1 二次函数在给定区间上的最值问题【学前思考】二次函数在闭区间上取得最值时的x，只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点 . 因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置. 在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向（与二次项系数的正负有关），而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键. 本节，我们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法. 【知识要点例题精讲】二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是：Case、给定区间确定，对称轴位置也确定说明： 此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴 ，画出其函数图像，再将 给定区间标出 ，那么二次函数的最值一目了然. 解法： 若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内. （i ）当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得；（ii ）当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值. 例 1、二次函数223yxx在闭区间1,2上的最大值是 _. 例 2、函数2( )42f xxx在区间 0,3 上的最大值是 _，最小值是_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页2 例 3、已知223xx，则函数2( )1f xxx的最大值是 _，最小值是_. Case、给定区间确定，对称轴位置变化说明： 此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论 ，然后根据不同情况求出相应的最值. 解法： 若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求二次函数2yaxbxc（0a）在给定区间,p q 上的最值，需对其对称轴与给定区间的位置关系进行分类讨论. 这里我们以0a的情形进行分析：（）若2bpa，即对称轴在给定区间,p q 的左侧，则函数( )f x在给定区间,p q 上单调递增，此时max( )( )f xf q，min( )( )f xfp；（）若2bpqa，即对称轴在给定区间, p q 的内部，则函数( )f x在 ,2bpa上单调递减，在, 2bqa上单调递增，此时min( )()2bf xfa，max( )()f xfp或( )f q，至于最大值究竟是( )fp还是( )f q，还需通过考察对称轴与给定区间的中点的位置关系作进一步讨论：若22bp qpa，则max( )( )f xf q；若22p qbqa，则max( )( )fxfp；（）若2bqa，即对称轴在给定区间,p q 的右侧，则函数( )f x在给定区间,p q 上单调递减，此时max( )()f xfp，min( )( )f xf q. 综上可知，当0a时，max( ),22( )( ),22bpqf qaf xbpqfpa若若；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页3 min(),2( )(),22( ),2bf ppabbf xfpqaabf qqa若若若. 通过同样的分析可得到：当0a时，max( ),2( )(),22( ),2bfppabbfxfpqaabf qqa若若若；min( ),22( )( ),22bpqf qaf xbpqf pa若若. 例 4、已知21x且2a，求函数2( )3f xxax的最值 . 例 5、求函数( )()f xx xa在区间1,1上的最大值 . 例 6、求函数2( )21f xxax在区间0,2上的最大值和最小值 . 例 7、设函数2( )fxxaxb（,a bR），当214ab时，求函数( )f x在区间1,1上的最小值( )g a的解析式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页4 22222222( )1()1422122( ) 1,1( )( 1)11244122( ) 1,1( )(1)11244aaaf xxaxbxaxxxaaf xaag afaaaaf xaag afaa函数的图像是开口向上，对称轴为直线的抛物线（i ）若,即此时函数在上单调递增于是（ii ）若,即此时函数在上单调递减于是（iii） 解析 2211222( ) 1,122( )()12224( )1, 22224aaaaf xag afaaag aaaaa若,即此时函数在上单调递减 ,在上单调递增于是，综上可知，例 8、已知函数2( )1f xxmx，若对于任意的,1xm m，都有( )0f x成立，则实数m的取值范围是 _. Case、给定区间变化，对称轴位置确定说明： 此种类型，考试中出现的较少，一般是给定区间里含有参数. 