相似三角形知识点与经典题型知识点 1 有关相似形的概念(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边长度的比叫做相似比( 相似系数 ) 知识点 2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段ba,的长度分别为nm,，那么就说这两条线段的比是nmba，或写成nmba:注：在求线段比时，线段单位要统一。（2）在四条线段dcba,中，如果ba和的比等于dc和的比，那么这四条线段dcba,叫做成比例线段，简称比例线段 注： 比例线段是有顺序的，如果说a是dcb,的第四比例项， 那么应得比例式为：adcb ()acabcdbd在比例式：中，a、d 叫比例外项， b、c 叫比例内项 , a、c 叫比例前项， b、d 叫比例后项， d 叫第四比例项，如果b=c，即abbd：那么 b 叫做 a、 d 的比例中项，此时有2bad。（ 3）黄金分割：把线段AB分成两条线段)(,BCACBCAC，且使AC是BCAB和的比例中项，即2ACAB BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ABAC2150.618AB即512ACBCABAC简记为：512长短全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点 3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：bcaddcba:；2:a bb cba c注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bcad，除了可化为dcba:，还可化为dbca:，badc:，cadb:，cdab:，bdac:，abcd:，acbd:（ 2） 更比性质 ( 交换比例的内项或外项)：()()()abcdacdcbdbadbca， 交换内项， 交换外项 同时交换内外项（ 3）反比性质 (把比的前项、后项交换) ：acbdbdac（ 4）合、分比性质：acabcdbdbd注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页发生同样和差变化比例仍成立如：dcdcbabaccdaabdcba等等（5）等比性质：如果)0(nfdbnmfedcba，那么banfdbmeca注：此性质的证明运用了“设k法” （即引入新的参数k）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法应用等比性质时，要考虑到分母是否为零可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立如：bafdbecafedcbafedcba32323322；其中032fdb知识点 4 比例线段的有关定理 1. 三角形中平行线分线段成比例定理: 平行于三角形一边的直线截其它两边( 或两边的延长线) 所得的对应线段成比例 . 由 DE BC可得：ACAEABADEAECADBDECAEDBAD或或注：重要结论：平行于三角形的一边, 并且和其它两边相交的直线, 所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线) 所得的对应线段成比例 . 那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法, 即：利用比例式证平行线. 平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线, 但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比. 2. 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比例. 已知 AD BECF, 可得ABDEABDEBCEFBCEFABBCBCEFACDFABDEACDFDEEF或或或或等. 注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。知识点 5 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符号“”表示，读作“相似于”相似三角形对应边的比叫做相似比( 或相似系数 ) 相似三角形对应角相等，对应边成比例注：对应性： 即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的两个三角形形状一样，但大小不一定一样全等三角形是相似比为1 的相似三角形 二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例FEDCBAEABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页知识点 6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1) 相似三角形的等价关系：反身性：对于任一ABC有ABCABC对称性：若ABCCBA，则CBAABC传递性：若ABCCBA，且CBACBA，则ABCCBA(2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边( 或两边延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似定理的基本图形：用数学语言表述是：BCDE /，ADEABC知识点 7 三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边( 或两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似6、判定直角三角形相似的方法：(1) 以上各种判定均适用(2) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(3) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图， Rt ABC中， BAC=90， AD是斜边BC上的高，则 AD2=BDDC ， AB2=BDBC ， AC2=CD BC 。知识点 8 相似三角形常见的图形(1)EABCD(3)DBCAE(2)CDEABDBCA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“ X型”图）(2) 如图：其中 1=2，则 ADE ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、“反 A共角共边型”、“蝶型”）（3）如图：称为“垂直型” （有“双垂直共角型” 、 “双垂直共角共边型（也称“射影定理型”） ” “三垂直型” ）(4) 如图： 1=2， B=D，则 ADE ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。