(第 4 题图 ) HEDBOAC京翰提示： 圆作为初中数学中重要的知识点，在历年高考题中都出现在重要的得分点高的部分，尤其是压轴题中，有些同学往往认为压轴题一定是很难很难得到分数的部分，其实在题目中往往前一到两个小题都是考察大家的基础知识，只要正确列出公式就能得到相应的分数。要学好圆的部分，不仅要靠平时的练习，最重要的还是回归课本，把基础知识参透，只有基础牢固了，才能进一步对圆的认识进行延伸和扩展。1 如图，将 AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（ 3，0）， ABO=60 . （1）若 AOB的外接圆与y 轴交于点 D，求 D点坐标 . （2）若点 C的坐标为（ -1，0），试猜想过D、C的直线与 AOB的外接圆的位置关系，并加以说明. （3）二次函数的图象经过点O和 A且顶点在圆上，求此函数的解析式. 2 如图（ 4），正方形111OABC的边长为1，以O为圆心、1OA为半径作扇形1111OAC AC，与1OB相交于点2B，设正方形111OABC与扇形11OAC之间的阴影部分的面积为1S；然后以2OB为对角线作正方形222OA B C，又以O为圆心，、2OA为半径作扇形22OA C，22A C与1OB相交于点3B，设正方形222OA B C与扇形22OA C之间的阴影部分面积为2S；按此规律继续作下去，设正方形nnnOA B C与扇形nnOA C之间的阴影部分面积为nS（1）求123SSS，；（2）写出2008S；（3）试猜想nS（用含n的代数式表示，n为正整数）3 (10 分 )如图，点I 是 ABC 的内心，线段AI 的延长线交 ABC 的外接圆于点D，交 BC 边于点 E（1）求证： ID=BD；（2）设 ABC 的外接圆的半径为5，ID=6， ADx，DEy，当点 A 在优弧上运动时，求y 与 x 的函数关系式，并指出自变量x的取值范围4 如图， 点 A，B，C，D 是直径为AB 的 O 上四个点， C 是劣弧BD的中点，AC 交 BD 于点 E， AE2， EC1（1）求证：DECADC；（3 分）（2）试探究四边形ABCD 是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由（4 分）B1B2B3A1A2A3O C3C2C1图 4 S2S1S3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页D B AO C E 图 10 D B A O C E 图 11 （3）延长 AB 到 H，使 BH OB求证： CH 是 O 的切线（3 分）5 如图 10，半圆 O 为ABC 的外接半圆， AC 为直径， D 为BC上的一动点（1）问添加一个什么条件后，能使得BDBEBCBD？请说明理由；（2）若 ABOD，点 D 所在的位置应满足什么条件？请说明理由；（3）如图 11，在（1）和（ 2）的条件下，四边形AODB 是什么特殊的四边形？证明你的结论6 如图 1，已知正方形ABCD 的边长为2 3，点 M 是 AD 的中点， P 是线段 MD 上的一动点（ P 不与 M，D 重合），以 AB 为直径作 O，过点 P 作 O 的切线交BC 于点 F，切点为E（1）除正方形ABCD 的四边和 O 中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）？（2）求四边形CDPF 的周长；（3）延长 CD，FP 相交于点G，如图 2 所示 是否存在点P，使 BF*FG=CF*OF ？如果存在，试求此时AP 的长；如果不存在，请说明理由7 如图， 在平面直角坐标系xoy中，M是x轴正半轴上一点，M与x轴的正半轴交于AB，两点，A在B的左侧，且OAOB，的长是方程212270xx的两根，ON是M的切线，N为切点，N在第四象限（1）求M的直径（2）求直线ON的解析式（3）在x轴上是否存在一点T，使OTN是等腰三角形，若存在请在图2 中标出T点所在位置， 并画出OTN（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求T的坐标）若不存在，请说明理由M A F C O P E D O B 图 1 P D O G E M F B A C 图 2 yxBMAONyxBMAON精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页1 解：（ 1）连结 AD. ABO=60 , ADO=60 .1分由点 A的坐标为（ 3，0）得 OA=3. 在 RtADO中有cot ADO=ODOA, .2 分OD=OA cot ADO=3 cot60 =333=3. 点 D的坐标为（ 0，3） 3 分（2）DC与 AOB的外接圆相切于点D，理由如下 : 由（ 1）得 OD=3 ,OA=3. 2222( 3)32 3ADODOA. 又 C点坐标是（ -1 ，0）, OC=1. 22221(3)2CDOCOD4 分AC=OA+OC=3+1=4, CD2+AD2=22+(23)2=42=AC25 分 ADC=90 , 即 ADDC. 由 AOD=90 得 AD为圆的直径 . DC与 AOB的外接圆相切于点D 6 分（说明：也可用解直角三角形或相似三角形等知识求解. ）（3）由二次函数图象过点O（0， 0）和 A（3，0）, 可设它的解析式为 y=ax(x-3)（ a0）. 如图，作线段OA的中垂线交AOB的外接圆于E、F两点，交 AD于 M点，交 OA于 N点. 