必修 1 数学知识点第一章、集合与函数概念1.1.1、集合1、 把研究的对象统称为元素 ，把一些元素组成的总体叫做集合 。集合三要素：确定性、互异性、无序性 。2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等 。注：证明两个集合相等：有限集：元素个数相等，对应元素相同。无限集：代表元素一致，满足条件一致。3、 常见集合： 正整数集合 ：*N或N，整数集合 ：Z，有理数集合 ：Q，实数集合 ：R. 注：判断元素与集合关系(或) ：明确元素的特征及集合的性质（关键是判断集合中所有元素的共同特征，看此元素是否具有此特征。）4、集合的表示方法：列举法、描述法、venn 图法、区间法、自然语言法。1.1.2、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合 A 是集合 B 的子集 。记作BA. 2、若集合BA，但存在元素Bx，且Ax，则称集合A 是集合 B 的真子集 . 记作： A B. 3、把不含任何元素的集合叫做空集 .记作：.并规定：空集合是任何集合的子集。4、如果集合A中含有 n 个元素，则集合A有n2个子集，有12n个真子集。注：求得集合中的参数后，要把参数代回检验，看是否满足元素的互异性。确定两集合关系：、一一列举观察（互异性）、集合元素特征法（用不等式、数轴表示的，注意端点）、数形结合法 （数轴， venn 图，对子轴是否为空集进行分类讨论）1.1.3、集合间的基本运算1、由所有属于集合A或集合 B的元素组成的集合，称为集合A与 B的并集 . 记作：BA. 2、由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与 B的交集 . 记作：BA. 3、全集、补集|,UC Ax xUxU且正难则反，间接化原则注：若ABA,则AB；若ABA,则BA；若UBABA,(U为全集 )，则BCAACBUU,. 1.2.1、函数的概念1、 设 A、 B是非空的数集， 如果按照某种确定的对应关系f， 使对于集合A中的任意一个数x，在集合 B中都有惟一确定的数xf和它对应，那么就称BAf :为集合 A到集合 B的一个 函数 ，记作：Axxfy,. 注：判断两个变量是否具有函数关系：看自变量和对应关系是否确定；函数图像是否是只对应一个函数值。2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域. 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. 3、 区间：区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；无穷区间：区间的数轴表示：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 34 页注：区间是集合；区间的左端点必须小于右端点；区间中的元素都是数轴上的点，可以用数字表示；任何区间都可在数轴上表示出来；以“” 、 “”为区间的一端时，这一端必须是小括号。4、定义域、值域表示方法：不等式法，集合表示法，区间表示法。1.2.2、函数的表示法 1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 2、求函数定义域：列表法：自变量所有取值；图象法：横轴取值范围；解析式法：函数有意义分式函数的分母不为零；偶次根式函数的被开方式的值不小于零；整式的定义域为全体实数；函数 f(x)=x0的定义域为（，0）（ 0，+） ；组合函数的定义域是各个函数定义域的交集。实际问题中或几何问题应考虑实际或几何意义；复合函数的定义域：y=f (g(x)，设 y=f (u)、u=g(x)则()?() ?( ),( ),ug xMxxNug xf uuMfg xxN已知( )f x的定义域,a b，复合函数( )f g x的定义域应由( )ag xb解出求定义域一般是解不等式（组）；含参数问题要分类讨论；研究函数必须遵循“定义域优先”原则。3、求函数值域：列表法：表格中实数y 的集合；图象法：图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；解析式法：由函数的定义域及其对应法则唯一确定观察法（直接法） ：利用常见函数的值域来求；配方法：转化为),(,)(2nmxcbxaxxf；数形结合法：|1|4 |yxx；换元法（代数换元、三角换元）：yaxbcxd；判别式法：分离常数法（或反函数法）：型如),(,nmxdcxbaxy；单调性法：有界性法：基本不等式法：转化为)0(kxkxy；导数法。实际问题中由问题的实际意义确定；4、求函数解析式：直接代入法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 34 页待定系数法：如一次函数满足3(1)2(1)217f xf xx换元法：如2(1)lgfxx观察法（配凑法） ：如3311()f xxxx方程的思想：如12 ( )( )3f xfxx特殊值法：5、作函数图象步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；列表 -描点连线，画出函数的图象。分段函数：定义：在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数。分段函数是一个函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集。绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数。分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、 值域或最值 , 讨论奇偶性单调性等。求解析式时，求哪段设哪段。处理方法 : 分段研究。1.3.1、单调性与最大（小）值1、单调性增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量 x1， x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间 D 上是增函数；减函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量 x1， x2，当 x1f(x2)，那么就说f(x)在区间 D 上是减函数；单调区间：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做 y=f(x)的单调区间。