n n塑性理论塑性理论( (塑性力学塑性力学) )：研究金属在塑性状态的力：研究金属在塑性状态的力学行为学行为 假设：假设： 1 1 1 1、变形体连续、变形体连续、变形体连续、变形体连续：可保证应力、应变、位移等：可保证应力、应变、位移等：可保证应力、应变、位移等：可保证应力、应变、位移等均连续，物体没有缺陷，不会突变，无应力集中均连续，物体没有缺陷，不会突变，无应力集中均连续，物体没有缺陷，不会突变，无应力集中均连续，物体没有缺陷，不会突变，无应力集中 2 2 2 2、变形体均质、变形体均质、变形体均质、变形体均质：可保证微元体的物理、化学：可保证微元体的物理、化学：可保证微元体的物理、化学：可保证微元体的物理、化学性质不变性质不变性质不变性质不变 3 3 3 3、各向同性、各向同性、各向同性、各向同性 4 4 4 4、变形瞬间力平衡、变形瞬间力平衡、变形瞬间力平衡、变形瞬间力平衡：初应力为零，可导出平：初应力为零，可导出平：初应力为零，可导出平：初应力为零，可导出平衡方程衡方程衡方程衡方程 5 5 5 5、忽略体积力、忽略体积力、忽略体积力、忽略体积力：可使计算简化，静力平衡系：可使计算简化，静力平衡系：可使计算简化，静力平衡系：可使计算简化，静力平衡系 6 6 6 6、变形前后体积不变、变形前后体积不变、变形前后体积不变、变形前后体积不变n n第一节：第一节：应力分应力分析析n n第二节：第二节：张量的基本知识张量的基本知识n n第三节：主应力和主切应力第三节：主应力和主切应力n n第四节：应力平衡微分方程第四节：应力平衡微分方程n n第五节：应力莫尔圆第五节：应力莫尔圆第一节第一节 应力分析应力分析 一、外力和应力一、外力和应力 1 1 1 1 外外外外力力力力 作作作作用用用用在在在在金金金金属属属属表表表表面面面面的的的的力力力力面面面面力力力力或或或或接触力接触力接触力接触力 作作作作用用用用在在在在金金金金属属属属每每每每个个个个质质质质点点点点上上上上的力的力的力的力体积力体积力体积力体积力镦粗时的受力分析镦粗时的受力分析 在平在平模具间镦粗模具间镦粗 n n 作用力（拉、压、剪切）：上模作用力（拉、压、剪切）：上模作用力（拉、压、剪切）：上模作用力（拉、压、剪切）：上模n n 反作用力（工具对金属作用）下模反作用力（工具对金属作用）下模反作用力（工具对金属作用）下模反作用力（工具对金属作用）下模n n 摩擦力：阻止金属流动摩擦力：阻止金属流动摩擦力：阻止金属流动摩擦力：阻止金属流动 面力面力体体积积力力：与与与与变变变变形形形形体体体体各各各各质质质质点点点点质质质质量量量量成正比的力成正比的力成正比的力成正比的力 重力重力重力重力 磁力磁力磁力磁力 惯性力惯性力惯性力惯性力 n n体积力体积力体积力体积力2 2 2 23 3 3 3，经化简得：经化简得：经化简得：经化简得： l l l l ( ( ( ( 1 1 1 1- - - - 3 3 3 3)()()()( 1 1 1 1- - - - 3 3 3 3)-2()-2()-2()-2( 1 1 1 1- - - - 3 3 3 3)l)l)l)l2 2 2 2+(+(+(+( 2 2 2 2- - - - 3 3 3 3)m)m)m)m2 2 2 2=0=0=0=0 m m m m ( ( ( ( 2 2 2 2- - - - 3 3 3 3)()()()( 2 2 2 2- - - - 3 3 3 3)-2()-2()-2()-2( 1 1 1 1- - - - 3 3 3 3)l)l)l)l2 2 2 2+(+(+(+( 2 2 2 2- - - - 3 3 3 3)m)m)m)m2 2 2 2=0=0=0=0 联立联立联立联立l l l l2 2 2 2+m+m+m+m2 2 2 2+n+n+n+n2 2 2 2=1 =1 =1 =1 ，可得三组方向余弦。，可得三组方向余弦。，可得三组方向余弦。，可得三组方向余弦。 同理，消去同理，消去同理，消去同理，消去l l l l或或或或m m m m ，还可解出另外三组方向余弦。