解决此类问题，亦可根据对称轴与给定区间的位置关系，分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值. 解法： 若二次函数的给定区间是变化的，而其对称轴的位置是确定的，则要求二次函数在给定区间上的最值，需对变化区间是否包含其对称轴的横坐标进行分类讨论，分类标准为：变化区间包含其对称轴的横坐标，变化区间不包含其对称轴的横坐标 . 解决方法与知识点2 类似，这里不再赘述 . 例 9、已知函数2( )(1)1f xx定义在区间,1t t（tR）上，求( )f x的最小值 . 例 10、已知函数2( )23f xxx，当,1xt t（ tR ）时，求( )f x的最大值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页5 CaseIV、与二次函数最值问题有关的综合题型利用二次函数在给定区间上取得最值，可以求解、证明或探究以下综合问题：（1）求函数的最值或最值的取值范围；（2）求函数的解析式；（3）证明不等式；（4）求参数的取值范围；（5）探究参数是否存在；例 11、设函数221fxxaxa，0,2x，a为常数 . （I ）求 fx 的最小值( )g a 的解析式；（II ）在（ I ）中，是否存在最小的整数m，使得( )0g am对于任意 aR均成立. 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【解析】 （I ）函数22221()1fxxaxaxaaa的图像是开口向上，对称轴为直线xa的抛物线（i ）若0a，即0a此时函数( )f x的对称轴xa不在区间 0,2 上，( )f x在区间 0,2 上单调递增于是min( )( )(0)1g afxfa（ii ）若2a，即2a此时函数( )f x的对称轴xa不在区间 0,2 上，( )f x在区间 0,2 上单调递减于是min( )( )(2)44133g afxfaaa（iii）若 02a，即20a此时函数( )fx的对称轴xa在区间0, 2 上，( )f x在区间0, a 上单调递减，在区间,2a上单调递增于是2min( )( )()1g afxfaaa综上可知，21,0( )1, 2033,2aag aaaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页6 （II ）要使( )0g am对于任意的 aR 均成立，只需max( )mg a，aR下求max( )g a由函数( )g a的图像可见，( )g a在1(,2上单调递增，在1,)2上单调递减2max1113( )()()()12224g ag于是34m又 mZ故m的最小值为 0例 12、已知函数2( )2f xxaxb（,a bR），记 M 是|( ) |f x在区间0,1上的最大值 . （）当0b且2M时，求a的值；（）若12M，证明 01a. 【解析】 （I ）函数222( )2()f xxaxbxaab的图像是开口向上，对称轴为直线xa的抛物线而函数( )f x 的图像是将函数( )f x在x轴上方的图像保持不变、把它在x轴下方的图像翻折上去得到的（I ）当0b时，函数222( )2()f xxaxxaa（i ）若0a此时函数( )f x的对称轴xa不在区间0,1上，( )f x在区间0,1上单调递增于是max( ) max(0) ,(1)max 0,121 22Mf xffaa122122aa或，即12a（舍去32a）（ii ）若1a此时函数( )f x的对称轴xa不在区间0,1上，( )f x在区间0,1上单调递减于是max( ) max(0) ,(1)max 0,121 22Mf xffaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页7 122122aa或，即32a（舍去12a）（iii）若 01a此时函数( )f x的对称轴xa在区间0,1上，( )f x在区间 0,a 上单调递减，在区间,1a上单调递增于是2max( ) max( ) ,(1)max,122Mf xf afaa当22a时，20,1a，舍去当 122a时， 122122aa或12a或32a，均舍去综上可知，12a或32a（II ）(0)(1)1 2fbfab1(11(0)(11(0)(12222bfffffa）又12M1(0)2f，1(1)2f11(0)22f，11(1)22f于是有1(0)(1)1ff故111(0)(11101222222ffa），即0,1a例 13、（2015 浙江高考）已知函数2( )f xxaxb（a，bR），记( , )M a b是( )f x 在区间1,1 上的最大值 . （1）证明：当2a时，( , )2M a b；（2）当a， b满足( , )2M a b时，求 ab 的最大值 . 