广东中考数学试题分类解析汇编专题 5：数量和位置变化一、选择题1. （ 2012 广东佛山3 分）在平面直角坐标系中，点 M（ 3，2）关于 x 轴对称的点在 【】A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】 C。【考点】 关于 x 轴对称的点的坐标特征，平面直角坐标系中各象限点的特征。【分析】 关于 x 轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点 M（ 3，2）关于 x 轴对称的点的坐标是（3， 2） 。根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限， 四个象限的符号特征分别是：第一象限（，） ；第二象限（，） ；第三象限（，） ；第四象限（，） 。故点（ 3， 2）位于第三象限。故选 C。2.（2012 广东广州3 分） 将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为【】Ay=x21By=x2+1Cy=（x1）2Dy=（x+1）2【答案】 A。【考点】 二次函数图象与平移变换。【分析】 根据平移变化的规律，左右平移只改变横坐标，左减右加。 上下平移只改变纵坐标，下减上加。因此，将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为： y=x21。故选 A。3. （2012 广东深圳3 分） 已知点 P(al，2a 3)关于 x 轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是【】A.a1B.31a2C.3a12D.3a2【答案】 B。【考点】 关于 x 轴对称的点的坐标，一元一次不等式组的应用。【分析】 根据 “ 关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数” ，再根据各象限内的点的坐标的特点列出不等式组求解即可：点 P（a1，2a3）关于 x 轴的对称点在第一象限，点P在第四象限。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页a+102a30。解不等式得，a 1，解不等式得，a32，所以，不等式组的解集是1a32。故选 B。二、填空题1. （2012 广东珠海4 分） 如图，矩形OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴、 y 轴正半轴上， B点坐标为（ 3，2） ，OB 与 AC 交于点 P，D、E、 F、G 分别是线段OP、AP、BP、CP 的中点，则四边形DEFG 的周长为 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页【答案】 5。【考点】 坐标与图形性质，矩形的性质，三角形中位线定理。【分析】 根据题意，由B 点坐标知OA=BC=3 ， AB=OC=2 ；根据三角形中位线定理可求四边形 DEFG 的各边长度，从而求周长：四边形OABC 是矩形， OA=BC ，AB=OC ， BA OA，BCOC。B 点坐标为（ 3，2） ， OA=3 ，AB=2 。D、E、F、G 分别是线段OP、AP、BP、CP 的中点， DE=GF=1.5 ； EF=DG=1 。四边形DEFG 的周长为（1.5+1） 2=5。三、解答题1. （2012 广东佛山10 分） 规律是数学研究的重要内容之一初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号(数)及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：(1)写出奇数a用整数 n 表示的式子；(2)写出有理数b 用整数 m 和整数 n 表示的式子；(3)函数的研究中，应关注y 随 x 变化而变化的数值规律(课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律)下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：xi0 1 2 3 4 5 . yi0 1 4 9 16 25 . yi+1yi1 3 5 7 9 11 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页由表看出，当x 的取值从0 开始每增加1 个单位时， y 的值依次增加1，3，5. 请回答：当 x 的取值从 0 开始每增加12个单位时， y 的值变化规律是什么？当 x 的取值从 0 开始每增加1n个单位时， y 的值变化规律是什么？【答案】 解： （1） n 是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1。（2）有理数b=mn（n0 ） 。（3）当 x 的取值从0 开始每增加12个单位时，列表如下：故当 x 的取值从0 开始每增加12个单位时， y 的值依次增加14、34、542i14。