，还可解出另外三组方向余弦。，还可解出另外三组方向余弦。，还可解出另外三组方向余弦。 l ( l ( l ( l ( 1 1 1 1- - - - 3 3 3 3)-2()-2()-2()-2( 1 1 1 1- - - - 3 3 3 3)l)l)l)l2 2 2 2+(+(+(+( 2 2 2 2- - - - 3 3 3 3)m)m)m)m2 2 2 2=0=0=0=0 m( m( m( m( 2 2 2 2- - - - 3 3 3 3)-2()-2()-2()-2( 1 1 1 1- - - - 3 3 3 3)l)l)l)l2 2 2 2+(+(+(+( 2 2 2 2- - - - 3 3 3 3)m)m)m)m2 2 2 2=0=0=0=0（1）l=m=0, n=1, -1，一对主平面，一对主平面， =0。（2） 1 = 2=3 ，球应力状态，球应力状态， =0。（3） 1 2=3 ，l= ，圆柱应力状态，与，圆柱应力状态，与1轴成轴成45角的所有平面都是主角的所有平面都是主切应力平面，比如单向拉伸。切应力平面，比如单向拉伸。（4） 12 3 ，a）l 0, m 0，必有，必有1 = 2， 上式无解上式无解b）l = 0, m 0，斜微分面垂直，斜微分面垂直1主平面，主平面， l = 0, m =n=c）l 0, m= 0，斜微分面垂直，斜微分面垂直2主平面，主平面， l = 0, m =n= 2 2 2 2）主切应力平面上的正应力：）主切应力平面上的正应力：）主切应力平面上的正应力：）主切应力平面上的正应力： 如图如图 所示的坐标平面上，垂直于所示的坐标平面上，垂直于该主平面的主切应力平面有两组，该主平面的主切应力平面有两组，将各组平面的正面和负面都表示将各组平面的正面和负面都表示出来，构成一个四边形，在这个出来，构成一个四边形，在这个主切应力平面上的正应力相等。主切应力平面上的正应力相等。 3 3 3 3）最大切应力）最大切应力）最大切应力）最大切应力 三个主切应力中绝对值最大的三个主切应力中绝对值最大的三个主切应力中绝对值最大的三个主切应力中绝对值最大的一个，也就是过一点所有切面上切一个，也就是过一点所有切面上切一个，也就是过一点所有切面上切一个，也就是过一点所有切面上切应力最大者，叫最大切应力。应力最大者，叫最大切应力。应力最大者，叫最大切应力。应力最大者，叫最大切应力。 123123 1 1 1 1）若若若若 1 1 1 1= = = = 2 2 2 2= = = = 3 3 3 3= = = = + + + + ，即即即即球应力状态球应力状态球应力状态球应力状态时，时，时，时，主切应力为主切应力为主切应力为主切应力为零零零零， 即：即：即：即： 12121212 = = = = 23232323 = = = = 31313131 =0 =0 =0 =0所有方向没有切应力，都是主方向，所有方向力都相等，此所有方向没有切应力，都是主方向，所有方向力都相等，此所有方向没有切应力，都是主方向，所有方向力都相等，此所有方向没有切应力，都是主方向，所有方向力都相等，此时椭球面变成球面。时椭球面变成球面。时椭球面变成球面。时椭球面变成球面。 2 2 2 2） 若三个主若三个主若三个主若三个主应力应力应力应力同时同时同时同时增加或减少一个相同的值时，增加或减少一个相同的值时，增加或减少一个相同的值时，增加或减少一个相同的值时，主切主切主切主切应力应力应力应力值将保持不变。值将保持不变。值将保持不变。值将保持不变。 3 3 3 3） m m m m = ( = ( = ( = ( 1 1 1 1+ + + + 2 2 2 2 + + + + 3 3 3 3)/3= )/3= )/3= )/3= ( ( ( ( x x x x + + + + y y y y + + + + z z z z)/3=J1/3)/3=J1/3)/3=J1/3)/3=J1/3NOTE:NOTE:4.4.4.4.