第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节第五节极限运算法则定理定理1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和有限个无穷小的代数和仍是无穷小仍是无穷小.一一、无穷小运算法则无穷小运算法则 证证注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .再例如再例如，类似可证类似可证: : 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小无穷小之和仍为无穷小 . 定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证推论推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小都是无穷小而而二、极限运算法则二、极限运算法则定理定理3注意：注意：1.定理适用于数列极限；定理适用于数列极限；2.定理可以推广到有限个函数；定理可以推广到有限个函数；3.定理只有在极限存在的情况下才适用定理只有在极限存在的情况下才适用.推论推论1 1常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.推论推论2 2定理定理4 4 若若且则二、求极限方法举例二、求极限方法举例例例1 1解解小结小结: :解解商的法则不能用商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2解解例例3 3(消去零因子法消去零因子法)例例4 4解解例例5 5解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)例例6 6解解例例7 7解解小结小结: :无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.例例8 8解解先变形再求极限先变形再求极限.例例9 9解解例例10 . 10 . 求求解解: : 方法方法 1 1则令 原式方法方法 2 2例例1111解解左右极限存在且相等左右极限存在且相等,三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理7.7. 设设且且 x 满足满足时时,又又则有则有证证: 当时, 有当时, 有对上述取则当时故因此式成立.例例1212三、小结三、小结1. 1. 极限运算法则极限运算法则(1) 无穷小运算法则无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法复合函数极限运算法则则注意使用条件2. 求函数极限的方法求函数极限的方法时时, , 用代入法用代入法( 分母不为 0 )时时, , 对对型型 , , 约去公因子约去公因子时时 , , 分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂(1) 分式函数极限求法分式函数极限求法(2)(2)利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限; ;(3) (3) 通分法通分法; ;(4)(4)有理化方法有理化方法; ;(5)(5)代数方法代数方法. .(6)(6)利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限. .(7) 复合函数极限求法复合函数极限求法设设中间变量中间变量思考题思考题 1. 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限有极限 无极限，无极限，那么那么 是否有极限？为什么？是否有极限？为什么？2.已知已知求求思考题解答思考题解答1.没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误2.解：解：3. 试确定常数试确定常数 a 使使解解 : 令则故因此一、填空题一、填空题:练练 习习 题题二、求下列各极限二、求下列各极限:练习题答案练习题答案备用题 设设解解:利用前一极限式可令再利用后一极限式 , 得可见是多项式 , 且求故