怎么怎么证明证明几何命题几何命题证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤: :(1)(1)理解题意理解题意理解题意理解题意: :分清命题的条件分清命题的条件分清命题的条件分清命题的条件( (已知已知已知已知), ),结论结论结论结论( (求证求证求证求证); );(2)(2)根据题意根据题意根据题意根据题意, ,画出图形画出图形画出图形画出图形; ;(3)(3)结合图形结合图形结合图形结合图形, ,用符号语言写出用符号语言写出用符号语言写出用符号语言写出“ “已知已知已知已知” ”和和和和“ “求证求证求证求证” ”; ; (4)(4)分析题意分析题意分析题意分析题意, ,探索证明思路探索证明思路探索证明思路探索证明思路( (由由由由“ “因因因因” ”导导导导“ “果果果果” ”, , , ,执执执执“ “果果果果” ”索索索索“ “因因因因” ”. .); );(5)(5)依据思路依据思路依据思路依据思路, ,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证 明过程明过程明过程明过程; ;(6)(6)检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确检查表达过程是否正确, ,完善完善完善完善. .提示提示: : 要说明一个命题是要说明一个命题是要说明一个命题是要说明一个命题是假命题假命题假命题假命题, , , ,通常可以举出一个例子通常可以举出一个例子通常可以举出一个例子通常可以举出一个例子, , , ,使之具备命题的条件使之具备命题的条件使之具备命题的条件使之具备命题的条件, , , ,而不具备命题的结论而不具备命题的结论而不具备命题的结论而不具备命题的结论, , , ,这种例子这种例子这种例子这种例子称为称为称为称为反例反例反例反例(counter example).(counter example).(counter example).(counter example). 回顾回顾 思考思考3 3在本章中你学到了什么在本章中你学到了什么角角的的平平分分线线角角的的平平分分线线通过探索通过探索通过探索通过探索, , , ,猜猜猜猜想想想想, , , ,计算和证计算和证计算和证计算和证明得到定理明得到定理明得到定理明得到定理与等腰三角形、等边三角形与等腰三角形、等边三角形与等腰三角形、等边三角形与等腰三角形、等边三角形有关的结论有关的结论有关的结论有关的结论与与直直角角三三角角形形有有关关的的结结论论与与直直角角三三角角形形有有关关的的结结论论与与一一般般的的三三角角形形有有关关的的结结论论与与一一般般的的三三角角形形有有关关的的结结论论假假设设法法假假设设法法尺尺 规规 作作 图图尺尺 规规 作作 图图线线段段的的垂垂直直平平分分线线线线段段的的垂垂直直平平分分线线 回顾回顾 思考思考5 52.2.推论推论推论推论: : 等腰三角形顶角的平分线、底边上等腰三角形顶角的平分线、底边上等腰三角形顶角的平分线、底边上等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合的中线、底边上的高线互相重合的中线、底边上的高线互相重合的中线、底边上的高线互相重合( ( ( (三线合一三线合一三线合一三线合一).).).).（1 1 1 1）AB=AC, 1=2(AB=AC, 1=2(AB=AC, 1=2(AB=AC, 1=2(已知已知已知已知).).).).BD=CD,ADBCBD=CD,ADBCBD=CD,ADBCBD=CD,ADBC（等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形三线合一）三线合一）三线合一）三线合一）. . . .（2 2 2 2）AB=AC, BD=CD (AB=AC, BD=CD (AB=AC, BD=CD (AB=AC, BD=CD (已知已知已知已知).).).).1=2,ADBC1=2,ADBC1=2,ADBC1=2,ADBC（等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形三线合一三线合一三线合一三线合一）（3 3 3 3）AB=AC, ADBC(AB=AC, ADBC(AB=AC, ADBC(AB=AC, ADBC(已知已知已知已知).).).).BD=CD, 1=2BD=CD, 1=2BD=CD, 1=2BD=CD, 1=2（等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形三线合一）三线合一）三线合一）三线合一） 轮换条件：轮换条件：1=2, ADBC,ADBC,BD=CD,BD=CD,可得可得三线合一三线合一的三种不同形式的运用的三种不同形式的运用. .