学习必备欢迎下载第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题备考方向要明了 考 什 么怎 么 考1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决. 1. 考查形式：选择题或填空题2.命题角度：(1)求目标函数的最大值或最小值，或以最值为载体求其参数的值 (范围 )，如 20XX 年广东 T5，新课标全国T14，山东 T5 等(2)利用线性规划方法求解实际问题中的最优方案，如20XX 年江西 T8 等(3)将线性规划问题与其他知识相结合，如向量、不等式、导数等相结合命题，如20XX 年陕西 T14，福建 T9 等. 归纳 知识整合 1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地， 在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxBy C0 表示直线Ax ByC0 某一侧的所有点组成的平面区域(半平面 )不包括边界直线不等式 AxByC0 所表示的平面区域(半平面 )包括边界直线(2)对于直线AxByC0 同一侧的所有点(x，y)，使得 AxByC 的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，其坐标适合AxByC0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合 AxByC0. (3)可在直线AxByC0 的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从 Ax0By0C的符号来判断AxByC0(或 AxByC0)所表示的区域(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分2线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量 x，y 组成的不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页学习必备欢迎下载线性约束条件由 x，y 的一次不等式(或方程 )组成的不等式(组) 目标函数关于 x，y 的函数解析式，如z2x 3y 等线性目标函数关于 x，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y) 可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题探究 1.点 P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)位于直线 AxByC0 的两侧的充要条件是什么？提示： (Ax1By1C)(Ax2By2C)0. 2可行解与最优解有何关系？最优解是否唯一？提示： 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一自测 牛刀小试 1(教材习题改编)不等式 x2y60，代入 x 2y2 得 10，即点 (1,1)在 x2y2 0 的内部，在xy10 的内部，故所求二元一次不等式组为xy10，x2y20.4下列各点中，与点(1,2)位于直线xy1 0 的同一侧的是() A(0,0)B(1,1) C(1,3) D(2， 3) 解析： 选 C当 x1，y2 时， x y112120，当 x 1， y3 时， xy1 13110，故(1,3)与(1,2)位于直线xy10 的同侧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页学习必备欢迎下载5(2012 广东高考 )已知变量x，y 满足约束条件xy 1，xy 1，x10，则 zx2y 的最小值为() A3 B1 C 5 D 6 解析： 选 C变量 x，y 满足的不等式组xy1，xy1，x10表示的平面区域如图所示，作辅助线 l0：x2y 0，并平移到过点A(1， 2)时， zx2y 达到最小，最小值为5. 二元一次不等式(组)表示的平面区域例 1(2012 福建高考 )若直线 y2x 上存在点 (x， y)满足约束条件x y30，x 2y30，x m，则实数 m 的最大值为 () A 1B1 C.32D2 自主解答 如图所示：约束条件xy3 0，x2y30，xm表示的可行域如阴影部分所示当直线x m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的位置时，m 取最大值解方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页学习必备欢迎下载x y30，y 2x，得 A 点坐标为 (1,2)，故 m 的最大值是1. 答案 B 二元一次不等式表示的平面区域的画法在平面直角坐标系中，设有直线AxByC 0(B 不为 0)及点 P(x0，y0)，则(1)若 B0，Ax0By0C0，则点 P 在直线的上方， 此时不等式AxByC0 表示直线Ax ByC0 的上方的区域(2)若 B0，Ax0By0C0，则点 P 在直线的下方， 此时不等式AxByC0，则截距zb取最大值时， z 也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值(2)若 b0，2x1，x0，D 是由 x 轴和曲线yf(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则zx 2y在 D 上的最大值为 _解析： 当 x0 时，求导得f(x)1x，所以曲线在点(1,0)处的切线的斜率k 1，切线方程为 y x1，画图可知区域D 为三角形， 三个顶点的坐标分别为12，0 ，(0，1)，(1,0)，平移直线x2y0，可知在点 (0， 1)处 z 取得最大值2. 答案： 2 一、选择题 (本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分) 1不等式组x0，x3y4，3xy4所表示的平面区域的面积等于() A.32B.23C.43D.34解析： 选 C平面区域如图解x3y4，3xy4，得 A(1,1)，易得 B(0,4)，C 0，43， |BC|44383. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页学习必备欢迎下载 SABC1283143. 