北 师 大 版 数 学 课 件2019 版 教 学 精 品 2 角的概念的推广 1.1.在初中角是如何定义的？在初中角是如何定义的？定义定义1 1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作角角. .顶点顶点边边边边定义定义2 2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫作角到另一个位置所形成的图形叫作角. .A AB BO O顶点顶点始边始边终边终边2.2.角是如何度量的角是如何度量的? ?角的单位是度角的单位是度. .规定规定: :周角的周角的 为为1 1度的角度的角. .3.3.我们学过哪些角我们学过哪些角? ?它们的大小是多少它们的大小是多少? ?锐角锐角: :大于大于0 0度小于度小于9090度度 直角：等于直角：等于9090度度钝角钝角: :大于大于9090度小于度小于180180度度 平角：等于平角：等于180180度度周角：等于周角：等于360360度度 我们以前所学过的角都是大于我们以前所学过的角都是大于0 0度，小于或等于度，小于或等于360360度度的角的角. .生活中很多实例不在生活中很多实例不在0 0360360范围内范围内. .像体操运动员转体像体操运动员转体720720 ，跳水运动员向内、向外转，跳水运动员向内、向外转体体1 0801 080 .本节课我们进一步研究更广泛的角本节课我们进一步研究更广泛的角. .地球绕太阳旋转，角的范围如何来表示？地球绕太阳旋转，角的范围如何来表示？角这就是这节课我们所要学习的内容这就是这节课我们所要学习的内容角角1.1.通过实例深刻理解推广后角的概念通过实例深刻理解推广后角的概念. .( (重点重点) )2.2.理解正角、负角和零角的定义及任意角、象限角理解正角、负角和零角的定义及任意角、象限角的概念的概念. .（重点）（重点）3.3.掌握所有与角掌握所有与角终边相同的角的表示方法终边相同的角的表示方法. .（难点）（难点）探究点探究点1 1 任意角的概念任意角的概念思考思考1 1：下面的角度如何表示？下面的角度如何表示？（）你的手表慢了分钟，想将它校准，（）你的手表慢了分钟，想将它校准，分针应该旋转多少度？分针应该旋转多少度？（）假如你的手表快了（）假如你的手表快了2.52.5小时，想将它校准，小时，想将它校准，分针应该旋转多少度？分针应该旋转多少度？注意：旋转方向和旋转量确定了校准手表的方式注意：旋转方向和旋转量确定了校准手表的方式. .顺时针旋转顺时针旋转3030度度逆时针旋转逆时针旋转900900度度提示：提示：类比正负数可表示具有相反意义的量，对类比正负数可表示具有相反意义的量，对于旋转方向不同的角，我们猜想：也可以用正负于旋转方向不同的角，我们猜想：也可以用正负来表示来表示. .思考思考2 2：类比数系的扩充，思考角的概念是否类比数系的扩充，思考角的概念是否也可以推广也可以推广? ? 逆时针逆时针 顺时针顺时针任意角定义任意角定义：正角：正角：按按逆时针逆时针方向旋转形成的角方向旋转形成的角负角：负角：按按顺时针顺时针方向旋转形成的角方向旋转形成的角零角：零角：一条射线从起始位置一条射线从起始位置OAOA没没有作任何旋转，终止位置有作任何旋转，终止位置OBOB与起与起始位置始位置OAOA重合重合任任意意角角记法：角记法：角 或或 , ,可简记为可简记为 . . 注意角的注意角的旋转方向和旋转方向和旋转量旋转量. .说明说明：1.1.角的正负由角的正负由旋转方向旋转方向决定决定. .2.2.角可以任意大小，其数值的大小由角可以任意大小，其数值的大小由旋转次数旋转次数及及终边位置终边位置决定决定. .这样，我们就把角的概念推广到了任意角这样，我们就把角的概念推广到了任意角. .oyx思考思考1 1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合, ,角的角的始边与始边与x x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？角的终边可能落在哪些位置？ 提示：提示：如图，可以是坐标轴、如图，可以是坐标轴、第一象限、第二象限、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限第三象限、第四象限探究点探究点2 2 象限角象限角象限角象限角1.1.角的顶点与原点重合角的顶点与原点重合; ;2.2.