知知 识识 要要 点点 回回 顾顾1.1.定理定理定理定理: : 等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等 简称简称简称简称: :等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角A A C CB BD D1 12 2 回顾回顾 思考思考4 44.4.等边三角形的判定：等边三角形的判定：等边三角形的判定：等边三角形的判定：结论结论4:4: 等腰三角形等腰三角形腰上的高线与底边的夹角腰上的高线与底边的夹角等于顶等于顶 角的一半角的一半. .结论结论5:5:等腰三角形等腰三角形底边上的任意一点底边上的任意一点到两腰的距离到两腰的距离 之和之和等于一腰上的高等于一腰上的高.3.等腰三角形有关知识要点等腰三角形有关知识要点:结论结论结论结论1:1:等腰三角形两等腰三角形两等腰三角形两等腰三角形两底角的平分线相等底角的平分线相等底角的平分线相等底角的平分线相等.结论结论结论结论2:2:等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形两腰上的中线相等两腰上的中线相等两腰上的中线相等两腰上的中线相等.结论结论结论结论3:3:等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形两腰上的高相等；两腰上的高相等；两腰上的高相等；两腰上的高相等；(3).(3).有有有有一个角是一个角是一个角是一个角是60600 0的的的的等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形是是是是等边三角形等边三角形等边三角形等边三角形.(1).(1).三条边都相等三条边都相等三条边都相等三条边都相等的三角形是的三角形是的三角形是的三角形是等边三角形等边三角形等边三角形等边三角形.(2).(2).三个角都相等三个角都相等三个角都相等三个角都相等的三角形是的三角形是的三角形是的三角形是等边三角形等边三角形等边三角形等边三角形.5.5.定理定理定理定理: :在直角三角形中在直角三角形中在直角三角形中在直角三角形中, ,如果一个如果一个如果一个如果一个锐角等于锐角等于锐角等于锐角等于30300 0, ,那么那么那么那么 这个锐角这个锐角这个锐角这个锐角所对直角边所对直角边所对直角边所对直角边等于等于等于等于斜边的一半。斜边的一半。斜边的一半。斜边的一半。它的逆命题它的逆命题:ACB=90ACB=900 0 , A=30 , A=300 0 在直角三角形中在直角三角形中在直角三角形中在直角三角形中, ,如果如果如果如果一条直角边等于斜边的一半一条直角边等于斜边的一半一条直角边等于斜边的一半一条直角边等于斜边的一半, ,那么那么那么那么这条直角边所对的锐角等于这条直角边所对的锐角等于这条直角边所对的锐角等于这条直角边所对的锐角等于30300 0. .ACB=90ACB=900 0, , A=30 A=300 0ABC30300 0几何语言：几何语言：6.6.勾股定理勾股定理勾股定理勾股定理: :直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形两条直角边的平方和等于斜两条直角边的平方和等于斜两条直角边的平方和等于斜两条直角边的平方和等于斜 边的平方边的平方边的平方边的平方. .它的逆定理它的逆定理它的逆定理它的逆定理: : 如果三角形如果三角形如果三角形如果三角形两边的平方和等于第三边的平方两边的平方和等于第三边的平方两边的平方和等于第三边的平方两边的平方和等于第三边的平方, ,那么这个三角形是那么这个三角形是那么这个三角形是那么这个三角形是直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形. .7.7.直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理直角三角形全等的判定定理: :斜边和一条直角边对应相等斜边和一条直角边对应相等斜边和一条直角边对应相等斜边和一条直角边对应相等的的的的两个直角三角形全等两个直角三角形全等两个直角三角形全等两个直角三角形全等. .(简称简称“HL”)8.8.