应力球张量和应力偏张量应力球张量和应力偏张量应力球张量和应力偏张量应力球张量和应力偏张量 一个物体受力后要发生变形：体积改变和形状改变。一个物体受力后要发生变形：体积改变和形状改变。一个物体受力后要发生变形：体积改变和形状改变。一个物体受力后要发生变形：体积改变和形状改变。单位体积的改变为：单位体积的改变为：单位体积的改变为：单位体积的改变为：V泊松比E弹性模量 m m = ( = ( 1 1+ + 2 2 + + 3 3)/3= )/3= ( ( x x + + y y + + z z)/3=J1/3)/3=J1/3 mm平均应力，静水应力平均应力，静水应力 物体的体积的改变与平均应力有关。物体的体积的改变与平均应力有关。可将三个正应力分量写成可将三个正应力分量写成可将三个正应力分量写成可将三个正应力分量写成根据张量可叠加和分解的性质，带入张量表达式，即根据张量可叠加和分解的性质，带入张量表达式，即根据张量可叠加和分解的性质，带入张量表达式，即根据张量可叠加和分解的性质，带入张量表达式，即取主轴坐标系取主轴坐标系取主轴坐标系取主轴坐标系式式式式(14-21)(14-21)(14-21)(14-21)中的后一张量中的后一张量中的后一张量中的后一张量ijijijijm m m m ，表示的是一种球应力状态，也称静水应力，表示的是一种球应力状态，也称静水应力，表示的是一种球应力状态，也称静水应力，表示的是一种球应力状态，也称静水应力状态，称为应力球张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同，均为平均状态，称为应力球张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同，均为平均状态，称为应力球张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同，均为平均状态，称为应力球张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同，均为平均应力应力应力应力 m m m m 。球应力状态的特点是在任何切平面上都没有切应力，所以不能。球应力状态的特点是在任何切平面上都没有切应力，所以不能。球应力状态的特点是在任何切平面上都没有切应力，所以不能。球应力状态的特点是在任何切平面上都没有切应力，所以不能使物体产生形状变化，而只能产生体积变化，即不能使物体产生塑性变形。使物体产生形状变化，而只能产生体积变化，即不能使物体产生塑性变形。使物体产生形状变化，而只能产生体积变化，即不能使物体产生塑性变形。使物体产生形状变化，而只能产生体积变化，即不能使物体产生塑性变形。4 4 4 4、应力球张量和应力偏张量、应力球张量和应力偏张量、应力球张量和应力偏张量、应力球张量和应力偏张量设设m为三个正应力分量的平均值，称平均应力（或静水压力），即为三个正应力分量的平均值，称平均应力（或静水压力），即是不变量，与所取的坐标无关。对于一个确定的应力状态，它是单值的。 设应力偏张量应力偏张量应力偏张量应力偏张量 的切应力分量、主切应力、最大切应力及应力主轴等都的切应力分量、主切应力、最大切应力及应力主轴等都的切应力分量、主切应力、最大切应力及应力主轴等都的切应力分量、主切应力、最大切应力及应力主轴等都与原应力张量相同。因此，应力偏张量只使物体产生形状变化，而不能产与原应力张量相同。因此，应力偏张量只使物体产生形状变化，而不能产与原应力张量相同。因此，应力偏张量只使物体产生形状变化，而不能产与原应力张量相同。因此，应力偏张量只使物体产生形状变化，而不能产生体积变化。材料的塑性变形是由应力偏张量引起的。生体积变化。材料的塑性变形是由应力偏张量引起的。生体积变化。材料的塑性变形是由应力偏张量引起的。生体积变化。材料的塑性变形是由应力偏张量引起的。