圆锥曲线知识总结一、椭圆1、定义： 第一定义： 到两定点 F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|) 的点 P的轨迹 ,即：)2(21aPFPF(2a|F1F2) 注意：若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹为线段21FF；若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹无图形. 第二定义： 到定点与到定直线的距离之比为定值e 的点的轨迹 . （0eb0）其中222bac；焦点在 y 轴上的方程：22221yxab（ab0）其中222bac；参数方程：cossinxayb3、几何性质：标准方程22221xyab（ab0）22221yxab（ab0）简图中心O（0，0）O（0，0）顶点（ a,0) (0,b) (0,a) （ b,0) 焦点(c,0) 222bac(0,c) 222bac焦距2c|21FF2c|21FF离心率e =ca(0e1) e越接近 1 椭圆越扁；e越接近 0 椭圆越圆；e =ca(0e1) e越接近 1 椭圆越扁；e越接近 0 椭圆越圆；对称轴x 轴， y 轴x 轴， y 轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页xOy范围-axa,-byb -aya,-b xb 准线方程x=a2cy=a2c焦半径aex0aey04、基本概念：焦半径：椭圆的点到焦点的距离焦点弦：过焦点的直线割椭圆所成的相交弦通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦5、直线与椭圆：凡涉及直线与椭圆的问题，通常设出直线与椭圆的方程，将二者联立，消去x 或 y，得到关于 y 或 x 的一元二次方程， 再利用根与系数的关系及根的判别式等知识来解决，需要有较强的综合应用知识解题的能力。二、双曲线1、定义 ：第一定义： 到两定点 F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a|F1F2|) 的点的轨迹，即|PF1|-|PF2|=2a (2a1）即：ePHPF|22、标准方程 ：焦点在 x 轴上的方程：22221xyab（ a0，b0） ；焦点在 y 轴上的方程：22221yxab（ a0，b0） ；3、几何性质 ：标准方程22221xyab（a0，b0）22221yxab（a0， b0）简图中心O（0，0）O（0，0）顶点（ a,0）(0, a) 焦点(c,0) 222bac(0, c) 222bac焦距2c|21FF2c|21FF2F1FH x 2axcOyP 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页离心率e =ca(e1) e 越大开口就越开阔e =ca(e1) e 越大开口就越开阔范围x a或 x -a ya 或 y-a 准线方程x=a2cy=a2c渐近线y=bax y=abx 焦半径P(x0,y0)在右支上时：|PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a; P(x0,y0)在左支上时：|PF1|= -ex0-a,|PF2|= -ex0+a; P(x0,y0)在上支上时：|PF1|=ey0+a,|PF2|=ey0-a; P(x0,y0)在下支上时：|PF1|= -ey0-a,|PF2|= -ey0+a; 4、基本概念：等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线，即x2-y2=( R, 0)：渐近线是y=x,离心率为：2 ；注意；椭圆中：c2=a2-b2, 而在双曲线中 :c2=a2+b2, 焦半径：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径焦点弦：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦5、直线与双曲线：讨论双曲线与直线的位置关系时通常有两种处理方法：代数法：通常设出直线与双曲线的方程，将二者联立，消去x 或 y，得到关于y 或 x 的一元二次方程，再利用根与系数的关系及根的判别式等知识来解决，数形结合法。注意直线与双曲线有两个交点时，两交点可能在双曲线的一支上，也可能在两支上。三、抛物线1、定义： 在平面内到定点（焦点F）与定直线（准线l）的距离相等的点的轨迹（其中 e=1，注意：定点F 不能在定直线L 上）2、几何性质：pxy22pxy22pyx22pyx22图形yxOyxOyxOyxO焦点)0 ,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF准线2px2px2py2py范围Ryx,0Ryx,00, yRx0, yRx对称轴x 轴y 轴顶点（0,0 ）离心率1e焦半径12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF3、基本概念：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，故p 为正数； 注意：通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的4、抛物线与直线： （同上双曲线与 椭圆 ）四、圆锥曲线的统一定义平面内的动点y)P(x,到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e 0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。当 0e1 时，轨迹为椭圆；当 e=1 时，轨迹为抛物线；当 e1 时，轨迹为双曲线。五、常用公式整理1、平面上两点间的距离公式：设),(),(2211yxByxA和则 A 与 B 两点间的距离为：221221)()(yyxxAB2、线段的中点坐标公式：设),(),(2211yxByxA和，线段AB的中点M ()xy，则222121yyyxxx3、点到直线的距离公式：点P00()xy，到直线220(0)AxbycAB的距离是0022|AxBycdAB；4、一元二次方程：，则根与系数的关系是和的两个根是212)0(0xxacbxaxacxxabxx21215、弦长公式：2122124)(1|xxxxkAB6、直线的斜率：21212211),(),(2)( tank (1)xxyykyxyx则该直线的斜率和已知直线上的两点坐标为直线的倾斜角其中7、直线的方程（1） 、点斜式：直线l经过点),(000yxP，且斜率为k，其方程是)(00xxkyy（2） 、斜截式：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为),0(b，其方程是bkxy（3） 、两点式：已知两点),(),(222211yxPxxP其中),(2121yyxx，其方程是121121xxxxyyyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页（4） 、 截距式： 直线l与x轴的交点为A)0,(a，与y轴的交点为B), 0(b，0,0 ba，其方程是1byax（5） 、一般式：关于yx,的二元一次方程0CByAx（A，B 不同时为0）8、两条直线的平行与垂直：若已知直线方程为111:bxkyl与222:bxkyl则2121/kkll且21bb，12121kkll9、两条平行线间的距离：平行直线1l和2l的一般式方程为1l：01CByAx，2l：02CByAx，则1l2l的距离为2221BACCd10、圆的标准方程：222()()xaybr圆心为b)A(a,半径为r六、典题讲解1、若焦点在x轴上的椭圆1222myx的离心率为21，则 m=（） A3B23C38D322、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）(A)2(B)22(C) 21(D)423、双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2 倍，则m（） A14 B4 C4 D144、抛物线y=4x2上的一点 M 到焦点的距离为1，则点 M 的纵坐标是 ( ) A.1716B.1516C.78D.0 5、抛物线2yx上的点到直线4380xy距离的最小值是（） A 43 B75 C85 D 36、2.过抛物线xy42的焦点作直线交抛物线于),(),(2211yxByxA,若621xx,那么AB等于A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 7、 已知椭圆 C的焦点 F1（22，0）和 F2（22，0） ，长轴长6，设直线2xy交椭圆 C于 A、B两点，求线段 AB的中点坐标。8、经过双曲线1322yx的左焦点F1作倾斜角为6的弦 AB ，求（1）线段 AB的长；（2）设 F2为右焦点，求ABF2的周长。9、过抛物线4xy2的焦点 F 的直线 l 交抛物线于A、B 两点，求弦AB 的中点的轨迹方程。10、顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线12xy截得的弦长为15，求抛物线的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页