3.2平面向量基本定理问题问题引航引航1.1.平面向量基本定理的内容是什么？平面向量基本定理的内容是什么？2.2.怎样用已知向量表示未知向量？怎样用已知向量表示未知向量？平面向量基本定理与基底平面向量基本定理与基底(1)(1)平面向量基本定理：平面向量基本定理：(2)(2)基底：成为基底的条件：向量基底：成为基底的条件：向量e1 1, ,e2 2_._.条件条件 结论结论 e1 1, ,e2 2是同一平面内的两是同一平面内的两个个_向量向量a是该平面内的是该平面内的_向量向量 存在唯一一对实数存在唯一一对实数1 1, ,2 2，使得，使得a= =_ 不共线不共线任一任一1 1e1 1+2 2e2 2不共线不共线1 1判一判判一判 ( (正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”) )(1)(1)平面内的两个向量平面内的两个向量e1 1, ,e2 2，对于任一向量，对于任一向量a，都有，都有a=1 1e1 1+ +2 2e2 2(1 1,2 2R).( )R).( )(2)(2)基底中可以含有零向量基底中可以含有零向量.( ).( )(3)(3)向量向量e1 1- -e2 2，- -e1 1+ +e2 2可以作为一组基底可以作为一组基底.( ).( )2 2做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) )(1)(1)在平面向量基本定理中在平面向量基本定理中, ,若若a= =0, ,则则1 1=2 2=_.=_.(2)(2)在平面向量基本定理中在平面向量基本定理中, ,若若ae1 1, ,则则2 2=0=0；若；若ae2 2, ,则则1 1=_=_ _ _ _ _ _. .(3)(3)当向量当向量a与与b共线时，这两向量的夹角共线时，这两向量的夹角=_=_ _ _ _ _ _. .【解析解析】1.(1)1.(1)错误错误. .当当e1 1, ,e2 2共线时不一定成立共线时不一定成立. .(2)(2)错误错误. .零向量与任意向量共线，因此基底中不能含有零向量零向量与任意向量共线，因此基底中不能含有零向量. .(3)(3)错误错误. .因为因为e1 1e2 2=-(=-(e1 1+ +e2 2) )，两向量共线，所以不能作为，两向量共线，所以不能作为一组基底一组基底. .答案：答案：(1)(1) (2) (2) (3) (3)2.(1)2.(1)当当a= =0，即，即1 1e1 1+2 2e2 2= =0时时, ,因为因为0 0e1 1+0+0e2 2= =0, ,所以根据所以根据实数实数1 1, , 2 2相对于基底相对于基底e1 1, ,e2 2唯一性知唯一性知1 1=2 2=0.=0.答案：答案：0 0(2)(2)当当ae1 1时时, ,a=e1 1=1 1e1 1+2 2e2 2, ,所以根据实数所以根据实数1 1, , 2 2相对相对于基底于基底e1 1, ,e2 2唯一性知唯一性知1 1=,=,2 2=0.=0.同理可知当同理可知当ae2 2时时1 1=0.=0.答案：答案：0 0(3)(3)当向量当向量a与与b共线，即两向量同向时夹角共线，即两向量同向时夹角=0=0，反向时夹，反向时夹角角=180=180. .答案：答案：0 0或或180180【要点探究要点探究】知识点知识点 平面向量基本定理平面向量基本定理对平面向量基本定理的理解对平面向量基本定理的理解(1)(1)基底是同一平面内的两个不共线向量基底是同一平面内的两个不共线向量. .(2)(2)对给定的向量对给定的向量a，实数，实数1 1，2 2相对于基底相对于基底e1 1，e2 2是唯一的是唯一的. .但是向量但是向量a对于不同的基底可以有不同的表示，即对应不同的对于不同的基底可以有不同的表示，即对应不同的实数实数1 1,2 2. .(3)(3)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构，即同一平平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构，即同一平面内任意三个不共线向量之间的关系是其中任何一个向量都可面内任意三个不共线向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合以表示为其他两个不共线向量的线性组合. .