棱棱 锥锥 的的 体体 积积1复习：复习： 1、等底面积等高的两个柱体体积相等。、等底面积等高的两个柱体体积相等。 2、V柱体柱体Sh 3、柱体体积公式的推导、柱体体积公式的推导 2柱体体积公式的推导：柱体体积公式的推导：等底面积等高的几个柱体等底面积等高的几个柱体被平行于平面被平行于平面的平面所截的平面所截截面面积始终相等截面面积始终相等体体积积相相等等V长方体长方体abcV柱体柱体Sh 3问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下 锥体体积是否具有相似的结论？锥体体积是否具有相似的结论？4定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。h1S1h1S2hShS取任意两个锥体，它们取任意两个锥体，它们的底面积为的底面积为S S，高都是，高都是h h平行于平面平行于平面的任一平面去截的任一平面去截截面面积始终相等截面面积始终相等两个锥体体积相等两个锥体体积相等5定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。h1S1h1S2hShS证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S S，高都是，高都是h h。 把这两个锥体把这两个锥体放在同一个平面放在同一个平面上，这是它们的顶点都在和平面上，这是它们的顶点都在和平面平行的同一个平平行的同一个平面内，面内，用平行于平面用平行于平面的任一平面去截它们，的任一平面去截它们， 截面分别与底面相似，截面分别与底面相似，设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是S1S根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。6=+=先割后补先割后补先补后割先补后割7与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCA1C1B18与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCA1C1B19BCABCA1C1B1ABCA1BCABCA1C1B1ABCA1BCABCA1C1B1ABCA1BCABCA1C1B1ABCA1BCABCA1C1B1ABCA1与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。BCABCAC1B1ABCA110ABCA1C1B1把三棱锥把三棱锥1 1以以ABCABC为底面、为底面、AAAA1 1为侧棱补成为侧棱补成一个三棱柱。一个三棱柱。猜测三棱锥的体积公式猜测三棱锥的体积公式:11ABCA1C1B1连接连接B B1 1C,C,然后然后把这个三棱柱把这个三棱柱分割成三个三分割成三个三棱锥。棱锥。 就是三棱锥就是三棱锥1 1 和另两个三棱和另两个三棱 锥锥2 2、3 3。23猜测三棱锥的体积公式猜测三棱锥的体积公式:12 就是三棱锥就是三棱锥1 1 和另两个三棱和另两个三棱 锥锥2 2、3 3。BCA1BCA1C1B1ABCA1BCABCA1C1B1ABCA1BCABCA1C1B1ABCA1BCABCA1C1B1ABCA1BCABCAC1B1ABCA1BCABCAC1B1ABCA123猜测三棱锥的体积公式猜测三棱锥的体积公式:13BCA1B12CA1C1B13ABCA11三棱锥三棱锥1 1、2 2的底的底ABAABA、BABBAB的面积相等的面积相等。14CA1C1B13ABCA11BCA1B12BCAB2ABCA11BCA1B2ABCA11三棱锥三棱锥1 1、2 2的底的底ABAABA、BABBAB的面积相等，的面积相等， 高也相等（顶点都是高也相等（顶点都是C C）。）。A1BCA1B12BCB2ABC1BCA1B12ABC1高高15ABCA11CA1C1B13BCA1B12三棱锥三棱锥2 2、3 3的底的底BCBBCB、CBCCBC的面积相等。的面积相等。16ABCA11CA1C1B13BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCAB12三棱锥三棱锥2 2、3 3的底的底BCBBCB1 1、CC1 1B B1 1C C的面积相等。