2、几种基本图形的具体应用：（1）若 DE BC （A型和 X型）则 ADE ABC （2）射影定理若 CD为 RtABC斜边上的高（双直角图形）则 RtABC RtACD RtCBD且 AC2=AD AB， CD2=AD BD，BC2=BD AB；EADCBEADCBADCB（3）满足 1、AC2=AD AB ， 2、 ACD= B ， 3、 ACB= ADC ，都可判定 ADC ACB （4）当ADAEACAB或 AD AB=AC AE时， ADE ACB ADCBEADCBBEACD12ABCDE12AABBCCDDEE12412ECABDEABC(D)EADCB(1)EABCD(3)DBCAE(2)CDEAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页知识点 9：全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS) 直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL) 相似判定的预备定理两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例直角三角形中斜边与一直角边对应成比例知识点 10 相似三角形的性质(1) 相似三角形对应角相等，对应边成比例(2) 相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3) 相似三角形周长的比等于相似比(4) 相似三角形面积的比等于相似比的平方注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等知识点 11 相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法1、证明四条线段成比例的常用方法：(1) 线段成比例的定义(2) 三角形相似的预备定理(3) 利用相似三角形的性质(4) 利用中间比等量代换(5) 利用面积关系2、证明题常用方法归纳：（1）总体思路 : “等积”变“比例” ， “比例”找“相似”(2) 找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论. (3) 找中间比：若没有三角形( 即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上) ，则需要进行“转移”( 或“替换” ) ，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换. 即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。)(,为中间比nmnmdcnmba,nnnmdcnmba),(,nmnmnnmmnmdcnmba或(4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线( 通常是添加平行线) 构成比例 . 以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止. 注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。（ 5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k; 对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。（ 6） 对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页知识点 12 相似多边形的性质(1) 相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比(2) 相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比(3) 相似多边形面积比等于相似比的平方注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键知识点 13 位似图形有关的概念与性质及作法1. 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形. 2. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比. 注：（1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点. （2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. （3） 位似图形的对应边互相平行或共线. 3. 位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 注：位似图形具有相似图形的所有性质. 4. 画位似图形的一般步骤：（1） 确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）（2） 分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）. （3） 根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置. （4） 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. 注：位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5） 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O 为位似中心，相似比为k（k0）, 原图形上点的坐标为（x,y ）, 那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky), 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页经典例题透析类型一、相似三角形的概念1判断对错：(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？(3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？思路点拨： 要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件. 解： (1)不一定相似 .反例直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似. (2)不一定相似 .反例等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似. (3)一定相似 .在直角三角形ABC 与直角三角形ABC中设 AB=a ， AB=b，则BC=a，BC=b，AC=a，AC=b 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页ABC A BC(4)一定相似 .因为等边三角形各边都相等，各角都等于60 度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似. (5)一定相似 .全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1，所以全等三角形一定相似，且相似比为1. 举一反三【变式 1】两个相似比为1 的相似三角形全等吗？解析： 全等 .因为这两个三角形相似，所以对应角相等.又相似比为1，所以对应边相等. 因此这两个三角形全等. 总结升华： 由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似. (1)两个直角三角形，两个等腰三角形不一定相似. (2)两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似. (3)两个全等三角形一定相似，且相似比为1；相似比为1 的两个相似三角形全等. 