写出命题：写出命题：写出命题：写出命题：“ “等腰三角形的等腰三角形的等腰三角形的等腰三角形的两个底角相等两个底角相等两个底角相等两个底角相等” ”的逆命题：的逆命题：的逆命题：的逆命题：有有有有两个角相等两个角相等两个角相等两个角相等的三角形是的三角形是的三角形是的三角形是等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形. .定理：定理：定理：定理：线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点到这条线段到这条线段到这条线段到这条线段两个端点两个端点两个端点两个端点 的的的的距离相等距离相等距离相等距离相等. .9.9.线段的垂直平分线线段的垂直平分线线段的垂直平分线线段的垂直平分线它的逆命题它的逆命题它的逆命题它的逆命题: :到一条线段两个端点距离相等到一条线段两个端点距离相等到一条线段两个端点距离相等到一条线段两个端点距离相等 的点的点的点的点, ,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上. .MNMN垂直平分垂直平分垂直平分垂直平分ABABABAB(MNAB,AC=BC(MNAB,AC=BC(MNAB,AC=BC(MNAB,AC=BC或或或或P P P P在在在在ABABABAB的垂直平分线上的垂直平分线上的垂直平分线上的垂直平分线上) ) ) )PA=PBPA=PBPA=PBPA=PBPA=PB(PA=PB(PA=PB(PA=PB(已知已知已知已知),),),),点点点点P P P P在在在在ABABABAB的垂直平分线上的垂直平分线上的垂直平分线上的垂直平分线上ACBPMN几何语言：几何语言：几何语言：几何语言：10.10.角平分线角平分线角平分线角平分线定理定理定理定理: :角平分线上的点角平分线上的点角平分线上的点角平分线上的点到这个角两边的距离相等到这个角两边的距离相等到这个角两边的距离相等到这个角两边的距离相等. . PDOA,PEOB , PDOA,PEOB , PDOA,PEOB , PDOA,PEOB , PD=PEPD=PEPD=PEPD=PE 1=2(OP 1=2(OP 1=2(OP 1=2(OP是角平分线是角平分线是角平分线是角平分线或或或或P P P P在在在在AOBAOBAOBAOB的平分线上的平分线上的平分线上的平分线上) ) ) )逆逆逆逆定理定理定理定理: : 在一个角的内部在一个角的内部在一个角的内部在一个角的内部, ,且且且且到角的两边距离相到角的两边距离相到角的两边距离相到角的两边距离相等的点等的点等的点等的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上在这个角的平分线上在这个角的平分线上. .1=2,PDOA,PEOB1=2,PDOA,PEOB1=2,PDOA,PEOB1=2,PDOA,PEOBPD=PEPD=PEPD=PEPD=PEOCB1A2PDE几何语言：几何语言：11.11.定理定理定理定理: :三角形三条边的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线三角形三条边的垂直平分线相交于一点相交于一点相交于一点相交于一点, ,并且并且并且并且 这一点这一点这一点这一点到三个顶点的距离相等到三个顶点的距离相等到三个顶点的距离相等到三个顶点的距离相等.12.12.定理定理定理定理: :三角形的三条角平分线三角形的三条角平分线三角形的三条角平分线三角形的三条角平分线相交于一点相交于一点相交于一点相交于一点, ,并且并且并且并且 这一点这一点这一点这一点到三条边的距离相等到三条边的距离相等到三条边的距离相等到三条边的距离相等. .( (外心外心外心外心) )( (内心内心内心内心) )A AB BC CP P到到三个顶点三个顶点距离相等是指距离相等是指垂直平分线垂直平分线上的点。上的点。到到三条边的三条边的距离相等是指距离相等是指角平分线角平分线上的点。上的点。与同伴交流讲述一两个命题的证明思路和证明方法与同伴交流讲述一两个命题的证明思路和证明方法与同伴交流讲述一两个命题的证明思路和证明方法与同伴交流讲述一两个命题的证明思路和证明方法. .提示提示: :能将证明的能力提升一个台阶的前提是能将证明的能力提升一个台阶的前提是能将证明的能力提升一个台阶的前提是能将证明的能力提升一个台阶的前提是: : : :认识认识认识认识 并掌握一定数量的基本图形并掌握一定数量的基本图形并掌握一定数量的基本图形并掌握一定数量的基本图形. . . .