2在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组|x|y|，|x|1的点 (x，y)的集合用阴影表示为下列图中的 () 解析：选 C|x|y|把平面分成四部分，|x|y|表示含 y 轴的两个区域； |x|0，y2，则yx的取值范围是() A(0,2) B(0,2 C(2， ) D2， ) 解析： 选 D画出线性约束条件的可行域(如图 )yx的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页学习必备欢迎下载由xy10，y2，得 A(1,2)，故 kkOA2. yx2. 5(2012 辽宁高考 )设变量 x，y 满足xy10，0xy20，0y15，则 2x3y 的最大值为 () A20 B35 C45 D55 解析：选 D作出不等式组对应的平面区域(如图所示 )，平移直线 y23x，易知直线经过可行域上的点A(5,15)时， 2x3y 取得最大值55. 6(2013 衡水模拟 )点 P(2，t)在不等式组xy40，xy30，表示的平面区域内，则点 P(2，t)到直线 3x4y100 距离的最大值为() A2 B4 C6 D8 解析： 选 B画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分所示)结合图形可知，点A 到直线3x4y100 的距离最大由x 2x y30得 A 点坐标为 (2,1)，故所求最大距离为dmax|324110|32424. 二、填空题 (本大题共3 小题，每小题5 分，共 15 分) 7已知点 (3， 1)和点 (4， 6)在直线3x2ya0 的两侧，则a 的取值范围为_解析： 根据题意知 (92a) (1212a)0，即(a7)(a24)0，解得 7a24. 答案： (7,24) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页学习必备欢迎下载8(2013 濮阳模拟 )已知点 A(2,0)，点 P 的坐标 (x，y)满足x4y30，3x 5y25，x10，则|OP| cosAOP(O 为坐标原点 )的最大值是 _解析： |OP| cos AOP 即为OP在OA上的投影，即求不等式组所表示的可行域中点的横坐标的最大值由x4y30，3x 5y25，可得交点的坐标为(5,2)，此时|OP| cos AOP 取值最大， |OP| cos AOP 的最大值为5. 答案： 5 9某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品 5件和 B 类产品 10 件，乙种设备每天能生产A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件已知设备甲每天的租赁费为200 元，设备乙每天的租赁费为300 元，现该公司至少要生产A 类产品 50 件，B 类产品 140 件，所需租赁费最少为_元解析： 设租赁甲设备x 台，乙设备y 台，则5x6y 50，10x20y140，x N*，y N*，设租赁费用为w，w200x300y. 约束条件构成的平面区域如图：解5x6y50，10x20y140，得 A(4,5) wmin200430052 300. 答案： 2 300 三、解答题 (本大题共3 小题，每小题12 分，共 36 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页学习必备欢迎下载10 (2013 合肥模拟 )画出不等式组xy50，xy0，x3表示的平面区域， 并回答下列问题：(1)指出 x，y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解： (1)不等式 x y50 表示直线xy50 上及其右下方的点的集合， xy0 表示直线xy0 上及其右上方的点的集合，x3表示直线x3 上及其左方的点的集合所以，不等式组xy5 0，xy0，x3表示的平面区域如图所示结合图中可行域得x52， 3 ，y 3,8(2)由图形及不等式组知xyx5，52x3，且 x Z，当 x3 时， 3y8，有 12 个整点；当 x2 时， 2y7，有 10 个整点；当 x1 时， 1y6，有 8 个整点；当 x0 时， 0y5，有 6 个整点；当 x 1 时， 1y4，有 4 个整点；当 x 2 时， 2y3，有 2 个整点；平面区域内的整点共有2468101242(个)11设 x，y 满足约束条件xy50，xy0，x3，求 z(x1)2y2的最大值解： 作出不等式组xy50，xy0，x3表示的平面区域，如图中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页学习必备欢迎下载阴影部分所示(x 1)2y2可看作点 (x，y)到点 P( 1,0)的距离的平方，由图象可知可行域内的点A 到点 P(1,0)的距离最大解方程组x 3，x y50，得 A 点的坐标为 (3,8)，代入z(x1)2y2，得 zmax(31)28280. 12(2013 黄山模拟 )若 x，y 满足约束条件xy 1，xy 1，2x y2，(1)求目标函数z12xy12的最值(2)若目标函数z ax2y 仅在点 (1,0)处取得最小值，求a 的取值范围解： (1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直线12xy120，过A(3,4)取最小值 2，过C(1,0)取最大值1. z 的最大值为1，最小值为 2. (2)直线 ax2yz 仅在点 (1,0)处取得最小值，由图象可知1a22，解得 4a1，在约束条件yx，ymx，xy1下，目标函数zxmy 的最大值小于2，则 m 的取值范围为 () A(1,12) B(12， ) C(1,3) D(3， ) 解析： 选 A m1，由yx，ymx，xy1，画出可行域，如图所示对于目标函数zxmy，即y1mxzm，平移直线 y1mx 到 B 处 z取值最大，则由ymxxy1得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页学习必备欢迎下载B1m1，mm1，zmax1m 1m2m12. 解得 12m1， 1m12. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 20 页