第五章第五章 三角形三角形 复习复习 2.认识三角形的边、内角、顶点。 一、 认识三角形1.了解三角形定义:ABC（1）边上的性质：三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之和大于第三边三角形的任意两边之差小于第三边三角形的任意两边之差小于第三边（2）角上的性质：三角形三内角和等于三角形三内角和等于180度度三角形的一个外角等于和它不相邻的两个三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和内角之和二、三角形的性质ABCD ACD= A + B练一练：练一练：1、下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成、下列每组分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？（单位：厘米。填三角形吗？（单位：厘米。填“能能”或或“不能不能”) 3，4，5（ ） 8，7，15（ ） 13，12，20（ ）5，5，11（ ）不能不能不能不能能能能能直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形3、根据下列条件判断它们是什么三角形？、根据下列条件判断它们是什么三角形？（1）三个内角的度数是）三个内角的度数是1:2:3（ ）（2）两个内角是）两个内角是50和和30（ ）5、已知一个等腰三角形的一边是、已知一个等腰三角形的一边是3cm，一边是，一边是7cm， 这个三角形的周长是这个三角形的周长是 _4、一个三角形的两边长分别是、一个三角形的两边长分别是3和和8，而第三边长为，而第三边长为 奇数，那么第三边长是奇数，那么第三边长是 _ 3、在、在 ABC，AB5，BC9，那么，那么 AC _ （第（第6题）题） （第（第7题）题）6、如上图，、如上图， 1=60， D=20，则，则 A= 度度7、如上图，、如上图，AD BC， 1=40， 2=30，则则 B= 度，度， C= 度度4147或或 917cm10050608.在在 ABC中，如果中，如果 A B 2 C， A B，那么（），那么（）A、 A、 B、 C都不等于都不等于600B、 A600 C、 B600，D、 C600D则则ABC是是 （ ）A.钝角三角形钝角三角形 B.直角三角形直角三角形 C.锐角三角形锐角三角形 D.不能确定不能确定B= 9.在在ABC中中，如果如果A=CB=3 10.在在ABC中中，如果如果A=2C则则ABC是是 （ ）A.钝角三角形钝角三角形 B.直角三角形直角三角形 C.锐角三角形锐角三角形 D.不能确定不能确定BA1.了解三角形的角平分线，中线及高线的概念 三、三角形的中线、角平分线、高线、中垂线的概念三、三角形的中线、角平分线、高线、中垂线的概念BCEABEBE= = =ECEC线段线段线段线段AEAE是是是是三角形三角形三角形三角形BCBC边上的中线边上的中线边上的中线边上的中线. .BCD1 12 2A1 1= = =2 2 线段线段线段线段ADAD是是是是三角形三角形三角形三角形 BACBAC的角平分线的角平分线的角平分线的角平分线. .AB BC CD线段线段线段线段ADAD是是是是BCBC边上的高边上的高边上的高边上的高. .ADBADB= = =ADC =90ADC =90 BCEA直线直线直线直线DEDE是是是是BCBC边上的边上的边上的边上的中垂线中垂线. .DEBDEB= = =DEC =90DEC =90 且且且且 BE=ECBE=ECD D四、三角形三线的性质四、三角形三线的性质1.1.1.1.三角形的三条三角形的三条三角形的三条三角形的三条中线中线中线中线交于一点交于一点交于一点交于一点. . . .（三角形内部）（三角形内部）（三角形内部）（三角形内部）2.2.2.2.三角形的三条三角形的三条三角形的三条三角形的三条角平分线角平分线角平分线角平分线交于一点交于一点交于一点交于一点. . . . （三角形内部）（三角形内部）（三角形内部）（三角形内部）3.3.3.3.