学习必备欢迎下载勾股定理中数学思想的运用一. 勾股定理中方程思想的运用方程思想 是指：在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往要使用勾股定理，如果无法直接用勾股定理来计算，则需要列方程解决。例题 1如左图所示，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm ，BC=10cm ，将ABC折叠，使点 B 与点 A重合，折痕为DE ，则 CD的长为（）分析 ：折叠问题是近几年来中考中的常见题型，解折叠问题关键抓住对称性，图中CD在tACD中，由于 AC已知，要求 CD ，只需求 AD ，由折叠的对称性，得AD=BD ，注意到 CD+BD=BC，利用勾股定理即可解之。解：如右图所示，要使A，B两点重合，则折痕DE必为 AB的垂直平分线。连结AD ，则 AD BD。设 CD x，则 AD=BD=10 x在 RtACD中，由勾股定理，得故选 D。点拨 ：勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可由此列出方程，运用方程思想分析问题和解决问题，以便简化求解。二. 勾股定理中分类讨论思想的运用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载分类讨论思想 是指：在解题过程中，当条件或结论不确定或不惟一时，往往会产生几种可能的情况，这就需要依据一定的标准对问题进行分类，再针对各种不同的情况分别予以解决。最后综合各类结果得到整个问题的结论。分类讨论实质上是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学方法。例题 2已知 ABC中，AB=20 ，AC=15 ，BC边上的高为12，求ABC的面积。分析 ：应分 ABC是锐角三角形或钝角三角形两种情况分别求之。解：AD是ABC的高，由勾股定理，得BD2 = AB2 AD2 = 202 122= 256, BD = 16CD2 = AC2 AD2 = 152 - 122= 81, CD = 9（1）若C 为锐角，如图（ 1）所示，则 BC = BD + CD = 16 + 9 = 25 （2）若C 为钝角，如图（ 2）所示，则 BC = BD CD = 16 9 = 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载即ABC的面积为 150 或 42 点拨 ：在一些求值计算题中，有些题目没有给出图形，当画出符合题意的图形不惟一时，要注意分情况进行讨论，避免漏解。三. 勾股定理中类比思想的运用类比思想 是数学学习的重要发现式思维，它是一种学习方法，同时也是一种非常重要的创造性思维。它通过两个已知事物在某些方面所具有的共同属性，去推测这两个事物在其他方面也有相同或类似的属性。从而大胆猜想得到结论( 必要时要加以证明) 。例题 3如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明 S1=S2+S3（1）如图，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么 S1、S2、S3之间有什么关系？( 不必证明 ) （2）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定 S1、S2、S3之间的关系并加以证明分析 ：从同学们熟悉的勾股定理入手，容易得证，中要求出等边三角形的面积。解：设直角三角形ABC的三边 BC 、CA 、AB的长分别为、b、c，则 c2 = 2 + b2（1）S1 = S2 + S3（2）S1 = S2 + S3证明如下：显然，点拨 ：本题从特殊到一般，从已知到未知，类比勾股定理的探究过程，其关键就在于理解勾股定理当然，学习了相似三角形的知识后，还可以继续探究：分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，上述结论是否还成立呢？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载四. 勾股定理中整体思想的运用整体思想 是指：对于某些数学问题，如果拘泥常规，从局部着手，则难以求解；如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考，就能开阔思路，较快解答题目。例题 4在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图）已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则 S1S2S3S4=_分析 ：本题不可能求出S1、S2、S3、S4，但我们可以利用三角形全等和勾股定理分别求出S1S2、S2S3、S3S4解：易证 RtABC Rt CDE AB = CD又CD2 + DE2 = CE2, 而 AB2 = S3,CE2 = 3,DE2 = S4S3 S4 = 3 ，同理 S1 S2 = 1 ，S2 S3 = 2 S1 S2 S2 S3 S3 S4 = 1 2 3 = 6，即 S1 S2 S3 S4 4 点拨 ：化零为整，化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法，利用整体思想，不仅会使问题化繁为简，化难为易，而且有助于培养学生的创造性思维能力。五. 勾股定理中数型结合思想的运用所谓 数形结合思想 ，就是抓住数与形之间本质上的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到迅速解题的目的。例题 5在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？分析 ：根据题意画出图形，再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载解：如右图所示，D为树顶， AB = 10m，C 为池塘， AC = 20m 设 BD的长是 xm，则树高（ x + 10 ）m AC + AB = BD + DC，DC = 20 + 10 x 在ACD中A = 90 ，AC2 + AD2 = DC2202 + （x + 10 ）2 = （30 x）2，解得 x = 5 x + 10 = 15，即树高15 米点拨 ：勾股定理本身就是数形结合的一个典范，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边“数”的关系。 利用勾股定理解决实际问题，关键是利用数形结合思想将实际问题转换成直角三角形模型，再利用方程来解决。数学思想方法是解决数学问题的灵魂。在运用勾股定理解题时，更应注重思想方法的运用，以提高独立分析问题和解决问题的能力。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页