如：如：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离 相等相等相等相等. . . . 回顾回顾 思考思考6 6如：如：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一 腰上的高腰上的高腰上的高腰上的高. . . .如：如：三角形三条边的垂直平分线相交于一点三角形三条边的垂直平分线相交于一点三角形三条边的垂直平分线相交于一点三角形三条边的垂直平分线相交于一点, , , ,并且这一并且这一并且这一并且这一 点到三个顶点的距离相等点到三个顶点的距离相等点到三个顶点的距离相等点到三个顶点的距离相等. . . .如：如：如：如： 我能行不只是字面意义我能行不只是字面意义互逆定理互逆定理与与互逆命题互逆命题在什么情况下互逆的命题才是互逆的定理在什么情况下互逆的命题才是互逆的定理? ?你能说出一对互逆的命题吗你能说出一对互逆的命题吗? ?一个一个命题命题的的逆命题逆命题的真假性如何的真假性如何? ? 回顾回顾 思考思考7 7一个一个定理定理的的逆命题逆命题的真假性如何的真假性如何? ?它们的真假性如何它们的真假性如何? ?基基 本本 作作 图图作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段; ;已知三边已知三边已知三边已知三边, , , ,两边夹角两边夹角两边夹角两边夹角, , , ,两角夹边两角夹边两角夹边两角夹边, , , ,斜边直角边作三角形斜边直角边作三角形斜边直角边作三角形斜边直角边作三角形. . . .作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线; ;作已知角的平分线作已知角的平分线; ;作一个角等于已知角作一个角等于已知角; ;作图题的一般步骤作图题的一般步骤: : 已知已知, ,求作求作, ,分析分析, ,作法作法, ,证明证明, ,讨论讨论. .做一做做一做: : 任意画一个角任意画一个角, ,利用尺规将其利用尺规将其二二等分等分, ,四四等分等分. .作图题的要求作图题的要求: :能写出规范的作图步骤能写出规范的作图步骤. . 回顾回顾 思考思考8 8例例例例1:1:在在在在ABCABCABCABC中中中中,AB=2AC,AB=2AC,AB=2AC,AB=2AC,1=1=1=1=2,DA=DB2,DA=DB2,DA=DB2,DA=DB 求证求证求证求证:DC:DC:DC:DCACACACAC2 21 1ACE EF证明证明证明证明: :取取取取ABAB的中点的中点的中点的中点E,E,连结连结连结连结DEDEDA=DB,AE=BEDA=DB,AE=BEDA=DB,AE=BEDA=DB,AE=BEDEABDEABDEABDEAB( ( ( (等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一等腰三角形三线合一) ) ) )AB=2AC,EAB=2AC,EAB=2AC,EAB=2AC,E为为为为ABABABAB的中点的中点的中点的中点AE=ACAE=ACAE=ACAE=AC在在在在AEDAEDAEDAED和和和和ACDACDACDACD中中中中, , , ,AE=AC,1=2,AD=ADAE=AC,1=2,AD=ADAE=AC,1=2,AD=ADAE=AC,1=2,AD=ADAEDAEDAEDAEDACD(SAS)ACD(SAS)ACD(SAS)ACD(SAS)AED=ACD=90AED=ACD=90AED=ACD=90AED=ACD=900 0 0 0即即即即ACDCACDCACDCACDC或用延长法或用延长法:延长延长AC至至F使使CF=AC,连结连结DFDB2 21 1C 小试牛刀小试牛刀例例2:2:如图如图, ,ABC,ABC,CDECDE是等边三角形是等边三角形 (1)(1)求证求证:AE=BD:AE=BDA AB BC CD DE E(2)若若BD和和AC交于点交于点M,AE和和CD交于点交于点N, 求证求证:CM=CNMN(3)连结连结MN,猜想猜想MN与与BE的位置的位置 关系关系.并加以证明并加以证明思路探究思路探究思路探究思路探究: :通过证明三角形全等从而证明线段相等或角相等通过证明三角形全等从而证明线段相等或角相等通过证明三角形全等从而证明线段相等或角相等通过证明三角形全等从而证明线段相等或角相等, ,这是这是这是这是 一种常见的证明方法一种常见的证明方法一种常见的证明方法一种常见的证明方法. .