判断函数单调性：定义（作差比较和作商比较）；数形结合；熟悉的函数直接下结论；导数法（适用于多项式函数）；复合函数同增异减：设复合函数y= fg(x)，其中 u=g(x) , A 是 y= fg(x)定义域的某个区间， B 是映射 g :xu=g(x) 的象集： 、若 u=g(x) 在 A 上是增 （或减） 函数，y= f(u)在 B 上也是增（或减）函数，则函数 y= fg( x)在 A 上是增函数； 、 若 u=g(x) 在 A 上是增（或减）函数，而y= f(u)在 B 上是减（或增）函数，则函数y= fg(x) 在 A 上是减函数。构造法：)()()(yfxfyxf；)()()(yfxfyxf；)()()(yfxfxyf.证明（利用定义）函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： 设元：任取x1，x2D，且 x1x2；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 34 页 作差： f(x1)f(x2)； 变形：通常是因式分解和配方； 定号：即判断差f(x1)f(x2)的正负； 下结论：即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性。作用：比较大小，证明不等式，解不等式注：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；说明单调性时必须指明单调区间；若)0()(axaxxf，则函数)(xf在, 0(a 上为减函数， 在),a上为增函数；必须是对于区间D 内的任意两个自变量x1，x2；当 x1x2时，总有f(x1)f(x2)；函数单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，他的函数值是唯一确定的常数，不存在单调性问题，故闭区间上的连续函数的单调区间包括不包括端点都可，但不连续函数的单调区间一定不包括不连续点。若一个函数的单调区间由多个组成，各区间之间应用逗号或者“和”隔开，而不是用“并集”符号连接。在公共定义域内：增+增=增；减 +减=减。2、最大（小）值最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得 f(x0) = M 。那么，称M 是函数 y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：对于任意的xI，都有 f(x)M；存在x0I，使得 f(x0) = M 。那么，称M 是函数 y=f(x)的最大值。求函数的最大（小）值的方法：配方法：利用二次函数的性质求函数的最值；图象法：函数单调性：如果函数y=f(x)在区间 a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减，则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间 a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，则函数y=f(x)在 x=b 处有最小值f(b)；不等式法：求函数值域：实际问题的实际背景。注：若函数)(xfy在区间ba,上是连续不断的，在区间ba,上的最大值和最小值分别为mM ,，若1x，2xba,，则mMxfxf|)()(|21. 定轴动区间；定轴定区间；动轴定区间；1.3.2、奇偶性1、偶函数：一般地，若对于函数f(x)定义域内的任意x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。奇函数：一般地，若对于函数f(x)定义域内的任意x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)为奇函数。2、利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 34 页首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定 f(x)与 f(x)的关系；作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(x) =f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。注：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；具有奇偶性的函数定义域关于原点对称。图象的对称性质：奇函数图象关于原点成中心对称图形，反之亦然；偶函数图象关于y轴成轴对称图形，反之亦然；如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数（0)(xf） ；奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；若函数)(xfy为奇函数，且在0x处有意义，则必有0)0(f；若函数)(xfy为奇函数，则0)()(minmaxxfxf，0)(dxxfaa；若函数)(xfy为偶函数，则|)(|)(xfxf；奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数；设( )f x，( )g x的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶 +偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇第二章、基本初等函数（）2.1.1、指数与指数幂的运算1、定义：一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根。其中Nnn, 1. 1）当n为奇数时，na的次方根记作na；2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作)0(aan。2、性质： 1）aann)(；2）当n为奇数时，aann；当n为偶数时，aann. 3、我们规定：mnmnaa1,0*mNnma；01naann；4、 运算性质：Qsraaaasrsr,0；Qsraaarssr, 0；Qrbabaabrrr,0,0. 注：同底的两个指数式相等，当且仅当指数相等。2.1.2、指数函数及其性质1、定义：函数)1,0(aaayx且称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为),0(；3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数。2、函数图像：)1,0(aaayx且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 34 页1）指数函数的图象都经过点（0，1） ，且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x轴为渐近线（当10a时，图象向右无限接近x轴，当1a时，图象向左无限接近x轴） ；3）1a时，a越大图像在第一象限内越靠近y轴；10a时，a越小图像在第二象限内越靠近y轴；4）对于相同的) 1,0(aaa且，函数xxayay与的图象关于y轴对称。