三角形的三条三角形的三条三角形的三条三角形的三条高所在直线高所在直线高所在直线高所在直线交于一点交于一点交于一点交于一点锐角三角形的三条高交于同一点锐角三角形的三条高交于同一点锐角三角形的三条高交于同一点锐角三角形的三条高交于同一点. . （三角形内部）（三角形内部）（三角形内部）（三角形内部）直角三角形的三条高交于直角顶点直角三角形的三条高交于直角顶点直角三角形的三条高交于直角顶点直角三角形的三条高交于直角顶点. . （三角形边上或直角顶点）（三角形边上或直角顶点）（三角形边上或直角顶点）（三角形边上或直角顶点）钝角三角形的三条高不相交于一点钝角三角形的三条高不相交于一点钝角三角形的三条高不相交于一点钝角三角形的三条高不相交于一点 钝角三角形的三条高所在直线交于一点钝角三角形的三条高所在直线交于一点钝角三角形的三条高所在直线交于一点钝角三角形的三条高所在直线交于一点（三角形外部）（三角形外部）（三角形外部）（三角形外部）1.如图，在如图，在 ABC中中,BE是边是边AC上的上的中线。已知中线。已知AB=4，AC=3，BE=5， ABE的周长的周长=_.CBAE2.如图如图,CE,CF分别是分别是 ABC的内角平分线和外角平分线的内角平分线和外角平分线,则则 ECF的度数的度数=_度度.BCDFEA练一练练一练:10.590邻补角的角平分线的夹角为邻补角的角平分线的夹角为90度。度。4、如图，在、如图，在 ABC中，中，BD平分平分 ABC，CE是是AB边上的高，边上的高，BD，CE交于点交于点P。已知已知 ABC=600， ACB=700, 求求 ACE， BDC的度数。的度数。400800ABCEDF3.如图，如图，AD、BF都是都是 ABCABC的高线，若的高线，若的高线，若的高线，若CAD=30CAD=30CAD=30CAD=30度，则度，则度，则度，则CBF=_CBF=_CBF=_CBF=_度。度。度。度。30五、三角形全等的判定方法五、三角形全等的判定方法（1）全等三角形的定义）全等三角形的定义（2）边边边公理（）边边边公理（SSS）（3）边角边公理（）边角边公理（SAS）三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等能够完全重合能够完全重合的两个三角形是全等三角形的两个三角形是全等三角形（4）角边角公理（）角边角公理（ASA）两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等（5）角角边公理（）角角边公理（AAS）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等ABCDEF2.5cm3.5cm40403.5cm2.5cm结论：结论：两边及其一边所对的角相等，两两边及其一边所对的角相等，两个三角形个三角形不一定不一定全等全等ASS三个角对应相等的两个三角形不一定全等AAA 不能把不能把“AASAAS”、“ASAASA”简述为简述为“两角两角和一边对应相等的两个三角形全等和一边对应相等的两个三角形全等”？ABCDE在在ADEADE和和ABCABC中中但但ABCABC和和ADEADE不全等不全等结论：说明两个三角形全等时说明两个三角形全等时, ,特别注意特别注意边和边和角角“位置上对应相等位置上对应相等” 。如图如图,已知已知AC平分平分BCDBCD,要说明要说明 ABCADC,还需要增加一个什么条件还需要增加一个什么条件?请说明理由。请说明理由。DCAB或或或或 BAC= DACBC=CD或或或或 B= D4、如图、如图AD=BC，要判定，要判定 ABCCDA，还需要的条件是，还需要的条件是 .ABCD或或BAFCDE如图如图,已知已知AB=ED,AF=CD,EF=BC,说明说明 EFD= BCA的理由。的理由。ACBOD如图:AC和DB相交于点O,若AB=DC，AC=DB，则 B= C,请说明理由请说明理由.思考题：思考题： 角平分线上的任意一点到这个角两边角平分线上的任意一点到这个角两边的距离相等的距离相等角平分线的性质：角平分线的性质：ABPC如图，若点如图，若点如图，若点如图，若点P P是是是是 CABCAB的平分线上的平分线上的平分线上的平分线上一点，并且一点，并且一点，并且一点，并且PBPB ABAB，PCPC ACAC，则有则有 PC=PBPC=PB书写格式书写格式: 点点点点P P是是是是 CABCAB的平分线上一点，的平分线上一点，的平分线上一点，的平分线上一点， PBPB ABAB，PCPC ACAC， PC=PB如图如图,在在 ABC中中, AD是是 BAC的角平分线，的角平分线，DE是是 ABD的高线的高线， C=90C=90 度。若度。若DE=2，BD=3，求线段，求线段BC的长。的长。BDEAC（要求写出完整的解题过程）（要求写出完整的解题过程）四、线段中垂线的性质四、线段中垂线的性质 、 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。