学习必备欢迎下载中考数学总复习坐标系中的几何问题第一部分真题精讲【例 1】已知：如图1，等边ABC的边长为2 3，一边在 x 轴上且13 0A，AC交y轴于点E，过点E作EFAB交BC于点F （1）直接写出点BC、的坐标；（ 2）若直线10ykxk将四边形EABF的面积两等分，求k的值；（ 3） 如图 2， 过点ABC、 、的抛物线与y轴交于点D，M为线段OB上的一个动点， 过 x 轴上一点2,0G作DM的垂线，垂足为H，直线GH交y轴于点N，当M点在线段OB上运动时，现给出两个结论：GNMCDMMGNDCM，其中有且只有一个结论正确，请判断哪个结论正确，并证明1-1图 2图 1DxyABCOOFECBAyx【分析】第一问不难，C 点纵坐标直接用tg60 来算。第二问看似较难，但需要知道“过四边形对角线交点的任意直线都将四边形面积平分”这一定理就轻松解决了，这个定理的证明不难。由于EFAB还是一个等腰梯形，所以对角线交点非常好算。最后有点麻烦，不过稍微认真点画图，不难猜出式成立。抛物线倒是好求，因为要证的是角度相等，所以应想到全等或者相似三角形，过D 做一条垂线就发现图中有多个全等关系，下面就忘记抛物线吧，单独将三角形拆出来当成一个纯粹的几何题去证明就很简单了。【解析】解： （1）13 0B，；1 3C， （2）532k-1RQFECBAOxyGPNMHTDCBAOxy（3）正确结论：GNMCDM【例 2】如图 ,在平面直角坐标系xoy 中, 抛物线21410189yxx与正半轴交于点A,与轴交于点B,过点 B作 x 轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结 AC 现有两动点P、Q分别从 O、C两点同时出发 , 点 P以每秒 4 个单位的速度沿OA向终点 A移动 , 点 Q以每秒 1 个单位的速度沿CB向点 B移动 , 点 P停止运动时 , 点 Q精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页学习必备欢迎下载也同时停止运动, 线段 OC,PQ相交于点 D, 过点 D作 DE OA,交 CA于点 E,射线 QE交 x 轴于点 F设动点P,Q 移动的时间为t( 单位 : 秒) (1) 求 A,B,C 三点的坐标 ; (2) 当 t 为何值时 , 四边形 PQCA 为平行四边形?请写出计算过程; (3) 当 0t 92时, P QF的面积是否总为定值?若是 , 求出此定值 ,若不是 , 请说明理由 ; (4) 当 t _ 时, P QF为等腰三角形 ? 【分析】注意平行于X轴的直线交抛物线的两个点一定是关于对称轴对称的。第二问就在于当四边形PQCA为平行四边形的时候题中已知条件有何关系。在运动中， QC和 PA始终是平行的， 根据平行四边形的判定性质， 只要 QC=PA 时候即可。第三问求PQF是否为定值， 因为三角形的一条高就是Q到 X轴的距离， 而运动中这个距离是固定的，所以只需看PF是否为定值即可。根据相似三角形建立比例关系发现OP=AF ，得解。第四问因为已经知道PF为一个定值，所以只需PQ=PF=18 即可， P点（ 4t,0 ）Q (8-t,-10),F(18+4t,0)两点间距离公式分类讨论即可【解析】解：(1)(18,0),(0,10),(8, 10)ABC（2）185t（3） PQF的面积总为90 （4） 当4 1425t时， PQR 是等腰三角形。【例3】如图，已知抛物线1C：522xay的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边） ，点B的横坐标是 1 （1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1） ， 抛物线2C与抛物线1C关于x轴对称， 将抛物线2C向右平移， 平移后的抛物线记为3C，3C的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求3C的解析式；（3）如图（2） ，点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线1C绕点Q 旋转180后得到抛物线4C抛物线4C的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时， 求点 Q 的坐标y x A O B P N 图 2 C1 C4 Q E F y x A O B P M 图C1 C2 C3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页学习必备欢迎下载解：59a抛物线3C的表达式为25459yx抛物线4C由1C绕点x轴上的点 Q 