3、作用1）比较大小（函数单调性，中间值法）同底的可用单调性法同指不同底，可用图像变化规律来判断指底都不同，通过中间值三个或三个以上的，先根据特殊值0，1 分组，再比较各组数的大小2）解不等式3）解指数方程4）解决过定点问题2.2.1、对数与对数运算1、对数的概念：一般地，如果)1, 0(aaNax,那么x叫做以a为底N的对数 ,记)1,0(logaaNxa2、对数的性质：xNNaaxlog；负数和零没有对数；01loga，1logaa；)0, 1,0(logNaaNaNa；) 1,0(logaanana；) 1,0, 1,0(1loglogbbaaabba；abbalog1log1,0, 1,0bbaa. 3、对数的运算性质：当0,0,1,0NMaa时：NMMNaaalogloglog；NMNMaaalogloglog；MnManaloglog；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 34 页bmnbanamloglog. 4、对数换底公式：abbccalogloglog0,1,0, 1,0bccaa. 注：同底的两个对数式相等，当且仅当真数相等。2.2.2、对数函数及其性质1、定义：函数)1, 0(logaaxya且称对数函数，1）函数的定义域为),0(； 2）函数的值域为R；3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数；4）对数函数xyalog与指数函数) 1,0(aaayx且互为反函数。2、函数图像：1,0logaaxya1）对数函数的图象都经过点（1，0） ，且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y轴为渐近线（10a时，图象向上无限接近y轴；1a时，图象向下无限接近y轴） ；3）1a时，a越大图像在第一象限内越靠近x轴；10a时，a越小图像在第四象限内越靠近x轴；4）1a时，若真数相同，则底数越大，其值越小；10a时，若真数相同，则底数越大，其值越小；5）对于相同的) 1,0(aaa且，函数xyxyaa1loglog与的图象关于x轴对称。3、作用1）求函数定义域2）比较大小（函数单调性，中间值法）同底（常数）的可用单调性法同底（字母）按照单调性分类讨论同真不同底，可用图像变化规律来判断或利用换底公式真数，底数都不同，通过中间值0，1，-1 分组，再比较各组数的大小3）解或证明不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 34 页4）解对数方程（按照单调性去掉对数符号时，要保证真数大于0）5）解决过定点问题6）求单调区间7）闭区间上的最值问题4、反函数1）概念：设函数)( xfy的定义域为A，值域为C，由)(xfy求出yx，若对于C 中的每一个值y ，在 A 中都有唯一的一个值和它对应，那么yx叫以 y 为自变量的函数，这个函数yx叫函数)(xfy的反函数，记作yfx1，通常情况下，一般用x表示自变量，所以记作xfy1。注：只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2）求反函数的步骤（1）解关于x的方程)(xfy，达到以y 表示x的目的；（2）把第一步得到的式子中的x换成 y ， y 换成x；（3）求出并说明反函数的定义域（即函数)(xfy的值域）。3）关于反函数的性质（1）)(xfy和xfy1的图象关于直线xy对称；（2）)(xfy和xfy1在相对应区间上具有相同的单调性；（3）)(xfy和yfx1互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同；（4）已知)( xfy，求)(1af，可利用axf)(，从中求出x，即是)(1af；（5）xxff)(1; （6）若点),(baP在)(xfy的图象上，又在xfy1的图象上，则),(abP在)(xfy的图象上；（7）证明)(xfy的图象关于直线xy对称， 只需证)(xfy反函数和)( xfy相同。2.3、幂函数1、一般地，函数xy叫做幂函数。2、几种幂函数的图象：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 34 页1）所有幂函数在,0上都有定义，并且图像都过点1 , 1；2）当0时，幂函数的图象还过0 ,0，并且在区间,0上都是增函数；当0时，幂函数在区间,0上是减函数，图象不过0,0；在第一象限内，当x从原点右边趋向于原点时，图象在y轴右侧向上无限逼近y轴；当x趋向于时，图象在x轴上方向右无限的逼近x轴。3）当1时，xy在第一象限的图象右下凹，越大，在第一象限图象越靠近y轴。当10时，xy在第一象限的图象左上凸，越小，在第一象限图象越靠近x轴。当0时，xy在第一象限图象左下凹，越小，第一象限图象越稍靠近x轴，越稍远离y轴。4）指数是偶数的幂函数是偶函数，指数是奇数的函数是奇函数。第三章、函数的应用3.1.1、方程的根与函数的零点1、函数的零点定义：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。2、函数零点的意义：方程0xf有实根函数xfy的图象与x轴有交点函数xfy有零点 . 3、函数零点存在性判定定理：如果函数xfy在区间ba,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0bfaf，那么，函数xfy在区间ba,内有零点，即存在bac,，使得0cf，这个c也就是方程0xf的根。4、函数零点的性质从“数”的角度看：即是使0)(xf的实数；从“形”的角度看：即是函数)(xf的图象与x轴交点的横坐标；若函数)(xf的图象在0xx处与x轴相切，则零点0x通常称为不变号零点；若函数)(xf的图象在0xx处与x轴相交，则零点0x通常称为变号零点。