ACOBl几何表述：几何表述： 是线段是线段AB的中垂线，点的中垂线，点C在在 上上 CA=CB 如下图，已知如下图，已知如下图，已知如下图，已知 ABCABC中，中，中，中，DEDE是是是是BCBC边上的中垂线，若边上的中垂线，若边上的中垂线，若边上的中垂线，若AC=5AC=5，EC=2EC=2， ADCADC的周长是的周长是的周长是的周长是1313，求，求，求，求 ABCABC的周长。的周长。的周长。的周长。ABCDE 如上图，如上图，EF是是AB的中垂线，分别延长的中垂线，分别延长BE、AE至至D，C，使，使DE=CE，则，则AD与与BC相等吗相等吗? 请说明理由。请说明理由。ABCDEF三角形中线的性质：三角形中线的性质： 三角形的中线把三角形分成两个三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形面积相等的三角形ABCD如图，若如图，若AD是是 ABC中中BC边上的中线，边上的中线，则有则有 ABD的面积的面积= ACD的面积的面积ABCDE如下图，已知如下图，已知如下图，已知如下图，已知ADAD是是是是 ABCABC的中线，的中线，的中线，的中线，CECE是是是是 ADCADC的的的的中线，若中线，若中线，若中线，若 ABCABC的面积是的面积是的面积是的面积是8 8，求，求，求，求 DECDEC的面积。的面积。的面积。的面积。如上图，如上图，如上图，如上图， ABCABC中，点中，点中，点中，点D D是是是是BCBC上的一点，点上的一点，点上的一点，点上的一点，点E E是是是是ADAD上的一点，若上的一点，若上的一点，若上的一点，若BDBD: :CD=2CD=2: :3 3 ，DEDE: :AE=1AE=1: :4 4 ， ABCABC的的的的面积是面积是面积是面积是8 8，求，求，求，求 DECDEC的面积。的面积。的面积。的面积。ABCDE练习练习:1、图中三角形的个数是（、图中三角形的个数是（ ） A. 3个个 B. 4个个 C. 5个个 D. 6个个 EA当增加当增加n条线的时候，有多少个三角形？条线的时候，有多少个三角形？ 2、如图，、如图， 1= 2，AB=CD，AC与与BD相交相交于点于点O，则图中必定全等的三角形有（，则图中必定全等的三角形有（ ） A. 2对对 B. 3对对 C. 4对对 D. 6对对C3.3.有一次柯南看见这样一个图，要计算：有一次柯南看见这样一个图，要计算：A+B+C+D+E+F= A+B+C+D+E+F= 度度BCDAGMHEF3604、已知等腰三角形底边为、已知等腰三角形底边为8，一腰上的中线分此，一腰上的中线分此三角形的周长成两部分，其差为三角形的周长成两部分，其差为2，则腰长为，则腰长为 .5、如图，、如图，AD是是 ABC的高，且的高，且AD平分平分 BAC，请指出请指出 B与与 C的关系，并说明理由的关系，并说明理由。 6或或6 6、要画出、要画出AOBAOB的平分线，分别在的平分线，分别在OAOA，OBOB上截取上截取OC=ODOC=OD，OE=OFOE=OF，连结，连结CFCF，DEDE，交于，交于P P点，那么点，那么AOBAOB的平分线就是射线的平分线就是射线OPOP，要说明这个结论成立，可先，要说明这个结论成立，可先说明说明EODEOD . 理是理是 ，得到得到 OED= ，再说明，再说明 PEC ，理由是，理由是 ，得，得到到PE= ；最后说明；最后说明 EOP ，理由是，理由是 ，从而说明了，从而说明了 AOP= BOP，即，即OP平分平分 AOB。 O7. (1)如图，已知如图，已知 ABC是等腰三角是等腰三角形，形，AB=AC，BD,CE是是 ABC的的_，求证：，求证： BD=CE。 高线高线证明：证明： ，是，是 的高线的高线 ， （）（） .(2) 如图，已知如图，已知 ABC是等腰三角形，是等腰三角形，AB=AC，BDCE是是 ABC的的_，求证：，求证：BD=CE中线中线证明：证明： 又又 ，是中线，是中线 ，而而 又又（）（） (3). 如图，已知如图，已知 ABC是等腰三角形，是等腰三角形，AB=AC，BDCE是是 ABC的的_，求证：，求证：BD=CE角的平分线角的平分线证明：证明： ，是，是 的角平分线的角平分线 ， （）（） 8 8、把两个形状把两个形状,大小都相同的火柴盒如图放置大小都相同的火柴盒如图放置,判断判断AB和和CD两条对角线是否互相垂直两条对角线是否互相垂直,并说明并说明理由理由.你们可要好好动动你们可要好好动动脑哟！脑哟！这是一种什么图形这是一种什么图形变换？变换？