根据需要，只要选根据需要，只要选取的两向量不共线都可作为基底取的两向量不共线都可作为基底. .【知识拓展知识拓展】直线方程的向量表示式直线方程的向量表示式如图，点如图，点P P在在l上，上，所以存在所以存在t t使使所以所以= =反过来，设点反过来，设点P P满足满足则则 即即P P在在l上上. .所以满足所以满足 的点的点P P一定在一定在l上上. .【微思考微思考】平面向量基本定理与向量的线性运算有何关系？平面向量基本定理与向量的线性运算有何关系？提示：提示：平面向量基本定理体现了向量的线性运算，即用两个不平面向量基本定理体现了向量的线性运算，即用两个不共线向量的线性运算表示平面内任一向量共线向量的线性运算表示平面内任一向量. .【即时练即时练】1.1.如图所示，向量如图所示，向量 可用向量可用向量e1 1, ,e2 2表示为表示为_._.2.2.已知已知e1 1和和e2 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中能作为一组基底的是组向量中能作为一组基底的是_ _ _ _ _ _ _. .e1 1和和e1 1+ +e2 2； e1 1+ +e2 2和和e1 1- -e2 2；e1 1-2-2e2 2和和4 4e2 2-2-2e1 1； e1 1和和e1 1- -e2 2. .3.3.平行四边形平行四边形ABCDABCD中，点中，点E E是是BCBC的中点，用向量的中点，用向量 作为基作为基底表示向量底表示向量 =_.=_.【解析解析】1.1.由图可知，由图可知， =4=4e1 1+3+3e2 2. .答案：答案： =4=4e1 1+3+3e2 22.2.由向量加法的平行四边形法则可知向量由向量加法的平行四边形法则可知向量e1 1，e1 1e2 2，e1 1+ +e2 2两两不共线，而两两不共线，而4 4e2 2-2-2e1 1=-2(=-2(e1 1-2-2e2 2) )，所以，所以e1 1-2-2e2 2与与4 4e2 2-2-2e1 1共线，故可以构成一组基底的是共线，故可以构成一组基底的是e1 1和和e1 1+ +e2 2，e1 1+ +e2 2和和e1 1- -e2 2，e1 1和和e1 1e2 2. .答案答案：3.3.答案答案: :【题型示范题型示范】类型一类型一 向量的分解与作图向量的分解与作图【典例典例1 1】(1)(2013(1)(2013广东高考广东高考) )设设a是已知的平面向量且是已知的平面向量且a0，关于向量，关于向量a的分解，有如下四个命题：的分解，有如下四个命题：给定向量给定向量b，总存在向量，总存在向量c，使，使a= =b+ +c；给定向量给定向量b和和c，总存在实数，总存在实数和和，使，使a= =b+c；给定单位向量给定单位向量b和正数和正数，总存在单位向量，总存在单位向量c和实数和实数，使，使a= =b+c；给定正数给定正数和和，总存在单位向量，总存在单位向量b和单位向量和单位向量c，使，使a= =b+c. .上述命题中的向量上述命题中的向量b，c和和a在同一平面内且两两不共线，则真在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是命题的个数是( )( )A A1 B1 B2 C2 C3 D3 D4 4(2)(2)如图所示，已知向量如图所示，已知向量e1 1, ,e2 2, ,a= =e1 1+2+2e2 2, ,b=2=2e1 1+ +e2 2, ,作出向量作出向量a- -b. .【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中中a分解的依据是什么分解的依据是什么? ?2.2.题题(2)(2)中两个向量的差能否直接用向量减法法则作图？中两个向量的差能否直接用向量减法法则作图？【探究提示探究提示】1.1.a向量的分解的依据是平面向量基本定理向量的分解的依据是平面向量基本定理. .2.2.不能不能. .需先作需先作a，b，再利用向量运算法则作出，再利用向量运算法则作出a- -b. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选B.B.