5、设21, xx是实系数一元二次方程)0(02acbxax的两实根， 则21, xx的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示：根的分布（npm为常数）图象满足条件xyO 1x2xm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 34 页mxx21（两根都小于m）0)(,2,0mfmab21xxm（两根都大于m）0)(,2,0mfmab21xmx(一根大于m， 一根小于m) 0)(mf),(,21nmxx（两根位于nm,之间）0)(, 0)(,2,0nfmfnabmnxpxm21（两根分别位于m与p，p与n之间）0)(,0)(,0)(nfpfmf只有一根在nm,之间nabm2,0或者0)()(nfmf6、二次函数)0(2acbxaxy的零点：），方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点；2） ，方程02cbxax有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与x轴有一xyO 1x2xmxyO 1x2xmmxyO 1x2xnmxyO 1x2xnpxyO mn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 34 页个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；），方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点。注：1、对于连续不间断的函数，我们只要找到一个区间，使得区间两个端点处的函数值异号，就可以断定在此区间内至少有一个零点，若在此区间上具有单调性，则只有一个零点。2、并不是所有函数的零点都能用这种方法找到，直观上讲，只有当函数如图像穿过x轴时，这种方法才奏效。3.1.2、用二分法求方程的近似解1、二分法定义：对于在区间a，b上连续不断，且满足)(af)(bf0的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件)(af)(bf0表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。2、步骤：给定精度，用二分法求函数)(xf的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间a，b，验证)(af)(bf0，给定精度；（2）求区间a(，)b的中点1x；（3）计算)(1xf：若)(1xf=0，则1x就是函数的零点；若)(af)(1xf0，则令b=1x（此时零点),(10xax） ；若)(1xf)(bf0，则令a=1x（此时零点),(10bxx） ；（4）判断是否达到精度；即若|ba，则得到零点值a（或b） ；否则重复步骤24. 注：确定区间这一步的关键是，使区间a，b长度尽量小，)(af，)(bf的值比较容易计算，且)(af，)(bf异号，常用列表和画图的方法观察找到a和b. 3.2.1、几类不同增长的函数模型题型 1：正比例、反比例和一次函数型题型 2：二次函数型题型 3：分段函数型题型 4：指数型（指数爆炸） 、对数型函数：记住图像的形状题型 5：三角函数型（物理模型）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 34 页题型 6：不等式型3.2.2、函数模型的应用举例1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验. 2、解决实际问题的解题过程对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y 分别表示问题中的变量；建立函数模型：将变量y 表示为 x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；求解函数模型： 根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解；还原为实际问题的解。这些步骤用框图表示：3、解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。必修 2 数学知识点第一章、空间几何体1、空间几何体的结构（1）常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。（2）柱体棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。实际问题函数模型实际问题的解函数模型的解抽象概括还原说明运用函数性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 34 页棱柱的侧面都是平行四边形，上下底面全等。直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱。正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体。圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。（3）锥体棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。正棱锥：底面是正多边形并且顶点在底面上的射影是底面中心的棱锥。正四面体：各个面都是全等的等边三角形的四面体叫正四面体。圆锥： 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。（4）台体（台体问题常常转化为锥体问题解决）棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。（5）球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。（6）组合体：由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。2、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。三视图：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽。直观图：斜二测画法步骤画轴：建直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的ox，oy，oz建立直角坐标系； 画斜坐标系， 在画直观图的纸上 （平面上） 画出对应的yoxo,zo, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 34 页使45yox（或135） ，90zox，它们确定的平面表示水平平面；画底面： 在已知图形中平行于x轴的线段， 在直观图中画成平行于x轴，且长度保持不变；平行于y轴的线段，仍平行于y轴，且长度变为原来的一半；画侧棱：平行于z轴的线段，画成平行于z 轴，且长度保持不变；成图：擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线。注：根据斜二测画法，若一个平面图形的面积为S，它的直观图的面积为S，则SS42画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。