角的始边重合于角的始边重合于x x轴的轴的非负半轴非负半轴; ;则角的终边（除端点外）在则角的终边（除端点外）在第几象限，第几象限，就是就是第第几象限角几象限角. .x xy y O O始边始边终边终边 终边终边 终边终边 终边终边 提示：提示：象限角只能反映角的终边所在象限，不能反象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小映角的大小. .象限角的图形表示象限角的图形表示思考思考2 2：如图所示的角如图所示的角、角角是第几象限角？怎样是第几象限角？怎样判断一个角是第几象限角判断一个角是第几象限角？提示：提示：角角是第一象限角，角是第一象限角，角是第三象限角是第三象限角. .判断方法是将角的顶点与坐标原点重合，角的始判断方法是将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与边与x x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说该角是第几象限角限，就说该角是第几象限角. .坐标轴上的角坐标轴上的角如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限个角不属于任何象限. .例如：角的终边落在例如：角的终边落在x x轴或轴或y y轴上轴上. .坐标轴上的角坐标轴上的角第三象限角第三象限角第四象限角第四象限角第三象限角第三象限角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角第一象限角第一象限角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角象限角象限角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角角角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角按终边的位置分类按终边的位置分类第二象限角第二象限角1.1.锐角是第几象限的角？锐角是第几象限的角？2.2.第一象限的角是否都是锐角？第一象限的角是否都是锐角？3.3.小于小于9090的角都是锐角吗？的角都是锐角吗？答：答：锐角是第一象限的角锐角是第一象限的角. .答：答：第一象限的角并不都是锐角第一象限的角并不都是锐角. .答：答：小于小于9090的角并不都是锐角，它也有可能是零角的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角或负角. .想一想想一想思考思考1 1：在坐标轴上画出在坐标轴上画出3030,390,390,-330,-330, , 它它们有什么共同点和内在们有什么共同点和内在联系？联系？提示：提示：终边相同，且终边相同，且3030=30=30+ 0+ 0360360xyO3030390390-330390390=30=30+360+360-330-330=30=30-360-360=30=30+1+1360360 =30=30-1-1360360探究点探究点3 3 终边相同的角终边相同的角390390,-330,-330两个角都可以表示成两个角都可以表示成3030角与角与k k个周角个周角的和的和, ,其中其中k k为整数为整数. .提示：提示：集合集合思考思考2 2：所有与所有与3030角终边相同的角，连同角终边相同的角，连同3030角角在内，可构成一个集合在内，可构成一个集合S S，你能用描述法表示集合，你能用描述法表示集合S S吗？吗？ 提醒：提醒：所有与所有与3030角终边相同的角，连同角终边相同的角，连同3030角在角在内，都是集合内，都是集合S S的元素；反过来，集合的元素；反过来，集合S S的任一元素的任一元素显然都与显然都与3030角终边相同角终边相同. .终边相同的角的表示终边相同的角的表示所所有有与与角角终终边边相相同同的的角角，连连同同角角在在内内，可可构构成成一个集合：一个集合：S= _.S= _.即即任任何何一一个个与与角角终终边边相相同同的的角角，都都可可以以表表示示成成角角与周角的整数倍的和与周角的整数倍的和. .|=+k|=+k360360,kZ,kZ注意注意: : (1) (1)kZ. .(2)(2)是任意角是任意角. .(3)(3)k k360360与与 之间是之间是“+ +”号，号， 如如k k360360-30-30, ,应看成应看成k k360360+ +（-30-30）. .(4)(4)k的两层含义：的两层含义：特殊性：每对特殊性：每对k k赋一个值可得一个具体角；赋一个值可得一个具体角；一般性：表示了所有与终边一般性：表示了所有与终边重合的角的集合重合的角的集合. .(5)(5)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360360的整数倍的整数倍. .