【分析】 本题考查的知识点是二次函数在区间定、对称轴位置变化的情形下的最值问题 . 解决此类问题的关键是正确理解“( , )M a b是( )f x 在区间1,1 上的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页8 最大值”这一条件，并结合函数图像以及三角不等式等知识。【解析】 （1）函数222( )()24aaf xxaxbxb的图像是开口向上，对称轴为直线2ax的抛物线而函数( )f x 的图像是将函数( )f x在x轴上方的图像保持不变、把它在x轴下方的图像翻折上去得到的2a，即22aa或1122aa或此时函数( )f x的对称轴2ax不在区间1,1 上于是函数( )f x在区间1,1 上单调故max( , )( )max(1),( 1)max 1,1M a bf xffabab1(11)2abab1(1)(1)2abab1222aa（2）( , )2M a b( )2, 1,1f xx于是有(1)2f，( 1)2f，即 12ab， 12ab212ab，212ab即31ab， 31ab又abab ， abab,0,0ab ababab ab于是max,3ababab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页9 又当2a，1b时，3ab，且2( )21f xxx在区间1,1 上的最大值为 2，即(2,1)2M故 ab 的最大值为 3例 14、已知函数2( )2f xxbxc，设函数( )( )g xf x 在区间 1, 1上的最大值为 M . （）若2b，求 M 的值；（）若 Mk 对任意的 b，c恒成立，试求 k 的最大值【分析】 本题考查的知识点是二次函数在区间定、对称轴位置变化的情形下的最值问题以及函数恒成立问题，解决此类问题的关键是正确理解“M 是( )f x在区间1,1 上的最大值”这一条件，并结合函数图像以及三角不等式等知识. 【解析】 函数222( )2()f xxbxcxbbc的图像是开口向下，对称轴为直线 xb的抛物线而函数( )( )g xf x 的图像是将函数( )f x在x轴上方的图像保持不变、把它在x轴下方的图像翻折上去得到的（1）当2b时，函数22( )4(2)4f xxxcxc此时其对称轴2x不在区间 1,1上，( )f x在区间1,1 上单调递增故maxmax( )( ) max(1),( 1)max 3,5Mg xf xffcc3,15,1c cc c（2）要使 Mk 对任意的 b，c恒成立，只需min,kMb cR下求 M 的最小值 . 222( )( )2()g xf xxbxcxbbc（i ）若1b，即11bb或此时函数( )f x的对称轴 xb不在区间1,1 上函数( )f x在区间1,1 上单调于是maxmax ( )( ) max(1),( 1)max12,12Mg xf xffbcbc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页10 1(1212)2bcbc1( 12)( 12)2bcbc14222bb（ii ）若1b，即11b此时函数( )f x的对称轴 xb在区间1,1 上于是maxmax ( )( ) max(1),( 1) ,( )Mg xf xfff b当11102b时，(1)( 1)( )fff b此时2111max(1),( )(1)( )(1)( )( 12)()222Mff bff bff bbcbc2211121(1), 1,0)222bbbb当1 1012b时，( 1)(1)( )fff b此时2111max( 1),( )( 1)( ) )( 1)( )( 1 2)()222Mff bff bff bbcbc22211112121(1),0,12222bbbbbb由（i ），（ ii ）可知，对任意的 b ，c，都有12M又当0b，12c时，21( )2g xx在区间1,1 上的最大值为12，即12M故 Mk 对任意的 b，c恒成立的 k 的最大值为12. 【课后总结】解决二次函数在给定区间上的最值问题，核心是关于二次函数的对称轴与给定区间的位置关系的讨论. 一般分为：二次函数的对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况，然后根据不同情况求出相应最值. 建议在理解相关结论或解题时，一定要注意结合二次函数的图像，做到数形结合。须知：函数图像就是指路明灯！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页11 【习题精练】1、若2( )f xxbxc，且( 3)(1)ff，则（）A. ( 1)(1)cff B. ( 1)(1)fcfC. (1)( 1)fcf D. (1)( 1)ffc2、（2013浙江高考）已知a，b ， cR，函数2( )f xaxbxc. 