3、空间几何体的表面积与体积棱柱、棱锥、棱台的表面积是各展开面的面积之和圆柱侧面积；lrS2侧面圆锥侧面积：lrS侧面圆台侧面积：lRlrS侧面体积公式：hSV柱体；hSV31锥体；hSSSSV下下上上台体31. 球的表面积和体积：32344RVRS球球，. 注：球心与截面圆（不经过球心的截面圆）的圆心的连线垂直于截面圆；过截面圆的圆心，垂直于截面圆的直线必过球心。第二章：点、直线、平面之间的位置关系一、平面的基本公理及推论1、公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。作用：证明点在平面内；证明直线在平面内。2、公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论 1：经过两条相交直线有且只有一个平面。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 34 页推论 2：经过两条平行直线有且只有一个平面。推论 3：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面。作用：确定平面；证明点线共面。3、公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。推论 1：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面。作用：证明两个平面相交；证明点在直线上；画两个平面相交时画交线依据。4、公理 4(平行公理 )：平行于同一条直线的两条直线平行。推论 1：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。推论 2：垂直于同一平面的两条直线平行。作用：证明两条直线平行。5、定理（等角定理） ：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。推论 1：两条平行直线和第三条直线所成角相等。二、空间中的位置关系6、线线位置关系：平行、相交、异面。异面直线的画法：异面直线判定定理：过平面内一点和平面外一点的直线和面内不过此点的直线是异面直线。7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。8、面面位置关系：平行、相交。三、空间中的位置关系的判定和性质9、线面平行：定义：如果一条直线和一个平面没有公共交点，则称这条直线和这个平面平行。判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行）推论 1： 平面外两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条也平行于这个平面。性质定理： 一条直线与一平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。推论 1：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行。10、面面平行：定义：如果两个平面没有公共交点，则称这两个平面平行。判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。推论 1：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行。推论 2：平行于同一个平面的两个平面平行。推论 3：垂直于同一条直线的两个平面平行。性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。推论 1：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线都平行于另一个平面。推论 2：两个平行平面外一条直线，如果该直线平行于第一个平面，则它也平行于第二个平面。推论 3：夹在两个平行平面间的平行线段相等。推论 4：过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。ababab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 34 页11、线面垂直：定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。推论 1：两条平行线中的一条和已知平面垂直，则另一条也和这个平面垂直。推论 2：若一条直线与两个平行平面中的一个平面垂直，则该直线垂直于另一个平面。推论 3：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面和已知直线垂直。性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。推论 1：若一条直线和一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面的任意一条直线。推论 2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行。12、面面垂直：定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（关键是找平面内一条直线垂直于另一个平面） 。推论 1：如果一个平面和另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面互相垂直。推论 2：如果一个平面与两个平行平面中的一个垂直，则该平面垂直于另一个平面。性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。推论 1：如果两个相交平面垂直于第三个平面，则交线与第三个平面垂直。（证明时，在第三个平面内任意取一点向交线作垂线）推论 2：若两平面垂直， 那么经过一平面内一点，垂直于第二个平面的直线一定在第一个平面内。注：经常添加的辅助线是在一个面内作交线的垂线。四、空间中的位置关系证明方法1、点共线（公理3）转化为证明“点在直线上”先确定某两个点在某两个平面的交线上，再证明其余点既在第一个平面内，又在第二个平面内，当然在两个平面的交线上。证明这些点都是某两个平面的公共点，最后得出这些点都在二平面交线上。2、线共点（公理1、3）转化为证明“点在直线上”纳入法：三条不共面的线可以确定三个平面，取其中两条直线共面且交于一点，此点在另两个平面内，该点当然在两个平面的交线即第三条直线上。同一法：三条直线cba,，假设BcbAba,说明BA,为同一点。3、点线共面（公理2）纳入法：部分点或直线确定平面，其余点或直线在这个平面内。同一法：由这些点或直线取适当的部分确定若干个平面，再一一确定这些平面重合。直接证明：利用公理或推论直接证明。4、证明两条直线为异面直线反证法：直接假设a 、b 共面而产生矛盾；假设a 、b 平行与相交 ,分别产生矛盾。