本题我们应注意用到等边三角形本题我们应注意用到等边三角形本题我们应注意用到等边三角形本题我们应注意用到等边三角形 的性质以及平行法的判定方法的性质以及平行法的判定方法的性质以及平行法的判定方法的性质以及平行法的判定方法. .当图形较复杂时当图形较复杂时当图形较复杂时当图形较复杂时, ,注意注意注意注意 分清条件与图形中的对应关系分清条件与图形中的对应关系分清条件与图形中的对应关系分清条件与图形中的对应关系 学无止境学无止境 在在在在ABCABCABCABC中中中中,C=90,C=90,C=90,C=900 0 0 0,B=30,B=30,B=30,B=300 0 0 0,AD,AD,AD,AD是是是是BACBACBACBAC的平分线的平分线的平分线的平分线, , , ,已知已知已知已知 , , , ,求求求求ADADADAD的长的长的长的长. . . . ABCD解解: C=900, B=300, CAB=60 CAB=600 0 AD AD是角平分线是角平分线 CAD=30CAD=300 0设设CD=x,那么那么AD=2x，在，在RtACDACD中，中，ADAD2 2=CD=CD2 2+AC+AC2 2解得：解得：x=2 AD=4AD=4AD=4AD=4思路探究：本题综合运用了勾股定理，含思路探究：本题综合运用了勾股定理，含思路探究：本题综合运用了勾股定理，含思路探究：本题综合运用了勾股定理，含30300 0角的直角三角形性角的直角三角形性角的直角三角形性角的直角三角形性 质质质质. .它们都与直角有关它们都与直角有关它们都与直角有关它们都与直角有关, ,所以当问题中出现直角条件时所以当问题中出现直角条件时所以当问题中出现直角条件时所以当问题中出现直角条件时, , 要善于联想到这些性质要善于联想到这些性质要善于联想到这些性质要善于联想到这些性质. . 我我 能能 行行初初 露露 锋锋 芒芒提高证明能力的源泉提高证明能力的源泉1 1、已知、已知: :如图如图,D,E,F,D,E,F分别是分别是BC,CA,ABBC,CA,AB上的上的点点点点, , DEBA,DFCA.DEBA,DFCA. 求证求证: :FDE=A.FDE=A.A AB BC CD DE EF F 作业分析作业分析1 12 2、已知、已知: :如图如图, ,ADCB,AD=CBADCB,AD=CB. . 求证求证:ABCCDA.:ABCCDA.A AB BC CD D提高证明能力的源泉提高证明能力的源泉 作业分析作业分析2 23 3、已知、已知: :如图如图, ,AB=AC, ABD=ACEAB=AC, ABD=ACE. . 求证求证: :(1)OB=OC;(1)OB=OC; (2)BE=CD (2)BE=CD. .A AB BC CE ED DOO提高证明能力的源泉提高证明能力的源泉 作业分析作业分析3 34 4、已知、已知: :如图如图,BD,CE,BD,CE是是ABCABC的高的高, ,且且BD=CE.BD=CE. 求证求证:ABC:ABC是等腰三角形是等腰三角形. .提高证明能力的源泉提高证明能力的源泉 作业分析作业分析4 45 5、已知、已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中, A,B,C, A,B,C的的 度数之比是度数之比是123 ,123 , . . 求求: :ACAC的长的长. .提高证明能力的源泉提高证明能力的源泉 作业分析作业分析5 56 6、已知、已知: :如图如图,ANOB,BMOA,ANOB,BMOA,垂足分别为垂足分别为 N,M,N,M,且且OM=ON.OM=ON. 求证求证: :PM=PN.PM=PN.提高证明能力的源泉提高证明能力的源泉 作业分析作业分析6 67 7、已知、已知: :如图如图, ,MNMN是线段是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线, ,C,DC,D 是是MNMN上的点上的点. . 求证求证: : (1) (1)ABC,ABDABC,ABD是等腰三角形是等腰三角形; ; (2) (2)CAD=CBDCAD=CBD. .提高证明能力的源泉提高证明能力的源泉 作业分析作业分析7 78 8、任意作一个钝角、任意作一个钝角, ,求作它的角平分线求作它的角平分线. .提高证明能力的源泉提高证明能力的源泉 作业分析作业分析8 89 9、已知线段、已知线段a,a, 求作：以求作：以a a为底为底, ,以以2a2a为高的等腰三角形为高的等腰三角形. .提高证明能力的源泉提高证明能力的源泉 作业分析作业分析9 9作业作业、基础作业：、基础作业： 完成相关习题完成相关习题 2 2、预习作业、预习作业： 第二单元第二单元 不等式不等式