【变式 2】下列能够相似的一组三角形为( ) A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形解析： 根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.而 A 中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B 中什么条件都不满足；D 中只有一条对应边的比相等； C 中所有三角形都是由90、 45、 45角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选 C. 类型二、相似三角形的判定2如图所示，已知中， E 为 AB 延长线上的一点，AB=3BE ，DE 与 BC 相交于 F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 思路点拨： 由可知 AB CD， ADBC，再根据平行线找相似三角形. 解： 四边形 ABCD 是平行四边形， AB CD，AD BC， BEF CDF， BEF AED. BEF CDF AED. 当 BEF CDF 时，相似比；当 BEF AED 时，相似比；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页当 CDF AED 时，相似比. 总结升华： 本题中 BEF、 CDF、 AED都相似，共构成三对相似三角形.求相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后次序，若次序颠倒，则相似比成为原来的倒数. 3已知在RtABC 中， C=90， AB=10 ，BC=6.在 RtEDF 中， F=90， DF=3，EF=4，则 ABC和 EDF 相似吗？为什么？思路点拨： 已知 ABC 和 EDF 都是直角三角形，且已知两边长， 所以可利用勾股定理分别求出第三边AC和 DE，再看三边是否对应成比例. 解： 在 RtABC 中， AB=10 ，BC=6 ， C=90. 由勾股定理得. 在 RtDEF 中， DF=3，EF=4， F=90. 由勾股定理，得. 在 ABC 和 EDF 中， ABC EDF(三边对应成比例，两三角形相似). 总结升华：(1)本题易错为只看3，6， 4，10 四条线段不成比例就判定两三角形不相似.利用三边判定两三角形相似，应看三角形的三边是否对应成比例，而不是两边. (2)本题也可以只求出AC 的长，利用两组对应边的比相等，且夹角相等，判定两三角形相似. 4如图所示，点D 在 ABC 的边 AB 上，满足怎样的条件时，ACD 与 ABC 相似？试分别加以列举. 思路点拨： 此题属于探索问题，由相似三角形的识别方法可知，ACD 与 ABC 已有公共角 A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的识别方法寻找一个条件即可. 解： 当满足以下三个条件之一时，ACD ABC. 条件一： 1=B. 条件二： 2=ACB. 条件三：，即. 总结升华： 本题的探索钥匙是相似三角形的识别方法.在探索两个三角形相似时，用分析法， 可先假设 ACD ABC ，然后寻找两个三角形中边的关系或角的关系即可.本题易错为出现条件四：.不符合条件“最小化”原则，因为条件三能使问题成立，所以出现条件四是错误的. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页举一反三【变式 1】已知：如图正方形ABCD 中， P 是 BC 上的点 ，且 BP=3PC，Q 是 CD 的中点求证： ADQ QCP思路点拨： 因 ADQ 与 QCP 是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ 与 PQ 是否垂直，所以不能用两个角对应相等判定而四边形ABCD 是正方形， Q 是 CD 中点，而 BP=3PC，所以可用对应边成比例夹角相等的方法来判定具体证明过程如下：证明 ：在正方形ABCD 中， Q 是 CD 的中点，=2 =3，=4 又 BC=2DQ ，=2 在 ADQ 和 QCP 中，=， C=D=90， ADQ QCP【变式 2】如图， 弦和弦相交于内一点，求证：. 思路点拨： 题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用. 证明： 连接，. 在. 【变式 3】已知：如图，AD 是 ABC 的高， E、F 分别是 AB、AC 的中点求证： DFE ABC 思路点拨： EF 为 ABC 的中位线， EF=BC，又 DE 和 DF 都是直角三角形斜边上的中线， DE=AB ，DF=AC因此考虑用三边对应成比例的两个三角形相似精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页证明： 在 Rt ABD 中， DE 为斜边 AB 上的中线，DE=AB，即=同理=EF 为 ABC 的中位线，EF=BC，即=DFE ABC 总结升华： 本题证明方法较多，可先证EDF= EDA+ ADF= EAD+ FAD= BAC ，再证夹这个角的两边成比例， 即=， 也可证明 FED= EDB= B， 同理 EFD=FDC= C， 都可以证出 DEF ABC 类型三、相似三角形的性质5 ABC DEF，若 ABC 的边长分别为5cm、6cm、 7cm，而 4cm 是 DEF 中一边的长度，你能求出DEF 的另外两边的长度吗？试说明理由. 思路点拨： 因没有说明长4cm 的线段是 DEF 的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论. 解： 设另两边长是xcm，ycm，且 xy. (1)当 DEF 中长 4cm 线段与 ABC 中长 5cm 线段是对应边时，有，从而 x=cm，y=cm. (2)当 DEF 中长 4cm 线段与 ABC 中长 6cm 线段是对应边时，有，从而 x=cm， y=cm. (3)当 DEF 中长 4cm 线段与 ABC 中长 7cm 线段是对应边时，有，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页从而 x=cm，y=cm. 综上所述， DEF 的另外两边的长度应是cm,cm 或cm，cm 或cm，cm 三种可能 . 总结升华： 一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类. 6如图所示，已知ABC 中， AD 是高，矩形EFGH 内接于 ABC 中，且长边FG 在 BC 上，矩形相邻两边的比为1：2，若 BC=30cm ，AD=10cm. 求矩形 EFGH 的面积 . 思路点拨： 利用已知条件及相似三角形的判定方法及性质求出矩形的长和宽，从而求出矩形的面积. 解： 四边形 EFGH 是矩形，EHBC， AEH ABC. AD BC，AD EH，MD=EF. 矩形两邻边之比为1： 2，设 EF=xcm，则 EH=2xcm. 由相似三角形对应高的比等于相似比，得，. EF=6cm， EH=12cm. . 总结升华： 解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高. 举一反三【变式 1】 ABC 中， DE BC，M 为 DE 中点， CM 交 AB 于 N，若，求. 