的面积相等。 高也相等（顶点都是高也相等（顶点都是A A1 1）。）。高高17V V1 1V V2 2V V3 3 V V三棱柱三棱柱猜测猜测: :如果三棱锥的底面积是如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 V V三棱柱三棱柱= Sh= ShABCA11CA1C1B13BCA1B1218定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 Sh Sh定理证明：定理证明：已知：三棱锥已知：三棱锥1 1（A A1 1-ABC-ABC）的底面积）的底面积S,S,高是高是h.h.求证求证: V: V三棱锥三棱锥 Sh Sh证明证明: :把三棱锥把三棱锥1 1以以ABCABC为底面、为底面、AAAA1 1为侧棱补成一个三棱为侧棱补成一个三棱 柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三 棱锥棱锥1 1和另两个三棱锥和另两个三棱锥2 2、3 3。 三棱锥三棱锥1 1、2 2的底的底ABAABA1 1、BB1 1A A1 1B B的面积相等，的面积相等， 高也相等（顶点都是高也相等（顶点都是C C）；三棱锥）；三棱锥2 2、3 3的底的底 BCB BCB1 1、CC1 1B B1 1C C 的面积相等，高也相等的面积相等，高也相等 （顶点都是（顶点都是A A1 1） V V1 1V V2 2V V3 3 V V三棱锥三棱锥。 V三棱柱三棱柱 Sh。 V V三棱锥三棱锥 Sh Sh。ABCA1C1B12319猜测猜测:n棱锥的体积公式：棱锥的体积公式：Vn棱锥棱锥= Vn棱柱棱柱20任意锥体的体积公式：任意锥体的体积公式： 定理三：如果一个锥体的底面积是定理三：如果一个锥体的底面积是S S， 高是高是h h，那么它的体积是，那么它的体积是 V V锥体锥体 Sh Sh21小结：小结：定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是定理二：如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h， 那么它的体积是那么它的体积是 V V三棱锥三棱锥 Sh Sh定理三：如果一个锥体的底面积是定理三：如果一个锥体的底面积是S,S,高是高是h h， 那么它的体积是那么它的体积是 V V锥体锥体 Sh Sh22例例1.1.如图是一石柱如图是一石柱, , 石柱顶上部是一个正四石柱顶上部是一个正四 棱锥棱锥, ,下部是一个正四棱柱下部是一个正四棱柱. . 已知正四已知正四 棱柱底面边长棱柱底面边长0.50.5米米, , 高高1 1米米, , 正四棱锥正四棱锥 的高是的高是0.30.3米米. .石料比重石料比重d d为每一立方米为每一立方米 2400 2400千克千克. . 求这个石柱的重量求这个石柱的重量. .23解解:V棱锥棱锥=V棱柱棱柱=所以石柱的重量所以石柱的重量 P=(V棱柱棱柱+V棱锥棱锥)d=660(千克千克).0.5米米1米米0.3米米24例例2.2.在三棱锥在三棱锥V-ABCV-ABC中中, ,已知已知AC=BC=13,AB=10AC=BC=13,AB=10， 三个侧面与底面所成的二面角均为三个侧面与底面所成的二面角均为6060o o, , VO VO平面平面ABC, ABC, 交平面交平面ABCABC于于O. O. BACVEOFD(2) (2) 求求 三棱锥的高三棱锥的高. .(3) (3) 求求 三棱锥的体积三棱锥的体积. . (1) (1) 求证：求证： O O是是 ABC ABC的内心的内心. .25OD为为VD在平面在平面ABC内的射影内的射影, 根据三垂线定理根据三垂线定理, 得得VDAB.于是于是VDO为侧面为侧面VAB与底面所成二与底面所成二面角的平面角面角的平面角. VDO=VEO=VFO=60o. CV解解:（1）连结）连结CO并延长交并延长交AB于于D, 过过O在平面在平面ABC 内分别作内分别作AC、BC的垂线的垂线, F、E为垂足为垂足. 连结连结VD、VF、VE. AEOFDBRETURN因为因为VO平面平面ABC,CD AB, 显然显然 OD =OE =OF = VOctg60o, 即点即点O到到ABC三边距离相等三边距离相等. 