当 x 的取值从0 开始每增加1n个单位时，列表如下：xi0 121 322 52. yi0 141 944 254. yi+1yi1434547494114. xi0 1n2n3n4n5n. yi0 21n24n29n216n225n. yi+1yi21n23n25n27n29n211n. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页故当 x 的取值从0 开始每增加1n个单位时， y 的值依次增加21n、23n、25n22i1n。【考点】 分类归纳（数字的变化类），二次函数的性质，实数。【分析】（1）n 是任意整数，偶数是能被2 整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差 1，所以奇数可以表示为2n+1。（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案。（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y 随着 x 的变化而变化的规律。2. （2012 广东梅州7 分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，AOB 的顶点均在格点上，点 A、B 的坐标分别是A（3，2） 、B（1，3） AOB 绕点 O 逆时针旋转90 后得到A1OB1 （直接填写答案）（1）点 A 关于点 O 中心对称的点的坐标为；（2）点 A1的坐标为；（3）在旋转过程中，点B 经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为【答案】 解：（ 1）（ 3， 2）。（2） （ 2，3）。（3）102。【考点】 坐标与图形的旋转变化，关于原点对称的点的坐标特征，弧长的计算。【分析】 （1）根据关于坐标原点成中心对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数的性质即可得。（2）根据平面直角坐标系写出即可。（3）先利用勾股定理求出OB 的长度， 然后根据弧长公式列式进行计算即可得解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页根据勾股定理，得22OB1 +3 = 10，弧 BB1的长 =90010=1802。3. （2012 广东梅州11 分）如图，矩形OABC 中， A（6，0） 、C（0，2） 、D（ 0，3） ，射线 l 过点 D 且与 x 轴平行，点P、Q 分别是 l 和 x 轴正半轴上动点，满足PQO=60 （1） 点 B 的坐标是； CAO=度； 当点 Q与点 A 重合时，点 P的坐标为；（直接写出答案）（2）设 OA 的中心为 N，PQ 与线段 AC 相交于点M，是否存在点P，使 AMN 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的横坐标为m；若不存在，请说明理由（3）设点 P的横坐标为x， OPQ 与矩形 OABC 的重叠部分的面积为S，试求 S 与 x 的函数关系式和相应的自变量x 的取值范围【答案】 解： （1）（ 6， 23） 。30。（ 3，33） 。（2）存在。 m=0 或 m=33或 m=2。（3）当 0 x3时，如图 1，OI=x，IQ=PI?tan60 =3 ，OQ=OI+IQ=3+x ；由题意可知直线lBCOA ，可得EFPEDC31=OQPODO33 3， EF=13（3+x） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页此时重叠部分是梯形，其面积为：EFQO14 34 3SSEFOQOC3xx4 3233梯形（）（）=当 3 x5时，如图 2，HAQEFQOEFQO221SSSSAH AQ24 33313 33x4 3x3xx32232=梯形梯形。当 5 x9时，如图 3，12SBEOAOC3 12x2323=x12 33（）（）。当 x 9 时，如图 4，1118 354 3SOAAH6=22xx。综上所述， S 与 x 的函数关系式为：24 3x4 3 0x33313 33xx3x5232S2 3x12 3 5x9354 3x9x。【考点】 矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。【分析】（1）由四边形OABC 是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B 的坐标：四边形OABC 是矩形， AB=OC ，OA=BC ，A（6，0） 、C（0，23） ，点 B 的坐标为：（6，23） 。由正切函数，即可求得CAO 的度数：OC2 33tan CAO=OA63， CAO=30 。由三角函数的性质，即可求得点P 的坐标；如图：当点Q 与点 A 重合时，过点 P 作 PEOA 于 E，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页 PQO=60 ，D（0，33） ， PE=33。