异面直线判定定理。5、求异面直线所成角90,0作（或找）：固定一条平移另一条，或者同时平移两条到某个特殊位置，顶点选在特殊位置上；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 34 页证明：证明作出（或找出）的角即为所求角；求解：利用三角形求解；下结论。6、求直线和平面所成的角90,0法一：作（或找） ：作出（或寻找）过直线上一点与平面垂直的直线，连接垂足和斜足得出射影；证明：证明作出（或找出）的角即为所求角；求解：利用三角形求解；下结论。法二：等体积法。7、求二面角的平面角180,0作（或找） ： 证明：求解：下结论。其中二面角的平面角的作法： 1、定义法：角的顶点是否在棱上，角的两边是否分别在两个平面内，这两边是否都与棱垂直。 2、垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面相交产生两条射线，这两条射线所成角即为二面角的平面角。 3、垂线法：过二面角的一个平面内的一点P，向另一个面作垂线，垂足为A，过 A向棱作垂线，垂足为B，则PBA或其补角即为二面角的平面角。8、判断线线平行利用定义证明共面而且无公共点（结合反证法）；利用平行公理4；利用线面平行性质定理；利用线面垂直的性质定理；利用面面平行性质定理。9、判断线面平行定义；判定定理；面面平行性质推论（2 个） 。10、判断面面平行定义（反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾）；判定定理及推论（4 个） ；如果一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 34 页11、判断线线垂直计算所成角为90; 线面垂直的性质。12、判断线面垂直定义；判定定理及推论（3 个） ；面面垂直的性质定理及推论（2 个） 。13、判断面面垂直定义；判定定理及推论（3 个） 。五、证明空间线面平行或垂直需注意以下几点由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题。平面图形的翻折问题的分析与解决。要注意摘出平面图形，便于计算。第三章：直线与方程一、直线方程1、倾斜角与斜率：1212tanxxyyk，其中21,90xx. (证明三点共线 ) 2、直线方程：点斜式：00xxkyy；注意提前讨论斜率不存在的情况；斜截式：bkxy；注意提前讨论斜率不存在的情况；（判断两条直线之间的位置关系）两点式：121121xxxxyyyy；注意提前讨论斜率不存在或者为0 的情况；截距式：)0,0(1babyax， 注意提前讨论直线与坐标轴平行和过原点的情况；（作直线，判断直线经过的象限，求直线与坐标轴围成的面积）线线垂直线面垂直面面垂直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 34 页一般式：0CByAx（其中BA,不同时为0） 。二、直线位置关系与交点坐标3、对于直线：222111:,:bxkylbxkyl有： （注意提前讨论斜率不存在的情况）212121/bbkkll；1l和2l相交12kk；1l和2l重合2121bbkk；12121kkll或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在。4、求两条直线的交点坐标，只需写出这两条直线的方程，联立求解即可。5、对于直线：0:,0:22221111CyBxAlCyBxAl有：1221122121/CBCBBABAll；1l和2l相交1221BABA；1l和2l重合12211221CBCBBABA；0212121BBAAll. 过直线1l与2l交点的直线系方程为0)(222111CyBxACyBxA（解决直线过定点问题，首先分离参数，化为过两直线交点的直线系方程的形式）三、距离公式6、两点间距离公式：若),(111yxP，),(222yxP，则21221221yyxxPP7、点到直线距离公式： （设),(00yxP，应首先把直线方程化为一般式0CByAx）2200BACByAxd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 34 页8、两条平行线之间的距离：（实质是点到直线的距离0:, 0:2211CByAxlCByAxl）2221BACCd9、对称问题“点关于点”的对称点),(11yxP关于),(00yxM的对称点P的坐标是)2,2(1010yyxxP；点),(11yxP关于坐标原点的对称点是),(11yxP. “点关于直线”的对称求点关于直线的对称点设),(00yxP，)0(0:22BACByAxl,若P关于l的对称点Q的坐标为),(yx，则l是PQ的垂直平分线，即lPQ且PQ的中点在l上，解方程组0221)(0000CyyBxxABAxxyy可得Q点的坐标。几种特殊位置的对称点对称轴对称点坐标),(baPx轴),(bay轴),(baxy),(abxy),(ab)0(mmx),2(bam精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 34 页“直线关于点”的对称直线关于点的对称直线一定是和已知直线平行直线，由中点坐标公式可得直线0CByAx关于点),(00yxP的对称直线方程是0)2()2(00CyyBxxA，即0)22(00CByAxByAx. “直线关于直线”的对称若直线ba,关于直线l对称，则若ba,相交，则l是ba,交角的平分线(距离，夹角 ) ；若点A在直线a上，则关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时lAB，并且AB的中点D在l上（中垂线） ；a以l为轴旋转180，一定与b重合。几种特殊位置的对称直线（曲线）对称轴对称直线（曲线）x轴0)(CyBAxy轴0)(CByxA)0(nny)2,(bna0cyx),(cacb0cyx),(cacb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 34 页直线0CByAx原点0)()(CyBxAxy0CBxAyxy0)()(CxByAax0)2(CByxaAby0)2(CybBAx曲线0),(yxfx轴0),(yxfy轴0),(yxf原点0),(yxfxy0),(xyfxy0),(xyfax0),2(yxafby0)2,(ybxf0cyx0),(cxcyf0cyx0),(cxcyf10、解析法（坐标法）解决问题的基本步骤：建立坐标系，用坐标表示有关的量；进行有关的代数运算；把代数运算结果“翻译”成几何关系。