优秀学习资料欢迎下载十字相乘法分解二次三项式因式总结知识归纳对于首项系数是1 的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式xab xabxaxb2()进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。对于二次三项axbxc2（ a、b、c 都是整数， 且a0）来说，如果存在四个整数acac1122，满足a aac cc1212，并且a ca cb1221，那么二次三项式axbxc2即a a xa ca c xc c122122112可以分解为a xca xc1122。这里要确定四个常数acac1122，分析和尝试都要比首项系数是1 的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。 1. 在方程、不等式中的应用例 1.已知：xx211240，求 x 的取值范围。分析： 本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。解：xx211240xxxxxxxx3803080308083或或例 2.如果xxmxmx43222能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。分析： 应当把x4分成xx22，而对于常数项-2 ，可能分解成12，或者分解成21，由此分为两种情况进行讨论。解： （ 1）设原式分解为xaxxbx2212，其中 a、b 为整数，去括号，得：xab xxab x43222将它与原式的各项系数进行对比，得：abmabm1122，解得：abm101，此时，原式xxx2221（2）设原式分解为xcxxdx2221，其中 c、d 为整数，去括号，得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载xcd xxcd x43222将它与原式的各项系数进行对比，得：cdmcdm1122，解得：cdm011，此时，原式xxx2221 2. 在几何学中的应用例.已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足xyxxyy22220，求长方形的面积。分析： 要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。解：xyxxyy22220xxyyxyxyxyxyxy22222020210()xy20或xy10又xy8xyxyxyxy208108或解得：xy53或xy3545.长方形的面积为15cm2或6342cm 4. 在代数证明题中的应用例. 证明：若4xy是 7 的倍数，其中x，y 都是整数，则810322xxyy是 49 的倍数。分析： 要证明原式是49 的倍数，必将原式分解成49 与一个整数的乘积的形式。证明一：810323422xxyyxyxy2 234647xyxyxyy4xy是 7 的倍数， 7y 也是 7 的倍数（ y 是整数）2 23xy是 7 的倍数而 2 与 7 互质，因此，23xy是 7 的倍数，所以810322xxyy是 49 的倍数。证明二： 4xy是 7 的倍数，设47xym（m是整数）则yxm47精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载又810323422xxyyxyxy21221447714214923xxmxxmmxmmxmx，m是整数，mxm23也是整数所以，810322xxyy是 49 的倍数。中考点拨例 1. （2000湖北）把22224954yyxyx分解因式的结果是_。解：22224954yyxyxyxxyxxyxxx242222224594911 23 23说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。例 2. （2000甘肃）因式分解：6752xx_ 解：67521 352xxxx说明 ：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。题型展示例 1.若xymxy2256能分解为两个一次因式的积，则m的值为（） A. 1 B. -1 C. 1D. 2 解：xymxyxyxymxy225656 -6可分解成23或32，因此，存在两种情况：（1）x + y-2（ 2）x + y-3 x-y3x-y2由（ 1）可得：m1，由（ 1）可得：m1故选择 C。说明 ：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载例 2. 已知： a、b、c 为互不相等的数，且满足acba cb24。求证：abbc证明：acba cb24acba cbaaccbcacabbacb acbacbacbabbc2222222402444404402020说明 ：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。例 3.若xxxa3257有一因式x1。求 a，并将原式因式分解。解：xxxa3257有一因式x1当x10，即x1时，xxxa32570a3xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxx3232222257344331413114311313说明 ：由条件知，x1时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是x1，分解时尽量出现x1，从而分解彻底。实战模拟1. 分解因式：（1）a bab221639（2）15742122xx yynnnn（3）xxxx222322372精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载 2. 在 多 项 式xxxxxxxxx123232123222， 哪 些 是 多 项 式xxxx242221029的因式？ 3. 已知多项式21332xxxk有一个因式，求k 的值，并把原式分解因式。 4. 分解因式：3529422xxyyxy；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载 5. 已知：xyxy05312.，求312922xxyy的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载试题答案1. （1）解： 原式abababab21639313（2）解： 原式35411xyxynnnn（3）解： 原式xxxxxxxx223431841632. 解：xxxx242221029xxxxxxxxxxxxxxxxxxx222222222222921232321212331121其中xxxxxx13232122，是多项式xxxx242221029的因式。说明：先正确分解，再判断。3. 解： 设21321322xxxkxxaxb则21322123232xxxkxaxab xb211213aabbk解得：abk166k6且21362162132322xxxxxxxxx说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。4. 解： 简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。设3529422xxyyxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载323523222xym xynxxyymn xmn ymn比较同类项系数，得：mnmnmn31294解得：mn4135294342122xxyyxyxyxy5. 解：312922xxyy3433322xxyyxyxyxyxy0531230 51218.，原式说明：用因式分解可简化计算。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页