旋转180得到顶点N、P关于点 Q 成中心对称由得点N的纵坐标为5设点N坐标为 (5)，m作PHx轴于H，作NGx轴于G作PKNG于K旋转中心Q 在x轴上26EFABBH3FG，点F坐标为 (30)，mH坐标为(20)，K坐标为 (5)，m，根据勾股定理得22224104PNNKPKmm22221050PFPHHFmm2225334NF当90PNF时，222PNNFPF ，解得443m，Q 点坐标为19(0)3，当90PFN时，222PFNFPN ，解得103m，Q 点坐标为2(0)3，10PNNKNF，90NPF综上所得，当Q 点坐标为19(0)3，或2(0)3，时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形【例 4】 2010，房山，一模如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线 l1 ：36 3yx交x轴、y轴于A、B两点，点,Mm n是线段AB上一动点，点C是线段OA的三等分点（1）求点C的坐标；（2）连接CM，将ACM绕点M旋转180，得到A C My x A O B P N 图(2) C1 C4 Q E F H G K 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页学习必备欢迎下载当12BMAM 时，连结A C、AC，若过原点O的直线2l将四边形A CAC分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；过点A作A Hx轴于H，当点M的坐标为何值时，由点A、H、C、M构成的四边形为梯形？OMBA【思路分析】本题计算方面不是很繁琐，但是对图形的构造能力提出了要求，也是一道比较典型的动点移动导致特殊图形出现的题目。第一问自不必说，第二问第一小问和前面例题是一样的，也是要把握过四边形对角线交点的直线一定平分该四边形面积这一定理。求出交点就意味着知道了直线. 第二小问较为麻烦 , 因为 C点有两种可能,H 在 C点的左右又是两种可能, 所以需要分类讨论去求解. 只要利用好梯形两底平行这一性质就可以了. 【解析】（1）根据题意：6, 0A，0, 6 3BC是线段OA的三等分点2, 0C或4, 0C-2分（2）如图，过点M作 MNy 轴于点N，则BMNBAO12BMAM 13BMBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页学习必备欢迎下载13BNBO0, 4 3N点M在直线36 3yx上2, 4 3M- A C M是由ACM绕点M旋转180得到的A CAC无论是1C、2C点，四边形A CAC是平行四边形且M为对称中心所求的直线2l必过点2, 4 3M直线2l的解析式为 :2 3yxxyC2C2C1NC1AOMBA 当12, 0C时，第一种情况：H在C点左侧若四边形1A HC M是梯形A M与1HC不平行A H1MC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页学习必备欢迎下载此时2, 4 3M第二种情况：H在C点右侧若四边形1A C HM是梯形A M与1C H不平行1A CHMM是线段AA的中点H是线段1AC的中点4, 0H由6OA，6 3OB60OAB点M的横坐标为55,3M当24, 0C时，同理可得第一种情况：H在2C点左侧时，4, 2 3M- 第二种情况：H在2C点右侧时，113,22M- 综上所述，所求M点的坐标为：2, 4 3M，5,3M，4, 2 3M或113,22M精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页学习必备欢迎下载xyC2C2C1NC1AOMBA【例 5】通州， 2010，一模在平面直角坐标系中，抛物线223yxx与 x 轴交于 A、B两点， （点 A在点 B左侧） . 与 y 轴交于点 C，顶点为D，直线 CD与 x 轴交于点E. （1）请你画出此抛物线，并求A、B、C、D四点的坐标 . （2）将直线CD向左平移两个单位，与抛物线交于点F（不与 A、B两点重合），请你求出F 点坐标 . （3）在点 B、点 F 之间的抛物线上有一点P，使 PBF 的面积最大，求此时P点坐标及 PBF 的最大面积 . （4）若平行于x 轴的直线与抛物线交于G 、H两点，以GH为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径. 【思路分析】本题看似错综复杂，尤其最后第四问的图像画出来又乱又挤，稍微没画好就会让人头大无比。但是不用慌，一步步来慢慢做。抛物线表达式很好分解，第一问轻松写出四个点。