因此因此 O是是ABC的内心的内心.26CVEOFDAB27例例3. 3. 已知正四棱锥相邻两个侧面所成二面已知正四棱锥相邻两个侧面所成二面 角为角为120120o o, , 底面边长底面边长a, a, 求它的高、体积求它的高、体积. .ABCDSEO28ABCDSEO解解：连结连结ACAC、BDBD交于交于O O，连结，连结SOSO， 则则SOSO为正四棱锥的高为正四棱锥的高. . 过过B B作作BESC, EBESC, E为垂足为垂足. .连结连结DE,DE, 则则DEBDEB为二面角为二面角D-SC-EBD-SC-EB的平面角的平面角, , 所以所以DEB=120DEB=120o o. .29ASBCDEO连结连结OE,30例例4.4.如图三棱锥如图三棱锥V-ABCV-ABC中中, D, D为为BCBC上一点上一点,E,E为为 AV AV上一点上一点, BCED, BCAV, ED AV, BCED, BCAV, ED AV, 已知已知 BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm. BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm. 求求: :三棱锥的体积三棱锥的体积. .VABCDE31NEXTRETURNVABCDEBC=6, ED=4, AV=8.解：32RETURNEVABCDBC=6, ED=4, AV=8.33例例5、如如图图,在在长长方方体体ABCD-A1B1C1D1中中,G为为A1B1上的点上的点,E、F在棱在棱AB上上,H在在C1D1上上.(1).若若点点G在在A1B1上上滑滑动动, H在在C1D1上上滑滑动动,线线段段EF在在AB上滑动上滑动,则则VH-EFG的值有何变化的值有何变化?(2).若若点点G滑滑动动到到B1,E、F滑滑动动到到A、B点点,H滑滑动动到到D1点点,则则VH-EFG体积为多少体积为多少?ABCDA1B1C1D1GHEF34 A D B CE 证明：在平面证明：在平面BCDBCD内，作内，作DE BCDE BC，垂足为，垂足为E E，连接连接AE, DEAE, DE就是就是AEAE在平面在平面BCDBCD上的射影。上的射影。 根据三垂线定理，根据三垂线定理，AE BCAE BC。 AED AED。例例6 6：已知：三棱锥：已知：三棱锥A-BCDA-BCD的侧棱的侧棱ADAD垂直于底面垂直于底面BCDBCD， 侧面侧面ABCABC与底面所成的角为与底面所成的角为 求证：求证：V V三棱锥三棱锥 S SABCABCADcosADcos S SAB CAB C ADcos ADcos BC AEcos AD BC AEcos ADV V三棱锥三棱锥 S SB CD B CD AD AD BC DE AD BC DE AD35例例6 6：已知：已知: :三棱锥三棱锥A-BCDA-BCD的侧棱的侧棱ADAD垂直于底面垂直于底面BCDBCD， 侧面侧面ABCABC与底面所成的角为与底面所成的角为 求证：求证：V V三棱锥三棱锥 S SABCABCADcosADcos A D B CE 问题问题1 1、ADcosADcos有什么几何意义？有什么几何意义？ F 结论：结论： V V三棱锥三棱锥 S SAB C AB C DF DF 36例例6 6、已知：三棱锥、已知：三棱锥A-BCDA-BCD的侧棱的侧棱ADAD垂直于底面垂直于底面BCDBCD， 侧面侧面ABCABC与底面所成的角为与底面所成的角为 求证：求证：V V三棱锥三棱锥 S SABCABCADcosADcos A D B CE 结论：结论： V V三棱锥三棱锥V VC-AEDC-AEDV VB-AEDB-AED 问题问题2、解答过程中的、解答过程中的 BC AEcos AD BC AEcos AD其中其中 AEcos AD AEcos AD可表示什么意思？可表示什么意思？AEcosEDSAED EDAD 又又BE与与CE都垂直平面都垂直平面AED，故，故BE、CE分别是三棱锥分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。的高。 