定N，可求出Z = N + P 。当Z = 0时，系统稳定；否则不稳定。 以 s = jw 代入F(s)，令w 从0变化，得第一部分的映射； 以 s = jw 代入F(s)，令w从0 ，得第三部分的映射。F(s)对原点的包围，相当于Gk(s)对(-1,j0)的包围；即映射曲线F(s)对原点的包围次数N与Gk(s)对(-1,j0)点的包围的次数一样。奈奎斯特路径的第部分的映射是Gk(jw)曲线向右移1；F(s)的极点就是Gk(s)的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就是Gk(s)在右半平面的极点数。由Gk(jw)可求得F(jw) ，而Gk(jw)是开环频率特性。第2个问题：如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环频率特性Gk(jw)相联系？ 奈奎斯特所构造的的F(s)1Gk(s)，Gk(s)为开环传递函数。因此，有以下三点是明显的： 第部分的映射，一般在Gk(s)中，分母阶数比分子阶数高，所以当s=ejq 时， Gk(s)0，即F(s)=1。若分母阶数=分子阶数，则Gk(s)K(零极点形式的开环增益)，即F(s)=1+K。第部分的映射是第部分的映射关于实轴的对称。 根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈奎斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性。就是下面所述的奈奎斯特稳定判据。奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据：若系统的开环传递函数在右半平面上有P个极点，且开环频率特性曲线对(1，j0)点包围的次数为N，（N 0顺时针，N 0 逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数为：Z = N + P。若Z = 0 ，则闭环系统稳定，否则不稳定。奈奎斯特稳定判据的另一种描述： 设开环系统传递函数Gk(s)在右半s平面上的极点数为P，则闭环系统稳定的充分必要条件为：在 Gk(s)平面上的开环频率特性曲线及其镜象当w从变化到+时，将以逆时针的方向围绕(1，j0)点P圈。 对于开环系统稳定的情况，P=0，则闭环系统稳定的充分必要条件是开环频率特性曲线及其镜象不包围(1，j0)点。 不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为：Z = N + P。例开环传递函数为： ，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。解： 当参数K，T1和T2为任何正值时， P = 0 。 开环系统的奈氏图如右。在s右半平面的极点数为0，绕(1，j0)点的圈数N = 0，则闭环系统在s右半平面的个数： Z = N + P = 0 。故闭环系统是稳定的。 另外，作为对比可求出闭环传递函数 由劳思赫尔维茨判据知闭环系统是稳定的。例设开环系统传递函数为： ，试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。解：当K=52时，开环极点为1，1j2，都在s左半平面，所以P = 0。奈氏图如右。从图中可以看出：奈氏图顺时针围绕 (1，j0)点2圈。所以闭环系统在s右半极点数为： Z = N + P = 2 ，闭环系统是不稳定的。若要系统稳定，则即K 26时，奈氏图不围绕 (1，j0)点。当K 1，则要求K 10。于是系统稳定的条件为10 K 26。 上述结论同样可由劳思赫尔维茨判据得到。劳斯阵： 要使系统稳定，则第一列都大于0于是得：10 K 1时,奈氏曲线逆时针包围 (1，j0)点一圈，N=1，而P = 1，则Z = N + P = 0闭环系统是稳定的。 显然，K 1时，包围 (1，j0)点，K 1时不包围(1，j0)点。 K=1时穿过(1，j0)点。当K=1时，奈氏曲线通过(1，j0)点，属临界稳定状态。当K0时闭环系统不稳定，当Z0时计算有误。例已知非最小相位系统开环传递函数为确定闭环系统稳定的K值范围。不稳定时求出闭环右极点数。解： 当K6时，奈氏曲线不包围(1，j0),N=0，Z=N+P=2，系统不稳定。(1，j0) (1，j0)(1，j0) 开环系统有2个右极点，P=2。 当6K8时，奈氏曲线逆时针包围(1，j0)点1圈，N=1，Z=N+P=1,系统不稳定。 只有当开环增益保持在一定范围内才稳定的系统称为条件稳定系统。例5.5.3设型系统的开环频率特性如下图所示。开环系统在s右半平面没有极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。解：显然这是型系统。先根据奈氏路径画出完整的映射曲线。从图上看出：N=0，而P=0，故Z=N+P=0，闭环系统是稳定的。条件稳定系统例题能否只画出正频率部分的极坐标图来判断闭环系统的稳定性通常，只画出w从0+的开环奈氏图，这时闭环系统在s右半平面上的极点数为：Z = 2N + P 。式中，N 为w从0+变化时，开环奈氏图顺时针包围(1，j0)点的圈数。不包围(1，j0)点， N =00型系统包围(1，j0)点， N =1型系统和型系统对应的奈奎斯特路径分别为：这时奈奎斯特稳定判据可以描述为：设开环系统传递函数Gk(s)在右半平面的极点为P，则闭环系统稳定的充要条件是：当w 从+时，频率特性曲线在实轴(，1)段的正负穿越次数差为P。若只画正频率特性曲线，则正负穿越次数差为P/2。 频率特性曲线对(1，j0)点的包围情况可用频率特性的正负穿越情况来表示。当w 增加时，频率特性从上半 s 平面穿过负实轴的(，1)段到下半 s 平面，称为频率特性对负实轴的(，1)段的正穿越（这时随着w 的增加，频率特性的相角也是增加的）；意味着逆时针包围(1，j0)点。反之称为负穿越。正穿越负穿越图例当由0变化到时，Nyquist曲线在(-1, j0 )点左边实轴上的正负穿越次数之差等于p/2时( p 为系统开环右极点数)，闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。开环不稳定闭环稳定开环稳定闭环稳定5.4.5 奈奎斯特稳定判据在伯德图中的应用 开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（波德图）有如下的对应关系：1、 奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线； A(w)=1，20lg A(w)=0 。2、 奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的180度相位线。 奈氏图频率特性曲线在(，1)上的正负穿越在对数坐标图上的对应关系：在对数坐标图上L(w) 0( A(w) 1)的范围内，当w 增加时，相频特性曲线从下向上穿过180度相位线称为正穿越。因为相角值增加了。反之称为负穿越。对照图如下：正穿越负穿越正穿越负穿越相角方向为正w增加时，相角增大对数坐标图上奈氏稳定判据如下： 设开环频率特性Gk(s)在s右半平面的极点数为P，则闭环系统稳定的充要条件是：对数坐标图上幅频特性L(w)0的所有频段内，当频率增加时，对数相频特性对180度线的正负穿越次数差为P/2。闭环系统右半s极点数为：Z=2DN+P，式中DN为负、正穿越次数差。若Z=0，闭环系统稳定；若Z0，闭环系统不稳定。对数频率特性稳定判据若系统开环传递函数P个位于右半s平面的特征根，则当在L()0 的所有频率范围内，对数相频特性曲()( 含辅助线 )与-180线的正负穿越次数之差等于P/2时，系统闭环稳定，否则，闭环不稳定。