第四章：圆与方程1、圆的方程：标准方程：222rbyax一般方程：022FEyDxyx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 34 页2、两圆位置关系：21OOd外离：rRd；外切：rRd；相交：rRdrR；内切：rRd；内含：rRd. 3、空间中两点间距离公式：21221221221zzyyxxPP必修 3 数学知识点第一章：算法1、算法三种语言：自然语言、流程图、程序语言；2、算法的三种基本结构：顺序结构、选择结构、循环结构3、流程图中的图框：起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法；4、循环结构中常见的两种结构：当型循环结构、直到型循环结构精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 34 页5、基本算法语句：赋值语句： “ =” （有时也用“” ）输入输出语句： “INPUT ” “PRINT ”条件语句：If Then Else End If 循环语句：“Do”语句Do Until End “While ”语句While WEnd 算法案例：辗转相除法同余思想第二章：统计1、抽样方法：简单随机抽样（总体个数较少）系统抽样（总体个数较多）分层抽样（总体中差异明显）注意：在 N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本， 每个个体被抽到的机会（概率）均为Nn。2、总体分布的估计：一表二图：频率分布表数据详实频率分布直方图分布直观频率分布折线图便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。茎叶图：茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的药重复写。3、总体特征数的估计：平均数：nxxxxxn321；取值为nxxx,21的频率分别为nppp,21，则其平均数为nnpxpxpx2211；注意：频率分布表计算平均数要取组中值。方差与标准差：一组样本数据nxxx,21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 34 页方差：212)(1niixxns；标准差：21)(1niixxns注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。线性回归方程变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；制作散点图，判断线性相关关系线性回归方程：abxy（最小二乘法）1221niiiniix ynx ybxnxaybx注意：线性回归直线经过定点),(yx。第三章：概率1、随机事件及其概率：事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；必然事件、不可能事件、随机事件的特点；随机事件A 的概率：1)(0,)(APnmAP；2、古典概型：基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；古典概型的特点：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件都是等可能发生。古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n 个，事件A 包含了其中的m 个基本事件，则事件A 发生的概率nmAP)(。3、几何概型：几何概型的特点：所有的基本事件是无限个；每个基本事件都是等可能发生。几何概型概率计算公式：的测度的测度DdAP)(；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 34 页其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体积等。4、互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件；如果事件nAAA,21任意两个都是互斥事件，则称事件nAAA,21彼此互斥。如果事件A，B 互斥，那么事件A+B 发生的概率，等于事件A，B 发生的概率的和，即：)()()(BPAPBAP如果事件nAAA,21彼此互斥，则有：)()()()(2121nnAPAPAPAAAP对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称这两个事件为对立事件。事件A的对立事件记作A)(1)(, 1)()(APAPAPAP对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事件。必修 4 数学知识点第一章、三角函数1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角的概念 . 2、 与角终边相同的角的集合：Zkk ,2. 1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角 . 2、rl. 3、弧长公式 ：RRnl180. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 34 页4、扇形面积公式：lRRnS213602. 1.2.1、任意角的三角函数1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点yxP,，那么：xyxytan,cos,sin. 2、 设点00, yxA为角终边上任意一点，那么：（设2020yxr）ry0s i n，rx0cos，00tanxy. 3、sin，cos，tan在四个象限的符号和三角函数线的画法. 4、 诱导公式一 ：.tan2tan,cos2cos,sin2sinkkk（其中：Zk）5、 特殊角 0， 30， 45， 60，90， 180， 270的三角函数值 . 643sincostan1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、 平方关系 ：1cossin22. 2、 商数关系 ：cossintan. 1.3 、三角函数的诱导公式1、 诱导公式二 ：.tantan,coscos,sinsin2、诱导公式三 ：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 34 页.tantan,coscos,sinsin3、诱导公式四 ：.tantan,coscos,sinsin4、诱导公式五 ：.sin2cos,cos2sin5、诱导公式六 ：.sin2cos,cos2sin1.4.1 、正弦、余弦函数的图象1、记住正弦、余弦函数图象：2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、 会用 五点法作图 . 