分析：分析：37练习练习1 1：将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥， 这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请 列出三棱锥体积表达式）列出三棱锥体积表达式）AB CD A CB D问题问题1、你能有几种、你能有几种 解法？解法？ 问题问题2、如果这是一、如果这是一 个平行六面个平行六面 体呢？或者体呢？或者 四棱柱呢？四棱柱呢？38练习练习2:2:从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到一个正三棱锥到一个正三棱锥A-BCDA-BCD，求它的体积是正方体体，求它的体积是正方体体积的几分之几？积的几分之几？C D AB 问题问题2、如果改为、如果改为求求 棱长为棱长为a a的正四面的正四面 体体A-BCDA-BCD的体积。的体积。 你能有几种解法？你能有几种解法？问题问题1、你能有几种、你能有几种 解法？解法？解一、补形，将三棱解一、补形，将三棱 锥补成一个正方体。锥补成一个正方体。解二、利用体积公式解二、利用体积公式 V四面体四面体 SBCDh 解三、将四面体分割为解三、将四面体分割为 三棱锥三棱锥C-ABE和三棱和三棱 锥锥D-ABEE39小结：小结：1 1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识的思想，形象具体地在立体几何中运用象具体地在立体几何中运用“割补割补”进行解题的技巧。进行解题的技巧。2 2、三棱锥体积的证明分两步进行：、三棱锥体积的证明分两步进行： 、证明底面积相等、高也相等的任意两个锥体体积相等：、证明底面积相等、高也相等的任意两个锥体体积相等： （一个锥体的体积计算可以间接求得）（一个锥体的体积计算可以间接求得） 、证明三棱锥的体积等于其底面积与高的积的三分之一：、证明三棱锥的体积等于其底面积与高的积的三分之一： （它充分揭示了一个三棱锥的独特性质，可根据需要重（它充分揭示了一个三棱锥的独特性质，可根据需要重 新安排底面，这样也为点到面的距离、线到面的距离计新安排底面，这样也为点到面的距离、线到面的距离计 算提供了新的思考方法。这一点以后再学习。）算提供了新的思考方法。这一点以后再学习。）3、锥体的体积计算在立体几何体积计算中，占有重要位置，它锥体的体积计算在立体几何体积计算中，占有重要位置，它 可补成柱体又可以截成台体，它可以自换底面、自换顶点，在可补成柱体又可以截成台体，它可以自换底面、自换顶点，在 计算与证明中有较大的灵活性，技巧运用得当，可使解题过程计算与证明中有较大的灵活性，技巧运用得当，可使解题过程 简化，常常给人耳目一新的感觉。简化，常常给人耳目一新的感觉。40小结：小结：4 4、定理及推论、定理及推论 定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。 定理二、如果三棱锥的底面积是定理二、如果三棱锥的底面积是S S，高是，高是h h，那么，那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 Sh Sh 定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积定理三：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积 是是S S，高是，高是h h，那么它的体积是，那么它的体积是 V V锥体锥体 Sh Sh 推论：如果圆锥的底面半径是推论：如果圆锥的底面半径是r r，高是，高是h h， 那么它的体积是那么它的体积是 V V圆锥圆锥 r2h h41作业：作业： 1 1、四面体、四面体O-ABCO-ABC中，除中，除OCOC外其余的棱长均为外其余的棱长均为 1 1，且，且OCOC与平面与平面ABCABC所成的角的余弦值为，所成的角的余弦值为， 求此四面体的体积。求此四面体的体积。 2 2、三棱锥、三棱锥P-ABCP-ABC中，已知中，已知PABCPABC，PAPABCBCa a， PA,BC PA,BC的公垂线段为的公垂线段为EF(EEF(E、F F分别在分别在PAPA、BCBC 上上) )，且，且EFEFh h，求三棱锥的体积。，求三棱锥的体积。42