第二问向左平移，C 到对称轴的距离刚好是1，所以移动两个距离以后就到了关于对称轴对称的点上，所以F 直接写出为（ -2,-3 ）第三问看似棘手，但是只要将PBF拆解成以Y轴上的线段为公共边的两个小三角形就会很轻松了。将 P点设出来然后列方程求解即可。最后一问要分GH在 X轴上方和下方两种情况，分类讨论。不过做到最后一步相信同学们的图已经画的乱七八糟了，因为和前面的问题没有太大关系，所以建议大家画两个图分开来看。【解析】解：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页学习必备欢迎下载（1）3 01 00314ABCD， ， ，. （2）23F，（3）过点P作y轴的平行线与BF交于点M，与x轴交于点H易得23F，直线BF解析式为1yx设223P x xx，则1Mxx，22PMxxPM的最大值是94. 当PM取最大值时PBF的面积最大19273248PBFPFMPBMSSSPFB的面积的最大值为278 . （4）如图，当直线GH在x轴上方时，设圆的半径为0R R，则1HRR，代入抛物线的表达式，解得1272R. 当直线GH在x轴下方时，设圆的半径为0r r，则1H rr，代入抛物线的表达式，解得1172r圆的半径为1172或1172 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页学习必备欢迎下载H1O2O1H2MByxOCPDFAG2G1【总结】通过以上五道一模真题，我们发现这类问题虽然看起来十分复杂，但是只要一问一问研究慢慢分析，总能拿到不错的分数。将几何图形添进坐标系大多情况下是和抛物线有关，所以首先需要同学们对抛物线的各种性质熟练掌握，尤其是借助抛物线的对称性，有的时候解题会十分方便。无论题目中的图形是三角形，梯形以及平行四边形或者圆，只要认清各种图形的一般性质如何在题中体现就可以了。例如等腰 / 边三角形大多和相似以及线段长度有关，梯形要抓住平行，平行四边形要看平行且相等，圆形就要看半径和题目中的条件有何关系。还需要掌握平分三角形/ 四边形 / 圆形面积的直线分别都一定过哪些点。总之，再难的问题都是由一个个小问题组成的，就算最后一两问没有时间思考拿不了全分，至少要将前面容易的分数拿到手，这部分分数其实还不少。像例2 最后一问那种情况，该放弃时候果断放弃，不要为1分的题失去了大量检查的时间。第二部分发散思考【思考 1】2009，北京. 如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个顶点的坐标分别为6,0A，6,0B，0,4 3C，延长 AC到点 D,使 CD=12AC, 过点 D 作 DE AB交 BC的延长线于点 E. （1）求 D点的坐标；（2）作 C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF 、EF，若过 B 点的直线ykxb将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设 G为 y 轴上一点，点P 从直线ykxb与 y 轴的交点出发，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页学习必备欢迎下载先沿 y 轴到达 G点，再沿GA到达 A点，若 P点在 y 轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2 倍，试确定 G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。 （要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）【思路分析】在一模真题部分我们谈到的是直线分四边形面积相等，但是这道去年中考原题则是分周长相等。周长是由很多个线段组成的，所以分周长相等只需要研究哪些线段之和相等就可以了。所以自然想到去证明全等三角形。第三问虽然不要求证明，但是只需设出速度, 利用相似三角形去建立关系, 还是不难证明的 , 有余力的同学可以试试. 【思考 2】2009，西城，一模已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线364yx与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A、 B ，将 OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x 轴于点 C. （1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP 为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段 BT上一点，直接写出QAQO的取值范围 . 