解： DE BC ， ADE ABC M 为 DE 中点，DM BC ， NDM NBC =1：2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页总结升华： 图中有两个“” 字形，已知线段AD 与 AB 的比和要求的线段ND 与 NB 的比分别在这两个 “”字形，利用M 为 DE 中点的条件将条件由一个“”字形转化到另一个“”字形，从而解决问题. 类型四、相似三角形的应用7如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B 之间的距离 (即河宽 ) ，你有什么方法？方案 1：如上左图，构造全等三角形，测量CD，得到 AB=CD ，得到河宽 . 方案 2：思路点拨： 这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条. 如上右图， 先从 B 点出发与 AB 成 90角方向走50m 到 O 处立一标杆， 然后方向不变， 继续向前走10m 到C 处，在 C 处转 90，沿 CD 方向再走17m 到达 D 处，使得A、O、D 在同一条直线上那么A、B 之间的距离是多少？解： AB BC，CDBC ABO= DCO=90 又 AOB= DOC AOB DOC BO=50m ，CO=10m，CD=17m AB=85m 答： 河宽为 85m总结升华： 方案 2 利用了“”型基本图形，实际上测量河宽有很多方法，可以用“”型基本图形，借助相似；也可用等腰三角形等等. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页举一反三【变式 1】如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m(1)图中 ABC 与 ADE 是否相似 ?为什么 ? (2)求古塔的高度解： (1)ABC ADE BCAE，DE AE ACB= AED=90 A=A ABC ADE (2)由(1)得 ABC ADE AC=2m ，AE=2+18=20m ，BC=1.6m DE=16m 答： 古塔的高度为16m. 【变式2】已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m 宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离 CE=1.2m，窗口高AB=1.8m ，求窗口底边离地面的高BC？思路点拨： 光线 AD/BE ，作 EF DC 交 AD 于 F.则，利用边的比例关系求出BC. 解： 作 EFDC 交 AD 于 F.因为 AD BE，所以又因为，所以，所以. 因为 AB EF， AD BE，所以四边形ABEF 是平行四边形，所以EF=AB=1.8m. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页所以m. 类型五、相似三角形的周长与面积8已知：如图，在ABC 与 CAD 中， DA BC，CD 与 AB 相交于 E 点，且 AEEB=12，EFBC 交AC 于 F 点， ADE 的面积为1，求 BCE 和 AEF 的面积思路点拨： 利用 ADE BCE ，以及其他有关的已知条件，可以求出BCE 的面积 ABC 的边 AB 上的高也是 BCE 的高，根据ABBE=3 2，可求出 ABC的面积最后利用AEF ABC ，可求出 AEF的面积解： DA BC，ADE BCESADESBCE=AE2BE2AEBE=12，SADESBCE=14SADE=1，SBCE=4SABCSBCE=AB BE=32，SABC=6EFBC，AEF ABC AEAB=1 3，SAEFSABC=AE2AB2=19SAEF=总结升华： 注意，同底 (或等底 )三角形的面积比等于这底上的高的比；同高(或等高 )三角形的面积比等于对应底边的比当两个三角形相似时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相似比的平方举一反三【变式 1】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1200 和 1500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比. 解： 设原地块为 ABC ，地块在甲图上为A1B1C1，在乙图上为A2B2C2. ABC A1B1C1 A2B2C2且，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页. 【变式 2】如图，已知：ABC 中， AB=5 ，BC=3 ，AC=4 ，PQ/AB ， P点在 AC 上(与点 A、C 不重合 )，Q点在 BC 上(1)当 PQC 的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长；(2)当 PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；解： (1)SPQC=S四边形PABQ SPQC：SABC=1： 2 PQAB ， PQC ABC SPQC：SABC=(CP：CA)2=1： 2 CP2=42， CP=. (2)SPQC的周长与四边形PABQ 的周长相等， PC+CQ=PA+AB+QB=(ABC 的周长 )=6 PQAB ， PQC ABC ，即：解得， CP=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页类型六、综合探究9如图， ABCD， A=90 ， AB=2 ，AD=5 ，P 是 AD 上一动点 (不与 A、D 重合 )，PEBP，P 为垂足，PE 交 DC 于点 E，(1)设 AP=x ，DE=y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并指出x 的取值范围；(2)请你探索在点P 运动的过程中，四边形ABED 能否构成矩形？如果能，求出AP 的长；如果不能，请说明理由 . 解： (1)AB CD ， A+ D=180 A=90， D=90 ， A=D 又 PEBP ， APB+ DPE=90，又 APB+ ABP=90 ， ABP= DPE， ABP DPE ，即(2)欲使四边形ABED 为矩形，只需DE=AB=2 ，即，解得，均符合题意，故AP=1 或 4. 总结升华：(1)求以线段长为变量的两个函数间的关系时，常常将未知线段和已知线段作为三角形的边，利用相似三角形的知识解决. (2)解决第 (2)小问时要充分挖掘运动变化过程中点的特殊位置，再转化为具体的数值，通过建立方程解决，体现了数形结合的思想. 10如图，在 ABC 中， BC=2 ，BC 边上的高AD=1 ，P 是 BC 上任意一点， PEAB 交 AC 于 E，PFAC交 AB 于 F. (1)设 BP=， PEF 的面积为，求与的函数解析式和的取值范围；(2)当 P 在 BC 边上什么位置时，值最大 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页解： (1)BC=2 ， BC 边上的高AD=1 ABC 的面积为1 PFAC ， BFP BAC ，同理 CEP CAB ， PEAB ， PFAC，四边形PFAE 为平行四边形. (2)当时，即 P 点在 BC 边的中点时，值最大 . 总结升华： 建立三角形的面积与线段长之间的函数关系，可考虑从以下几方面考虑：(1)从面积公式入手；(2)从相似三角形的性质入手；将面积的比转化为相似比的平方；(3)从同底或等高入手，将面积比转化为底之比或高之比. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页