垂直的判定垂直的判定一一.线面垂直的判定：线面垂直的判定：线线平行，面面平行的判定和性质线线平行，面面平行的判定和性质问题提出问题提出1.1.前面我们全面分析了前面我们全面分析了直线与平面平行直线与平面平行的概念、判定和性质的概念、判定和性质，对于直线与平面，对于直线与平面相交，又有哪些相关概念和原理？我们相交，又有哪些相关概念和原理？我们有必要进一步研究有必要进一步研究. .2.2.直线与直线存在有直线与直线存在有垂直垂直关系，直线与关系，直线与平面也存在有平面也存在有垂直垂直关系，我们如何从理关系，我们如何从理论上加以认识？论上加以认识？知识探究（一）：知识探究（一）：直线与平面垂直的概念直线与平面垂直的概念 思考思考1 1：田径场地面上田径场地面上竖立的旗杆与地面的位竖立的旗杆与地面的位置关系给人以什么感觉置关系给人以什么感觉？你还能列举一些类似？你还能列举一些类似的实例吗？的实例吗？思考思考2 2：将一本书打开直将一本书打开直立在桌面上，观察书脊立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置书和桌面的交线的位置关系如何？关系如何？思考思考3 3：如图，在阳光下观察直立于地面的如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，影子影子BCBC的位置在移动，在各时刻旗杆的位置在移动，在各时刻旗杆ABAB所所在直线与影子在直线与影子BCBC所在直线的位置关系如何所在直线的位置关系如何？ ABC思考思考4 4：上述旗杆与地面、书脊与上述旗杆与地面、书脊与桌面的位置关系，称为桌面的位置关系，称为直线与平面直线与平面垂直垂直. .一般地，直线与平面垂直的一般地，直线与平面垂直的基本特征是什么？怎样定义直线与基本特征是什么？怎样定义直线与平面垂直？平面垂直？定义定义：如果一条直线与平面内的任意：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直个平面垂直. . 思考思考5 5：在图形上、符号上怎样表示在图形上、符号上怎样表示直线与平面垂直？直线与平面垂直？l思考思考6 6：如果直线如果直线l与平面与平面垂直，则直线垂直，则直线l叫叫做做平面平面的垂线的垂线，平面，平面叫做叫做直线直线l的垂面的垂面，它们的交点叫做它们的交点叫做垂足垂足. .那么过一点可作多少条那么过一点可作多少条平面平面的垂线？过一点可作多少个直线的垂线？过一点可作多少个直线l的垂的垂面？面？lA A垂线垂线垂面垂面垂足垂足知识探究（二）：知识探究（二）：直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 思考思考1 1：对于一条直线和一个平面，如果对于一条直线和一个平面，如果根据定义来判断它们是否垂直，需要解根据定义来判断它们是否垂直，需要解决什么问题？如何操作？决什么问题？如何操作？思考思考2 2：我们需要寻求一个简单可行的办法来我们需要寻求一个简单可行的办法来判定直线与平面垂直判定直线与平面垂直. .如果直线如果直线l与平面与平面内的两条直线垂直，能保内的两条直线垂直，能保证证l吗？吗？如果直线如果直线l与平面与平面内的一条直线垂直，能保内的一条直线垂直，能保证证l吗？吗？定理：定理： 如果一条直线和一个平面如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面条直线垂直于这个平面. .思考思考5 5：上述定理通常称为上述定理通常称为直线和平面垂直线和平面垂直的判定定理，直的判定定理，它是判定直线与平面垂它是判定直线与平面垂直的理论依据直的理论依据. .结合下图，怎样用符号语结合下图，怎样用符号语言表述这个定理？言表述这个定理？alPb思考思考6 6：如果一条直线垂直于一个如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直吗？线与这个平面垂直吗？巩固练习巩固练习练习练习1 1 如图，空间中直线如图，空间中直线b b和三角形的两边和三角形的两边AC,BCAC,BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边ABAB的位置关系是（的位置关系是（ ）A A平行平行 B B垂直垂直 C C 相交相交 D D不确定不确定理论迁移理论迁移例例1 1 已知已知 . .