【思路分析】第二问有两个思路，第一个是看已知四边形的线段是否平行且相等，角是否符合平行四边形的条件。另一个是看假如有平行四边形，那么构成平行四边形的点P 是否在BC上。从这两个思路出发，列出方程等式即可求解。第三问根据抛物线的对称性来看三点共线，继而看出最大值和最小值分别是多少。【思考 3】2009，朝阳，一模抛物线与x 轴交于 A（ 1，0） 、B两点，与 y 轴交于点C（0， 3） ，抛物线顶点为M ，连接 AC并延长 AC交抛物线对称轴于点Q ，且点 Q到 x 轴的距离为6. （1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得 DC与 AC垂直，求出点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点P，使得 SPAM=3S ACM ，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页学习必备欢迎下载【思路分析】 第一问要算的比较多，设直线以后求解析式，看出抛物线对称轴为x=1, 然后设顶点式解个二元方程组即可. 第二问利用三角形相似求出点N坐标 , 然后联立抛物线与直线CN即可求出点D.第三问考验对图形的理解, 如果能巧妙的将ACM 的面积看成是四边形ACEM 减去 AME, 那么就会发现四边形ACEM 刚好也是 AOC和梯形 OCEM 之和 , 于是可以求出PM的距离 , 然后分类讨论PM的位置即可求解. 【思考 4】2009，崇文，一模如图，抛物线两点轴交于与BAxbxaxy,32，与y轴交于点C，且OAOCOB3（I ）求抛物线的解析式；（II ）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点CAP,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；（III）直线131xy交y轴于D点，E为抛物线顶点若DBC，求,CBE的值【思路分析】本题虽然没有明确给出坐标，但是表达式中暗含了X=0 时 Y=-3，于是C点得出，然后利用给定的等式关系写出A,B 去求解析式。第二问中，因为 AC是固定的，所以构成的直角三角形根据P的不同有三种类型。注意分类讨论。第三问则是少见的计算角度问题，但是实际上也是用线段去看角度的相等。最方便就是利用正切值构建比例关系，发现CBE= DBO ，于是所求角度差就变成了求OBC 。第三部分思考题解析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页学习必备欢迎下载【思考 1 解析】解： （1）( 6 0)A，(0 4 3)C，64 3OAOC，设DE与y轴交于点M由DEAB可得DMCAOC又12CDAC，12MDCMCDOACOCA2 3CM，3MD同理可得3EM6 3OMD点的坐标为(3 6 3)，（2）由（ 1）可得点M的坐标为(0 6 3)，由DEABEMMD，可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线点C关于直线DE的对称点F在y轴上ED与CF互相垂直平分CDDFFEEC四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心作直线BM设BM与CDEF、分别交于点S、点T可证FTMCSMFTCSFECD，TESDECDF，TEECCSSTSDDFFTTS直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形由点(6 0)B，点(0 6 3)M，在直线ykxb上，y D E C B O A x 1 1 H S M T G F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页学习必备欢迎下载可得直线BM的解析式为36 3yx（3）确定G点位置的方法：过A点作AHBM于点H则AH与y轴的交点为所求的G点由66 3OBOM，可得60OBM，30BAH在RtOAG中，tan2 3OGAOBAHG点的坐标为(0 2 3)， （或G点的位置为线段OC的中点）【思考 2 解析】解： （1）点 C的坐标为(3,0). 点 A、B的坐标分别为(8,0),(0,6)AB， 可设过 A、B、C三点的抛物线的解析式为(3)(8)ya xx. 将0,6xy代入抛物线的解析式，得14a. 