由抛物线的对称性及它的顶点在圆上可知，抛物线的顶点就是点E或 F. EF垂直平分OA ，EF是圆的直径 . 又 AD是圆的直径 , EF与 AD的交点 M是圆的圆心.7 分由（ 1）、（ 2）得 OA=3 ，AD=23. M E F N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页AN=12OA=32，AM=FM=EM=12AD=3. 222233( 3)( )22MNAMAN. FN=FM-MN=3-32=32,EN=EM+MN=3+32=3 32. 点 E的坐标是 (32 , 3 32) ，点 F 的坐标是 (32 , -32) .8分当点 E为抛物线顶点时，有32(32-3)a=3 32, a=2 33. y=2 33x(x-3). 即 y=2 33x2+23x9 分当点 F为抛物线顶点时，有32(32-3)a=-32, a=2 39. y=2 39x(x-3). 即 y=2 39x22 33x. 故二次函数的解析式为y=2 33x2+23x 或 y=2 39x22 33x .10 分2 （1）221111144S；2 分222212124228S；4 分22322122122422416S； 6 分（2）200820072009122S；8 分（3）11122nnnS（n为正整数）10 分3 (1) 证明：如图， 点 I 是ABC 的内心， BAD =CAD ， ABI=CBI2分 CBD= CAD， BAD =CBD 3分 BID =ABI+BAD =CBI +CBD=IBD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页 ID =BD5分(2)解：如图， BAD=CBD=EBD， D=D， ABD BED7分BDADDEBD 22ADDEBDID8 分 ID =6，AD=x，DE=y， xy=369分又 x=ADID=6， AD 不大于圆的直径10， 6x10y 与 x 的函数关系式是36yx（610x ）10 分说明：只要求对xy=36 与 6x 10，不写最后一步，不扣分4 （1）证明： C 是劣弧BD的中点，DACCDB 1 分而ACD公共，DECADC 3 分（2）证明：连结OD，由得DCECACDC，1.213CEACAEEC，23 13DCAC EC3DC 4分由已知3BCDC，AB是 O 的直径，90ACB，222223312ABACCB2 3AB， 3ODOBBCDC，四边形 OBCD 是菱形DCABDCAB，四边形 ABCD 是梯形 5分法一：过 C 作 CF 垂直 AB 于 F，连结 OC，则3OBBCOC60OBC 6分sin 60CFBC，33sin60322CFBC，1139 32 332224ABCDSCFABDC梯形 7分法二： （接上证得四边形ABCD 是梯形）又DCABADBC，连结 OC，则AOD，DOC和OBC的边长均为3的等边三角形6 分AODDOCOBC，239 333344AODABCDSS梯形 7分（3）证明：连结OC 交 BD 于 G 由（ 2）得四边形OBCD 是菱形，OCBD且OGGC 8分又已知 OBBH，BGCH 9分90OCHOGB，CH 是 O 的切线 10 分5 解：（1）添加AB=BD 2 分AB=BD AB=BD BDE =BCD 3 分又 DBE =DBC BDE BCD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页BDBEBCBD 4 分（2）若 ABDO，点 D 所在的位置是BC的中点 5分ABDO ADO =BAD 6分 ADO =OAD OAD = BAD DB=DC 7分（3）在（ 1）和（ 2）的条件下，AB=BD=DC BDA =DAC BDOA 又 ABDO 四边形AODB 是平行四边形 9分OA=OD 平行四边形AODB 是菱形 10 分6 解：（ 1）FBFE ，PEPA 2分（2）四边形CDPF 的周长为FCCD DPPEEFFCCD DPPABF 3分BFFCCDDPPA 4 分BCCDDA 5分2 3 36 3 6分（3）存在7 分若BF FGCF OF,则BFCFOFFG cosOFBBFOF，cosGFC CFFG OFB GFC又 OFB OFE OFE OFB GFC=60 8分 在RtOFB中 FEFBtan60OB 1 在RtGFC中CGtantan602 31 tan6063CFGFCCF63 3DGCGCDtantan302 33DPDGPGDDG 9分2 32 333APADDP 10 分7 解：（ 1）解方程212270xx，得19x，23xA在B的左侧3OA，9OB6ABOBOAOM的直径为6 1分（2）过N作NCOM，垂足为C，连结MN，则MNON31sin62MNMONOM30MONO C M y x B N 图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页又cosONMONOMcos303 3ONOM在RtOCN中39cos303 322OCON13 3sin 303 322CNONN的坐标为93 322， 3分（用其它方法求N的坐标，只要方法合理，结论正确，均可给分）设直线ON的解析式为ykx3 3922x33k直线ON的解析式为33yx 4分（3）如图2，1T，2T，3T，4T为所求作的点，1OT N，2OT N，3OT N，4OT N为所求等腰三角形（每作出一种图形给一分） 8分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页