例例1 1 判定下列各角是第几象限角：判定下列各角是第几象限角：（1 1）-60-60. . （2 2）606606. . （3 3） -950-9501212 . .解解: :（1 1）因为因为-60-60角的终边在第四象限，角的终边在第四象限，所以它是第四象限角所以它是第四象限角. . （2 2）因为）因为606606=360=360+246+246, ,所以所以606606与与246246角的终边重合，而角的终边重合，而246246的终边在的终边在第三象限，所以第三象限，所以606606是第三象限角是第三象限角. .（3 3）因为）因为-950-95012 = 12 = （-2-2）360360-230-23012,12,而而-230-2301212的终边在第二象限，所以的终边在第二象限，所以-950-9501212 是第二象限角是第二象限角. . 方法总结方法总结:判断一个角所在象限或不同角之间的终边判断一个角所在象限或不同角之间的终边关系，只要把它们化为关系，只要把它们化为 + k360,k Z，（，（0 360），然后只要考查），然后只要考查 的相关问题即可的相关问题即可. .例例2 2 在直角坐标系中，写出终边在在直角坐标系中，写出终边在y y轴上的角的集轴上的角的集合（用合（用0 0360360的角表示的角表示).).解解: : 在在0 0360360范围内，终边在范围内，终边在y y轴上的角有两个，即轴上的角有两个，即9090与与270270角（如图）角（如图）. .因此，所有与因此，所有与9090角终边相同的角终边相同的角构成集合角构成集合S1 1= =而所有与而所有与270270角终边相同的角构成集合角终边相同的角构成集合S2 2= =于是，终边在于是，终边在y y轴上的角的集合轴上的角的集合S=S1S2= =| =9090+k180180,kZ.| =270270+k360360,kZ解：解：S S = = 丨丨 =k360360+6060,kZ. .S S 中适合中适合-360-360 720720的元素是的元素是: : 60 60-1-1360360 =-300 =-300, , 60 60+0+0360360=60=60, , 60 60+1+1360360=420=420. .例例3 3 写出与写出与6060角角终边相同的角的集合终边相同的角的集合S,S,并把并把S S中适中适合不等式合不等式-360-360 720720 的元素的元素 写出来写出来. .1.1.已知下列各角：已知下列各角：-120-120；-240-240；180180；495495，其中是第二象限角的是，其中是第二象限角的是( )( )A. B. C. D.A. B. C. D.2.2.若若是第四象限角，则是第四象限角，则180180-是第是第_象限角象限角. .D D三三3.3.与与600600角终边相同的角可表示为角终边相同的角可表示为( )( )A.kA.k360360220220(kZ)(kZ)B.kB.k360360240240(kZ)(kZ)C.kC.k3603606060(kZ)(kZ)D.kD.k360360260260(kZ)(kZ)B B4.4.在在0 0360360范围内范围内, ,找出与找出与-990-9901515角终边相角终边相同的角同的角, ,并判定它是第几象限角并判定它是第几象限角. . 解解 : : 因为因为-990-99015= 8915= 8945-345-3360360, ,所以在所以在0 0360360范围内范围内, , 与与-990-9901515角终边相角终边相同的角是同的角是898945, 45, 它是第一象限角它是第一象限角. .5.写出终边落在x轴上的角的集合.解：解：在在0 0360360范围内范围内, ,终边在终边在x x轴上的角有两个轴上的角有两个0 0,180,180. .S S1 1=| | = =k360360, , kZ Z ;与与180180角终边相同的角构成的集合角终边相同的角构成的集合S S2 2=| | =180=180+ +k360360, ,kZ Z =| | =180=180+ +2 2k180180, ,kZ Z .与与0 0角终边相同的角构成的集合角终边相同的角构成的集合S S= =S S1 1S S2 2=| |= =k180180, , kZ Z .回顾本节课的收获回顾本节课的收获1.1.理解角的概念推广的必要性理解角的概念推广的必要性. .2.2.理解任意角和象限角的概念理解任意角和象限角的概念. .3.3.掌握所有与角掌握所有与角终边相同的角的表示方法终边相同的角的表示方法. .不登高山，不知天之高也；不临深谷，不知地之厚也；不闻先王之遗言，不知学问之大也. 荀况