0PEAE3tan60。OE=OA AE=6 3=3，点 P的坐标为（ 3，33） 。（2）分别从MN=AN ，AM=AN与 AM=MN去分析求解即可求得答案：情况： MN=AN=3 ，则 AMN= MAN=30 ， MNO=60 。 PQO=60 ，即 MQO=60 ，点 N 与 Q 重合。点 P 与 D 重合。此时m=0。情况，如图AM=AN ，作 MJx 轴、 PIx 轴。MJ=MQ?sin60 =AQ?sin600 3OAIQOIsin603m2（）（）又113MJAM=AN=222，333m22（）=，解得： m=33。情况 AM=NM ，此时 M 的横坐标是4.5，过点 P 作 PKOA 于 K，过点 M 作 MGOA 于 G，MG=32。00PK3 3MG1QK3GQ2tan603tan60，。KG=3 0.5=2.5，AG= 12AN=1.5 。 OK=2 。 m=2。综上所述，点P的横坐标为m=0 或 m=33或 m=2。（3）分别从当0x3 时，当 3x5 时，当 5x9 时，当 x9 时去分析求解即可求得答案。4. （2012 广东汕头12 分） 如图，抛物线213y=xx922与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点 C，连接 BC、AC （1）求 AB 和 OC 的长；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页（2）点 E 从点 A 出发，沿x 轴向点 B 运动（点E 与点 A、B 不重合），过点 E 作直线 l 平行 BC，交 AC 于点 D设 AE 的长为 m， ADE 的面积为s，求 s 关于 m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（ 2）的条件下，连接CE，求 CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留 ） 【答案】 解： （1）在213y=xx922中，令 x=0，得 y= 9， C（0， 9） ；令 y=0，即213xx9=022，解得： x1=3，x2=6，A（ 3，0） 、B（ 6，0） 。AB=9 ， OC=9。（2） EDBC， AED ABC ， 2AEDABCSAESAB， 即：2sm199 92。s=12m2（0 m 9） 。（3） SAEC=12AE?OC=92m，SAED=s=12m2，SEDC=SAEC SAED =12m2+92m=12（m92）2+818。 CDE 的最大面积为818，此时， AE=m=92，BE=AB AE=92。又22BC6 +9 =3 13，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页过 E 作 EFBC 于 F，则 RtBEFRtBCO，得：EFBEOCBC，即：9EF293 13。27EF1326。以 E 点为圆心，与BC 相切的圆的面积SE= ?EF2=72952。【考点】 二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定 C 点坐标；当y=0 时，可确定A、B 点的坐标，从而确定AB、OC 的长。（2）直线 lBC，可得出 AED ABC ，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m 的函数关系式；根据题目条件：点E 与点 A、B 不重合，可确定m 的取值范围。（3）首先用m 列出 AEC 的面积表达式，AEC 、 AED 的面积差即为CDE的面积， 由此可得关于SCDE关于 m 的函数关系式， 根据函数的性质可得到SCDE的最大面积以及此时m 的值。过 E做 BC 的垂线 EF ，这个垂线段的长即为与BC 相切的 E 的半径，可根据相似三角形 BEF 、 BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。5. （2012 广东深圳9 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y= 2xb (b 0)的位置随b的不同取值而变化(1)已知 M 的圆心坐标为 (4， 2)，半径为 2当 b=时，直线l：y=2xb (b 0)经过圆心M：当 b=时，直线l：y=2xb(b 0)与 OM 相切：(2)若把 M 换成矩形ABCD ，其三个顶点坐标分别为：A(2 ，0)、B（6，0） 、C(6，2). 设直线l扫过矩形ABCD 的面积为 S，当 b 由小到大变化时，请求出 S与 b 的函数关系式，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页【答案】 解： （1） 10；102 5。（2）由 A(2，0)、B（6，0）、 C(6，2)，根据矩形的性质，得D（2，2）。如图，当直线l经过 A(2，0)时， b=4；当直线l经过 D（2，2）时， b=6；当直线l经过 B（6，0）时， b=12；当直线l经过 C(6，2)时， b=14。