利用向量加法的三角形法则，易得利用向量加法的三角形法则，易得是是真命题；利用平面向量基本定理，易得真命题；利用平面向量基本定理，易得是真命题；以是真命题；以a的终的终点为圆心点为圆心, ,作半径为作半径为的圆，这个圆必须和向量的圆，这个圆必须和向量b有交点，这有交点，这个不一定能满足，个不一定能满足，是假命题；由向量加法的三角形法则是假命题；由向量加法的三角形法则( (不不共线两边的和大于第三边共线两边的和大于第三边) )，即，即| |b|+|+|c|=|=+|a| |，而给，而给定的定的和和不一定满足此条件，所以不一定满足此条件，所以是假命题是假命题. .(2)(2)根据题意，可先作根据题意，可先作a，b，再作，再作a- -b. .作法：作法：如图所示，任取一点如图所示，任取一点O O，作，作作平行四边形作平行四边形OAECOAEC，连接，连接OFOF，OEOE，则则连接连接EFEF，则，则 就是所求的向量就是所求的向量a- -b. .【方法技巧方法技巧】平面向量基本定理在作图中的应用平面向量基本定理在作图中的应用(1)(1)利用向量共线定理画出与基向量共线的向量利用向量共线定理画出与基向量共线的向量. .(2)(2)利用向量的平行四边形法则合成待求向量利用向量的平行四边形法则合成待求向量. .【变式训练变式训练】如图，平面内有三个向量如图，平面内有三个向量 其中其中与与 的夹角为的夹角为150150， 与与 的夹角为的夹角为6060，| |=| |=| |=2| |=2，| |=2 | |=2 ，若，若 ( (,R,R) )，则则-的值是的值是_【解析解析】过过C C分别作分别作OA,OBOA,OB的平行线交的平行线交OB,OAOB,OA于于E,DE,D，则四边形，则四边形EODCEODC为平行四边形，为平行四边形，在在CODCOD中，中，OC= OC= ，COD=60COD=60，OCD=EOC=90OCD=EOC=90，所以，所以OD=2OC= OD=2OC= ，而，而OA=2OA=2，所以，所以在在COECOE中，中，OC= OC= ，OCE=60OCE=60，EOC=90EOC=90，所以，所以OE=OE=OCtOCta an n 60 60=6=6，而，而OB=2OB=2，所以，所以所以所以所以所以= ，=3=3，所以，所以-=-= -3.-3.答案：答案： -3-3【补偿训练补偿训练】如图所示，已知基向量如图所示，已知基向量a，b，求作向量，求作向量3 3a-2-2b. .【解析解析】作法：作法：(1)(1)如图所示，在平面内任取一点如图所示，在平面内任取一点O O，作，作(2)(2)作平行四边形作平行四边形OACBOACB，连接，连接OCOC，则，则 就是求作的向量就是求作的向量. .类型二类型二 用基底表示向量用基底表示向量【典例典例2 2】(1)(2014(1)(2014商洛高一检测商洛高一检测) )如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，中， 则则 =_(=_(用用a, ,b表示表示).).(2)(2)如图，已知梯形如图，已知梯形ABCDABCD中，中，ABCDABCD，且，且AB=2CDAB=2CD，E E，F F分别是分别是DCDC，ABAB的中点，设的中点，设 试用试用a, ,b表示表示【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中向量中向量 与与 的关系是什么？的关系是什么？2.2.题题(2)(2)中四边形中四边形AFCDAFCD是什么四边形？是什么四边形？【探究提示探究提示】1.1.2.2.四边形四边形AFCDAFCD是平行四边形是平行四边形. .【自主解答自主解答】(1)(1)答案：答案：(2)(2)因为因为DCABDCAB，AB=2DCAB=2DC，E E，F F分别是分别是DCDC，ABAB的中点，所以四的中点，所以四边形边形AFCDAFCD为平行四边形，为平行四边形，所以所以所以所以【延伸探究延伸探究】本例本例(1)(1)中，若中，若 其他条件不变，其他条件不变，则则 =_.=_.