第第2讲讲导数的应用导数的应用最最新新考考纲纲1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题.知 识 梳 理1.函数的单调性与导数已知函数f(x)在某个区间内可导，(1)若f(x)0，则函数yf(x)在这个区间内_；(2)若f(x)0，则函数yf(x)在这个区间内_；(3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是常数函数.单调递增单调递减2.函数的极值与导数条件f(x0)0x0附近的左侧f(x)_0，右侧f(x)_0x0附近的左侧f(x)_0，右侧f(x)_0图像形如山峰形如山谷极值f(x0)为极_值f(x0)为极_值极值点x0为极_值点x0为极_值点大小大小 (2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则_为函数的最小值，_为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则_为函数的最大值，_为函数的最小值.f(a)f(b)f(a)f(b)(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图像是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.3.函数的最值与导数诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)函数的极大值不一定比极小值大.()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件.()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f(x)0.(4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f(x0)0，且x0两侧导数符号异号.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(教材改编)如图是f(x)的导函数f(x)的图像，则f(x)的极小值点的个数为()A.1 B.2C.3 D.4解析由题意知在x1处f(1)0，且其左右两侧导数符号为左负右正.答案A3.函数f(x)exx的单调递增区间是()A.(，1 B.1，)C.(，0 D.(0，)解析令f(x)ex10得x0，所以f(x)的递增区间为(0，).答案D4.函数f(x)ln xax在x1处有极值，则常数a_.答案15.(2014全国卷改编)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是_.答案1，)第第1课时利用导数研究函数的单调性课时利用导数研究函数的单调性规律方法(1)确定函数单调区间的步骤：确定函数f(x)的定义域；求f(x)；解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f(x)0(0(0)成立”.(2)函数f(x)在区间D上递增(减).方法一：转化为“f(x)0(0)在区间D上恒成立”问题；方法二：转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.易错警示对于：处理函数单调性问题时，应先求函数的定义域；对于：h(x)在(0，)上存在递减区间，应等价于h(x)0在(0，)上有解，易误认为“等价于h(x)0在(0，)上有解”，多带一个“”之所以不正确，是因为“h(x)0在(0，)上有解即为h(x)0在(0，)上有解，或h(x)0在(0，)上有解”，后者显然不正确；对于：h(x)在1，4上单调递减，应等价于h(x)0在1，4上恒成立，易误认为“等价于h(x)0，f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.4.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零.