当 0b4 时，直线l扫过矩形ABCD的面积 S为 0。当 4b6 时，直线l扫过矩形ABCD的面积 S为 EFA的面积（如图1），在 y=2xb 中，令 x=2，得 y= 4b，则 E （2，4b），令 y=0，即 2x b=0，解得 x=1b2，则 F（1b2， 0）。AF=1b22， AE=4b。S=21111AF AEb24bb2b+42224 。当 6b12时，直线l扫过矩形ABCD的面积S为直角梯形DHGA的面积（如图2），在 y=2xb 中，令 y=0，得 x=1b2，则 G（1b2， 0），令 y=2，即 2x b=2，解得 x=1b12，则 H（1b12， 2）。DH=1b32，AG=1b22。AD=2 S=11DH+AGADb52b522。当 12b14时，直线l扫过矩形ABCD的面积 S为五边形 DMNBA 的面积 =矩形 ABCD的面积 CMN 的面积（如图2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页在 y=2xb 中，令 y=2，即 2xb=2，解得 x=1b12，则 M（1b12，0），令 x=6，得 y=12b，则 N（6， 12 b）。MC=17b2，NC=14b。S=211114 2MC NC87b14bb +7b412224。当 b14 时，直线l扫过矩形ABCD的面积 S为矩形 ABCD的面积，面积为民 8。综上所述。 S与 b 的函数关系式为：220 0b41b2b+4 4b64Sb5 6b11b +7b41 12b1448 b14。【考点】 直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法， 曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。【分析】（1）直线y=2xb (b 0) 经过圆心M(4 ，2)， 2=2 4b，解得 b=10。如图，作点M 垂直于直线y=2xb 于点 P，过点P 作 PHx 轴，过点M 作 MH PH，二者交于点H。设直线y=2x b 与 x， y 轴分别交于点A，B。则由 OAB HMP，得MHAO1PHOB2。可设直线MP 的解析式为11yxb2。由 M(4 ，2)，得1124b2，解得1b0。直线MP 的解析式为1yx2。联立 y= 2xb 和1yx2，解得21x=b, yb55。P（21b,b55） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页由 PM=2 ，勾股定理得，2221b+b455-4-2，化简得24b20b+80=0-。解得b=102 5。（2）求出直线l经过点 A、B、C、D 四点时 b 的值，从而分 0b4 ，4b6 ，6b12 ，12 b 14 ，b14 五种情况分别讨论即可。6. （2012 广东湛江12 分） 如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB 的顶点 A、B 分别落在坐标轴上O 为原点，点A 的坐标为（ 6，0） ，点 B 的坐标为（ 0，8） 动点 M 从点O 出发沿OA 向终点 A 以每秒 1 个单位的速度运动，同时动点N 从点 A 出发，沿AB 向终点 B 以每秒个单位的速度运动当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点 M、N 运动的时间为t 秒（ t0） （1）当 t=3 秒时直接写出点N 的坐标，并求出经过O、 A、 N 三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，MNA 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当 t 为何值时，MNA 是一个等腰三角形？【答案】 解： （1） N（3，4） 。A（ 6，0）可设经过O、A、N 三点的抛物线的解析式为：y=ax（x6） ，则将 N（3，4）代入得4=3a（36） ，解得 a=49。抛物线的解析式：2448yxx6x +x993（）。（2）存在。过点N 作 NCOA 于 C，由题意， AN=53t，AM=OA OM=6 t，NC=NA?sin BAO=544t=t353。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页2MNA1142SAMNC6ttt362233（）（）。 MNA 的面积有最大值，且最大值为6。（3）在 Rt NCA 中， AN=53t， NC=AN?sin BAO=544t=t353，AC=AN?cos BAO=t 。OC=OA AC=6 t。 N（ 6t，4t3） 。222452NM6tt+tt24t+3639。又 AM=6 t 且 0t6，当 MN=AN时，2525t24t+36=t93，即 t28t+12=0，解得 t1=2，t2=6 （舍去） 。当 MN=MA时，252t24t+36=6t9，即243t12t=09，解得 t1=0（舍去） ，t2=10843。