【解析解析】答案：答案：【方法技巧方法技巧】应用平面向量基本定理时的关注点应用平面向量基本定理时的关注点(1)(1)充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角充分利用向量的加法、减法的法则，在平行四边形、三角形中确定向量的关系形中确定向量的关系. .(2)(2)应用数乘向量时特别注意线段的比例关系，如中点、三等应用数乘向量时特别注意线段的比例关系，如中点、三等分点等分点等. .(3)(3)一个重要结论：设一个重要结论：设a，b是同一平面内的两个不共线的向是同一平面内的两个不共线的向量，若量，若x x1 1a+y+y1 1b=x=x2 2a+y+y2 2b, ,则有则有【变式训练变式训练】如图所示，如图所示，D D，E E是是ABCABC中中ABAB，ACAC边的中点，边的中点，M M，N N分别是分别是DEDE，BCBC的中点，已知的中点，已知 = =a， = =b，试用，试用a，b分别表分别表示示 和和【解题指南解题指南】因为因为D,ED,E是是ABCABC中中AB,ACAB,AC边的中点，所以边的中点，所以DEDE BC BC，故，故 可表达；可表达； 和和 在在ABCABC中，由向量的共线中，由向量的共线和三角形法则表达即可和三角形法则表达即可. .【解析解析】由三角形中位线定理，知由三角形中位线定理，知DE BCDE BC故故 即即=-=-a+ +b+ + a=- =- a+ +b, ,【误区警示误区警示】在利用向量加法的三角形法则表示向量时在利用向量加法的三角形法则表示向量时，容易，容易将向量的方向弄反，解题时要特别注意将向量的方向弄反，解题时要特别注意. .【补偿训练补偿训练】在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，中，已知已知 则则 =( )=( )【解析解析】选选C.C.如图，在三角形如图，在三角形ABEABE中，有中，有 其中其中所以所以 故选故选C.C.【规范解答规范解答】平面向量基本定理的综合应用平面向量基本定理的综合应用【典例典例】(12(12分分) )在在ABCABC中，中，AMAB=13,ANAC=14,BNAMAB=13,ANAC=14,BN与与CMCM交于点交于点E E， 用用a, ,b表示表示【审题审题】抓信息，找思路抓信息，找思路【解题解题】明步骤，得高分明步骤，得高分【点题点题】警误区警误区，促提升，促提升失分点失分点1 1：未能设出：未能设出处的比例关系，从而无法表示出处的比例关系，从而无法表示出则会导致不得分则会导致不得分. .失分点失分点2 2：处处 的表达式不准确导致的表达式不准确导致,t,t值求错，考试时最值求错，考试时最多得多得5 5分分. .失分点失分点3 3：未能根据向量表示的唯一性列出：未能根据向量表示的唯一性列出处的方程组，导处的方程组，导致无法求出参数致无法求出参数,t,t的值，考试时最多得的值，考试时最多得7 7分分. .【悟题悟题】提措施，导方向提措施，导方向1.1.强化待定系数法在表示向量中的应用强化待定系数法在表示向量中的应用当图中某些点位置关系不明确时，应先设出系数关系，表示出当图中某些点位置关系不明确时，应先设出系数关系，表示出向量后再确定系数向量后再确定系数. .如本例中交点如本例中交点E E的比例关系未知，需先设出的比例关系未知，需先设出后再求后再求. .2.2.向量表示的唯一性是确定参数的重要方法向量表示的唯一性是确定参数的重要方法当当a, ,b不共线时，若不共线时，若x xa+y+yb= =m ma+n+nb, ,则则x=x=m,ym,y=n=n，常用来确定相，常用来确定相关参数的值，如本例中利用关参数的值，如本例中利用 表示的唯一性求表示的唯一性求,t,t的值的值. .【类题试解类题试解】已知三角形已知三角形OBCOBC中，点中，点A A是是BCBC的中点，的中点，D D是是OBOB上的点，且上的点，且OD=2DBOD=2DB，DCDC和和OAOA交于点交于点E E，设，设(1)(1)用用a, ,b表示向量表示向量(2)(2)若若 求实数求实数的值的值. .【解析解析】(1)(1)因为因为A A是是BCBC的中点，所以的中点，所以因为因为 所以所以 所以所以所以所以(2)(2)设设 因为因为又因为又因为因为因为 =2=2a- -b, ,故故解得解得