求证：求证：abcd练习练习2 2 圆圆O O所在一平面为，所在一平面为，ABAB是圆是圆O O 的直径，的直径，C C 是圆周上一点是圆周上一点, ,且且PA AC, PA AB,PA AC, PA AB,求证：求证：（1 1）PA BC PA BC （2 2）BC BC 平面平面PACPAC（3 3）图中哪些三角形）图中哪些三角形是直角三角形。是直角三角形。 巩固练习巩固练习例例2 2 在三棱锥在三棱锥P-ABCP-ABC中，中，PAPA平面平面ABCABC，ABBCABBC，PA=ABPA=AB，D D为为PBPB的中点，的中点，求证：求证：ADPC.ADPC.PABCD例例3 3 侧棱与底面垂直的棱柱称为侧棱与底面垂直的棱柱称为直直棱柱棱柱. .在直四棱柱在直四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，当底面四边形当底面四边形ABCDABCD满足什么条件时，满足什么条件时，有有A A1 1CBCB1 1D D1 1，说明你的理由，说明你的理由. .AA1BCDB1C1D1问题提出问题提出 1. 1.空间两个平面有平行、相交两空间两个平面有平行、相交两种位置关系，对于两个平面平行，种位置关系，对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一平面相交，我们应从理论上有进一步的认识步的认识. .二：平面与平面垂直的判定二：平面与平面垂直的判定知识探究（一）：知识探究（一）：二面角的有关概念二面角的有关概念 思考思考1:1:直线上的一点将直线分割成两部分，直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做每一部分都叫做射线射线. . 平面上的一条直线将平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫什么名称？平面分割成两部分，每一部分叫什么名称？半平面半平面半平面半平面射线射线射线射线思考思考2:2:将一条直线沿直线上一点折起，得到将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角，将一个平面沿平面上的平面图形是一个角，将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形称为的一条直线折起，得到的空间图形称为二面二面角角，你能画一个二面角的直观图吗？，你能画一个二面角的直观图吗？思考思考3:3:在二面角在二面角-l-的棱上取一的棱上取一点点O O，过点，过点O O分别在二面角的两个面内分别在二面角的两个面内任作两条射线任作两条射线OAOA，OBOB，能否用，能否用AOBAOB来刻画二面角的张开程度？来刻画二面角的张开程度？lO OA AB B思考思考4:4:在上图中如何调整在上图中如何调整OAOA、OBOB的位的位置，使置，使AOBAOB被二面角被二面角-l-唯一确唯一确定？这个角的大小是否与顶点定？这个角的大小是否与顶点O O在棱在棱上的位置有关？上的位置有关？lO OA AB BlO OA AB B思考思考5:5:上面所作的角上面所作的角叫做叫做二面角的平面角二面角的平面角，你能给二面角的平面你能给二面角的平面角下个定义吗？角下个定义吗？以二面角的棱上任意一点为顶点，以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角面角的平面角. .lO OA AB B思考思考6:6:二面角的大小可以用它的平面二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度就说二面角是多少度. .平面角是直角平面角是直角的二面角叫做的二面角叫做直二面角直二面角. . 当二面角的当二面角的两个面重合时，二面角的大小为多少两个面重合时，二面角的大小为多少度？当二面角的两个面合成一个平面度？当二面角的两个面合成一个平面时，二面角的大小为多少度？一般地，时，二面角的大小为多少度？一般地，二面角的平面角的取值范围如何？二面角的平面角的取值范围如何？思考思考7:7:如图，过二面角如图，过二面角-l-一个一个面内一点面内一点A A，作另一个面的垂线，垂，作另一个面的垂线，垂足为足为B B，过点，过点B B作棱的垂线，垂足为作棱的垂线，垂足为O O，连结，连结AOAO，则，则AOBAOB是二面角的平面是二面角的平面角吗？为什么？角吗？为什么？ABO Ol思考思考8:8:如图，平面如图，平面垂直于二面角的垂直于二面角的棱棱l，分别与面，分别与面、相交于相交于OAOA、OBOB，则，则AOBAOB是二面角的平面角吗？为是二面角的平面角吗？为什么？什么？