若(0)(4)(1)fff，则（）A. 0,40aab B. 0,40aabC. 0,20aab D. 0,20aab3、（2017浙江高考）若函数2( )f xxaxb在 0,1 上的最大值是 M ，最小值是m，则 Mm（）A. 与a有关，且与 b有关 B. 与a有关，但与 b无关C. 与a无关，且与 b无关 D. 与a无关，但与 b有关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页12 222maxminmax( )()242002( )0,1( )(1)1,( )(0)1,122( )0,1( )aaaf xxaxbxbxaaf xMf xfab mf xfbMmaabaaf xMf x函数的图像是开口向上，对称轴为直线的抛物线（i ）若,即此时函数在上单调递增于是与 有关，但与无关（ii ）若,即此时函数在上单调递减于是 解析 min2maxmin2(0),( )(1)11,011010222( )0,1(0),(1)1(0)22( )(1)1,( )()244fb mf xfabMmaabaaaaf xfb fabbfaaMf xfab mf xfbaMma与 有关，但与无关（iii）若,即此时函数在上单调递减 ,在上单调递增 ,并且于是2maxmin2221,101121222( )0,1(0),(1)1(0)22( )(0),( )()24,41,2, 2144abaaaaf xfb fabbfaaMf xfb mf xfbaMmaba aaaMmaa与 有关，但与无关（iv ）若,即此时函数在上单调递减 ,在上单调递增 ,并且于是与 有关，但与无关综上可知，,1, 101,0abaa a与 有关，但与无关4、已知函数22( )1f xxaxbb（,a bR）对任意的实数x，都有(1)(1)fxfx成立. 若当1,1x时，( )0f x恒成立，则b的取值范围是（）A. 10b B. 2bC. 2b或1b D. 1b5、已知一次函数yaxb（0a）的图像不经过第一象限，且在区间2,1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页13 上的最大值和最小值分别为1 和-2，则函数2yxaxb在区间2,1上的最大值为（）A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 6、设函数24(1)3yaxax在2,)上单调递减，则实数a的取值范围是_. 7、已知二次函数( )f x满足(1)(1)fxfx，且(0)0f，(1)1f，若函数( )f x在区间,m n上的值域是,m n，则m_，n_. 8、已知函数2( )f xxkxk在区间2,4上是单调函数，则实数k的取值范围是_. 9、已知抛物线2( )f xaxbxc的开口向下，顶点坐标为2, 3 ，那么该抛物线有（）A. 最小值 -3 B. 最大值 -3 C. 最小值 2 D. 最大值 2 10、已知 t为常数，函数22yxxt 在区间 0,3 上的最大值为 2，则 t_. 11、已知113a，若函数2( )21f xaxx在闭区间 1,3 上的最大值为( )M a，最小值为( )N a，令( )( )( )g aM aN a，则( )g a的解析式为 _. 12、（2013辽宁高考）已知函数22()2(2)fxxaxa，22()2(2)8g xxaxa，设1( )max( ),( )Hxf xg x，2( )min( ),( )Hxf xg x，（ max,p q 表示 p，q中的较大值， min,p q 表示p，q中的较小值） . 记1( )Hx的最小值为 A，2( )Hx的最大值为 B ，则AB_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页14 13、已知一次函数( )f x是R上的增函数，( )( )()g xf x xm，且有( )165ff xx. （1）求( )fx；（2）若函数( )g x在(1,)上单调递增，求实数m的取值范围；（3）若当1,3x时，( )g x有最大值13，求实数mm的值. 14、已知函数2( )43f xxxa，( )52g xmxm（I ）若方程( )0f x在 1,1上有实数根，求实数a的取值范围；（II ）当0a时，若对任意的11,4x，总存在21,4x，使12()()f xg x成立，求实数m的取值范围；（III ）若函数( )yfx（ ,4xt）的值域为区间 D ，是否存在常数 t，使区间D 的长度为 72t？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由（注：区间, p q的长度为 qp）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页