过 A、B、C三点的抛物线的解析式为2111644yxx. （2）可得抛物线的对称轴为112x，顶点 D的坐标为1125(,)216，设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G. 直线 BC的解析式为26yx.- 设点 P的坐标为( , 26)xx. 解法一：如图8，作 OP AD交直线 BC于点 P，连结 AP ，作 PM x 轴于点 M. OPAD ， POM= GAD ，tan POM=tan GAD. PMDGOMGA，即2526161182xx. 解得167x. 经检验167x是原方程的解. 此时点 P的坐标为16 10(,)77. 图 8 xy11MPGDCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页学习必备欢迎下载但此时165,72OMGA，OM GA. ,coscosOMGAOPADPOMGADPOMGAD OPAD ，即四边形的对边OP与 AD平行但不相等， 直线 BC上不存在符合条件的点P. 解法二：如图9，取 OA的中点 E，作点 D关于点 E的对称点P，作 PNx 轴于点 N. 则 PEO= DEA ，PE=DE. 可得 PEN DEG 由42OAOE，可得 E点的坐标为(4,0). NE=EG=32， ON=OE NE=52，NP=DG=2516. 点 P的坐标为5 25(,)2 16. x=52时，52526261216x， 点 P不在直线BC上. 直线 BC上不存在符合条件的点P . （3）QAQO的取值范围是04QAQO. 说明：如图10，由对称性可知QO=QH，QAQOQAQH. 当点 Q与点 B重合时， Q 、H、A三点共线，QAQO取得最大值4（即为 AH的长）；设线段 OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点 Q与点 K重合时，QAQO取得最小值0. 图 10 xyT11CBAOHQK图 9 xy11NEGDCBAOP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页学习必备欢迎下载【思考 3 解析】解： （1）设直线AC的解析式为3kxy，把 A （ 1，0）代入得3k. 直线 AC的解析式为33xy. 依题意知，点Q的纵坐标是6. 把6y代入33xy中，解得1x，点 Q （ 1，6）点 Q在抛物线的对称轴上，抛物线的对称轴为直线1x. 设抛物线的解析式为nxay2) 1(，由题意，得304nana，解得.4, 1na抛物线的解析式为4)1(2xy. （2）如图，过点C作 AC的垂线交抛物线于点D，交 x 轴于点 N，则ANCACOACOANCtantan，OCOAONOC. 1OA，3OC，9ON. 点 N的坐标为（ 9，0）可求得直线CN的解析式为331xy. 图由4)1(3312xyxy，解得92037yx，即点 D的坐标为（37，920）. 5 分（3）设抛物线的对称轴交x 轴于点 E，依题意，得2AE，4EM，52AM. 1AMEOCMEAOCACMSSSS梯形，且PMAEPMSPAM21，又ACMPAMSS3，3PM. 设 P（1，m ） ，图图 11 DCBPEAxy(1,m)P1CMAOE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页学习必备欢迎下载当点 P在点 M上方时， PM m 4 3，1m， P（1， 1）. 当点 P在点 M下方时， PM 4m 3，7m， P（1， 7）. 综上所述，点P的坐标为1P（1， 1） ，2P（1， 7） . 【思考 4 解析】解： （I ）3, 032点轴交与抛物线Cybxaxy，且OAOCOB3)0, 3(,0, 1BA代入32bxaxy，得12030339abbaba322xxy（II ） 当190,P AC时可证AOP1ACO31tantan11ACOAOPAOPRt中，)31,0(1P同理 : 如图当)0 ,9(9022PCAP时，当)0 ,0(9033PACP时，综 上 ， 坐 标 轴 上 存 在 三 个 点P， 使 得 以 点CAP ,为 顶 点 的 三 角 形 为 直 角 三 角 形 ， 分 别 是)31,0(1P)0,9(2P，)0,0(3P（III）1 ,0,131Dxy得由4, 1322Exxy，得顶点由52, 2, 23BECEBCA P2 P 1 C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页学习必备欢迎下载为直角三角形BCEBE ,CEBC22231tanCBCE又31tanOBODDBODOBRt中DBO45OBCDBO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页