当 AM=AN时， 6t=53t，即 t=94。综上所述，当t 的值取2 或10843或94时， MAN 是等腰三角形。【考点】 二次函数综合题，动点问题，勾股定理，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，二次函数的最值，等腰三角形的性质。【分析】 （1）由 A、B的坐标，可得到OA=6，OB=8，根据勾股定理可得AB=10。当 t=3 时， AN=53t=5=12AB，即 N 是 AB的中点，由此得到点N 的坐标 N（3，4）。利用待定系数法，设交点式求出抛物线的解析式。（2） MNA 中，过 N 作 MA 边上的高NC，先由 BAO 的正弦值求出NC 的表达式，而 AM=OA-OM，由三角形的面积公式可得到关于SMNA关于 t 的函数关系式，由二次函数的最值原理即可求出MNA 的最大面积。（3）首先求出N 点的坐标，然后表示出AM 、MN 、AN 三边的长。由于MNA 的腰和底不确定，若该三角形是等腰三角形，可分三种情况讨论：MN=NA 、 MN=MA 、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页NA=MA ；直接根据等量关系列方程求解即可。7. （2012 广东珠海9 分） 如图，在等腰梯形ABCD 中， ABDC ，AB=32，DC=2，高CE=22，对角线 AC、BD 交于 H，平行于线段BD 的两条直线MN 、RQ 同时从点A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速平移，分别交等腰梯形ABCD 的边于 M、N 和 R、Q，分别交对角线 AC 于 F、G；当直线 RQ 到达点 C 时，两直线同时停止移动记等腰梯形ABCD 被直线MN 扫过的图形面积为S1、被直线RQ 扫过的图形面积为S2，若直线MN 平移的速度为1单位 /秒，直线 RQ 平移的速度为2 单位 /秒，设两直线移动的时间为x 秒（1）填空： AHB=；AC=；（2）若 S2=3S1，求 x；（3）设 S2=mS1，求 m 的变化范围【答案】 解： （1） 90 ；4。（2）直线移动有两种情况：0x32及32 x2。当 0x32时， MN BD ， AMN ARQ 。直线 MN 平移的速度为1 单位 /秒，直线RQ 平移的速度为2 单位 /秒， AMN 和 ARQ 的相似比为1：2。221S24S1。 S2=4S1，与题设S2=3S1矛盾。当 0x32时，不存在x 使 S2=3S1。当32 x2时，ABCD， ABH CDH 。 CH：AH=CD ：AB=DH ：BH=1 ：3。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页 CH=DH=14AC=1 ，AH BH=4 1=3。 CG=42x，ACBD ， SBCD=12 4 1=2 RQBD ， CRQ CDB 。22CRQ42xS2=8 2x1。又ABCDABD1111SABCDCE3 22 2 28SAB CE3 2 2 262222梯形（）（）， MNBD ， AMN ADB 。221ABDSAFxSAH9， S1=23x2， S2=88（2x）2。 S2=3S1， 88（ 2x）2=323x2，解得： x1=6253（舍去），x2=2。 x 的值为 2。（ 3）由（ 2）得：当0x32时， m=4，当32 x2时， S2=mS1，22222188 2xS364812m=+12=36+42Sxx3xx3。 m 是1x的二次函数，当32 x2时，即当1122x3时， m 随1x的增大而增大，当 x=32时， m 最大，最大值为4；当 x=2 时， m 最小，最小值为3。 m 的变化范围为：3m 4 。【考点】 相似三角形的判定和性质，平移的性质，二次函数的最值，等腰梯形的性质。【分析】（1）过点 C 作 CK BD 交 AB 的延长线于K，CDAB ，四边形DBKC 是平行四边形。BK=CD=2，CK=BD 。AK=AB+BK=3 2+2=42。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页四边形 ABCD 是等腰梯形，BD=AC 。AC=CK 。 AE=EK=12AK=22=CE。CE 是高， K= KCE= ACE= CAE=45 。 ACK=90 。 AHB= ACK=90 AC=AK?cos45 =24 242。（2）直线移动有两种情况：0x32及32 x2；然后分别从这两种情况分析求解：当0x32时，易得S2=4S1 3S1 ；当32 x2 时，根据相似三角形的性质与直角三角形的面积的求解方法，可求得BCD 与 CRQ 的面积，继而可求得S2与 S1的值，由S2=3S1，即可求得 x 的值；（ 3） 由 （2） 可得当 0x32时，m=4； 当32 x2时，可得222188 2xSm=2Sx3，化为关于1x的二次函数212m=36+4x3，利用二次函数的性质求得m 的变化范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页