lA AO OB B理论迁移理论迁移 例例1 1 在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，求二面角求二面角B B1 1-AC-B-AC-B大小的正切值大小的正切值. .A AA A1 1B BC CD DB B1 1C C1 1D D1 1O平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定知识探究（一）：知识探究（一）：两个平面垂直的概念两个平面垂直的概念 思考思考1:1:空间两条直线垂直是怎样定空间两条直线垂直是怎样定义的？直线与平面垂直是怎样定义义的？直线与平面垂直是怎样定义的？的？思考思考2:2:什么叫直二面角？如果两个相什么叫直二面角？如果两个相交平面所成的四个二面角中，有一个交平面所成的四个二面角中，有一个是直二面角，那么其他三个二面角的是直二面角，那么其他三个二面角的大小如何？大小如何？思考思考3:3:如果两个相交平面所成的二面如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，则称这角是直二面角，则称这两个平面互相两个平面互相垂直垂直. .在你的周围或空间几何体中，在你的周围或空间几何体中，有哪些实例反映出两个平面垂直？有哪些实例反映出两个平面垂直？思考思考4:4:在图形上，符号上怎样表示在图形上，符号上怎样表示两个平面互相垂直？两个平面互相垂直？思考思考5:5:如果平面如果平面平面平面，那么平，那么平面面内的任一条直线都与平面内的任一条直线都与平面垂直垂直吗？吗？知识探究（二）：知识探究（二）：两个平面垂直的判定两个平面垂直的判定 思考思考1:1:根据定义判断两个平面是否根据定义判断两个平面是否垂直需要解决什么问题？垂直需要解决什么问题？思考思考2:2:如图，如图，AOBAOB为直二面角为直二面角-l-的平面角，那么直线的平面角，那么直线AOAO与与平面平面的位置关系如何？的位置关系如何？A AB BO Ol思考思考3 3：在二面角在二面角-l-中，直线中，直线m m在平面在平面内，如果内，如果mm，那么二面，那么二面角角-l-是直二面角吗？是直二面角吗？m mla思考思考4:4:根据上述分析，可以得到两个根据上述分析，可以得到两个平面互相垂直的判定定理，用文字语平面互相垂直的判定定理，用文字语言如何表述这个定理？言如何表述这个定理？定理：定理：如果一个平面经过另一个平如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直面的垂线，则这两个平面垂直. .思考思考5:5:结合图形，两个平面垂直的结合图形，两个平面垂直的判定定理用符号语言怎样表述？判定定理用符号语言怎样表述？l思考思考6:6:过一点过一点P P可以作多少个平面与可以作多少个平面与平面平面垂直？过一条直线垂直？过一条直线l可以作多可以作多少个平面与平面少个平面与平面垂直？垂直？PllPABCD例一：如图例一：如图RTABC中，中， B=90 B=90，P P为为ABC外一点，外一点，PA平面平面ABC,ABC,问：四面体问：四面体PABCPABC中有几个直角三角形？中有几个直角三角形？理论迁移理论迁移 例例1 1 如图，如图，O O在平面在平面内，内，ABAB是是O O的直径，的直径，PAPA，C C为圆周上不同为圆周上不同于于A A、B B的任意一点，求证：的任意一点，求证：平面平面PACPAC平面平面PBC. PBC. P PA AB BC CO O 例例2 2 如图，四棱锥如图，四棱锥P-ABCDP-ABCD的底面的底面为矩形，为矩形，PAPA底面底面ABCDABCD，PA=ADPA=AD，M M为为ABAB的中点，求证：平面的中点，求证：平面PMCPMC平面平面PCD.PCD.P PA AB BC CD DM ME EF F例例3 3 在四面体在四面体ABCDABCD中，已知中，已知ACBDACBD，BAC=CAD=45BAC=CAD=45，BAD=60BAD=60，求证：平面求证：平面ABCABC平面平面ACD.ACD.A AB BC CD DE E例例2 2 如图所示，河堤斜面与水平面如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角为所成二面角为 ，堤面上有一条直，堤面上有一条直道道CDCD，它与堤角的水平线，它与堤角的水平线ABAB的夹角为的夹角为 ，沿这条直道从堤脚，沿这条直道从堤脚C C向上行走向上行走10m10m到到达达E E处，此时人升高了多少处，此时人升高了多少m m？A AB BC CD DE EOF F