1.4.2 、正弦、余弦函数的性质1、 周期函数定义：对于函数xf，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有xfTxf，那么函数xf就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 34 页1.4.3 、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：2、 能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性 . 1.5 、函数xAysin的图象1、 能够讲出函数xysin的图象和函数bxAysin的图象之间的平移伸缩变换关系 . 2、 对于函数：0,0sinAbxAy有：振幅A ，周期2T，初相，相位x，频率21Tf. 1.6 、三角函数模型的简单应用1、 要求熟悉课本例题. 第二章、平面向量2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量 . 2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段 ，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 2、 向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称 模 ） ，记作AB；长度为零的向量叫做零向量 ；长度等于1 个单位的向量叫做单位向量 . 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）. 规定：零向量与任意向量平行. 2.1.3 、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 . 2.2.1 、向量加法运算及其几何意义1、 三角形法则 和平行四边形法则. 2、baba. 2.2.2 、向量减法运算及其几何意义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 34 页1、 与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量 . 2.2.3 、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘 . 记作：a，它的长度和方向规定如下：aa, 当0时, a的方向与a的方向相同；当0时, a的方向与a的方向相反 . 2、 平面向量共线定理：向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ab. 2.3.1 、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数21,，使2211eea. 2.3.2 、平面向量的正交分解及坐标表示1、yxjyi xa,. 2.3.3 、平面向量的坐标运算1、 设2211,yxbyxa，则：2121,yyxxba，2121,yyxxba，11, yxa，1221/yxyxba. 2、 设2211,yxByxA，则：1212,yyxxAB. 2.3.4 、平面向量共线的坐标表示1、设332211,yxCyxByxA，则线段 AB中点坐标为222121,yyxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 34 页 ABC的重心坐标为33321321,yyyxxx. 2.4.1 、平面向量数量积的物理背景及其含义1、cosbaba. 2、a在b方向上的投影为：cosa. 3、22aa. 4、2aa. 5、0baba. 2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设2211,yxbyxa，则：2121yyxxba2121yxa02121yyxxba2、 设2211,yxByxA，则：212212yyxxAB. 2.5.1 、平面几何中的向量方法2.5.2 、向量在物理中的应用举例第三章、三角恒等变换3.1.1 、两角差的余弦公式1、sinsincoscoscos2、记住 15的三角函数值：sincostan12426426323.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sinsincoscoscos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 34 页2、sincoscossinsin3、sincoscossinsin4、tantan1tantantan. 5、tantan1tantantan. 3.1.3 、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、cossin22sin，变形：2sincossin21. 2、22sincos2cos1cos222sin21，变形 1：22cos1cos2，变形 2：22cos1sin2. 3、2tan1tan22tan. 3.2 、简单的三角恒等变换1、 注意 正切化弦、平方降次. 必修 5 数学知识点第一章：解三角形1、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin. 2、余弦定理：.cos2,cos2,cos2222222222CabbacBaccabAbccba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 34 页.2cos,2cos,2cos222222222abcbaCacbcaBbcacbA3、三角形面积公式：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21第二章：数列1、数列中na与nS之间的关系：.1,1,11时当时，当nSSnSannn2、等差数列：定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。通项公式：dnaan)1(1求和公式：22111naadnnnaSnn3、等比数列定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。通项公式：11nnqaa求和公式：qqaqqaaSnnn11111第三章：不等式1、时取等号当且仅当时，当baabbaba20,2、时取等号当且仅当时，当baabbaRba2,22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 34 页3、变形：2,2222baabbaab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 34 页