应力偏张量是二阶对称张量，它同样存在三个不变量，分别用应力偏张量是二阶对称张量，它同样存在三个不变量，分别用J1、J 2、J3表示表示对于主轴坐对于主轴坐标系，有标系，有应力张量分解的物理意义可以进一步用图来表示：应力张量分解的物理意义可以进一步用图来表示：应力张量分解的物理意义可以进一步用图来表示：应力张量分解的物理意义可以进一步用图来表示：Note: Note: Note: Note: 1.1.1.1.J J J J1 1 1 1=0=0=0=0，应力分量中已无静水应力成分；应力分量中已无静水应力成分；应力分量中已无静水应力成分；应力分量中已无静水应力成分；2.2.2.2.J J J J2 2 2 2与屈服准则有关；与屈服准则有关；与屈服准则有关；与屈服准则有关；3.3.3.3.J J J J3 3 3 3决决决决定定定定了了了了应应应应变变变变类类类类型型型型（J J J J3 3 3 3=0=0=0=0属属属属于于于于平平平平面面面面应应应应变变变变；J J J J3 3 3 30 0 0 0000属于伸长类应变）。属于伸长类应变）。属于伸长类应变）。属于伸长类应变）。 5.5.八面体应力和等效应力八面体应力和等效应力以受力物体内任一点的主轴为坐标轴，在无限靠近该点处做等倾斜微分面。以受力物体内任一点的主轴为坐标轴，在无限靠近该点处做等倾斜微分面。以受力物体内任一点的主轴为坐标轴，在无限靠近该点处做等倾斜微分面。以受力物体内任一点的主轴为坐标轴，在无限靠近该点处做等倾斜微分面。三个方向余弦相等。三个方向余弦相等。三个方向余弦相等。三个方向余弦相等。L=m=n=L=m=n=L=m=n=L=m=n=在空间八个象限内的等倾微分面构成一个八面体。在空间八个象限内的等倾微分面构成一个八面体。在空间八个象限内的等倾微分面构成一个八面体。在空间八个象限内的等倾微分面构成一个八面体。八面体平面上的应力称八面体应力。八面体平面上的应力称八面体应力。八面体平面上的应力称八面体应力。八面体平面上的应力称八面体应力。主应力平面、主切应力平面和八面体平面都是一点应力状态的特殊平面。这主应力平面、主切应力平面和八面体平面都是一点应力状态的特殊平面。这主应力平面、主切应力平面和八面体平面都是一点应力状态的特殊平面。这主应力平面、主切应力平面和八面体平面都是一点应力状态的特殊平面。这些平面上的应力值，对研究一点的应力状态有重要作用。些平面上的应力值，对研究一点的应力状态有重要作用。些平面上的应力值，对研究一点的应力状态有重要作用。些平面上的应力值，对研究一点的应力状态有重要作用。对于任意坐标系，对于任意坐标系，对于任意坐标系，对于任意坐标系，取八面体切应力的取八面体切应力的取八面体切应力的取八面体切应力的 倍称为等效应力，或称广义应力或应力强度。倍称为等效应力，或称广义应力或应力强度。倍称为等效应力，或称广义应力或应力强度。倍称为等效应力，或称广义应力或应力强度。任意坐标系下：任意坐标系下：任意坐标系下：任意坐标系下：主轴坐标系下：主轴坐标系下：主轴坐标系下：主轴坐标系下： 等效应力不能在特定微分平面上表示出来，但它可以在一定意义上等效应力不能在特定微分平面上表示出来，但它可以在一定意义上等效应力不能在特定微分平面上表示出来，但它可以在一定意义上等效应力不能在特定微分平面上表示出来，但它可以在一定意义上“代代代代表表表表”整个应力状态中的偏张量部分，因而与材料的塑性变形密切有关。整个应力状态中的偏张量部分，因而与材料的塑性变形密切有关。整个应力状态中的偏张量部分，因而与材料的塑性变形密切有关。整个应力状态中的偏张量部分，因而与材料的塑性变形密切有关。人们把它称为广义应力或应力强度。等效应力也是一个不变量。人们把它称为广义应力或应力强度。等效应力也是一个不变量。人们把它称为广义应力或应力强度。等效应力也是一个不变量。人们把它称为广义应力或应力强度。等效应力也是一个不变量。5.5.八面体应力和等效应力八面体应力和等效应力特点特点特点特点 n n等效应力是一个不变量。等效应力是一个不变量。等效应力是一个不变量。等效应力是一个不变量。n n等等等等效效效效应应应应力力力力在在在在数数数数值值值值上上上上等等等等于于于于单单单单向向向向拉拉拉拉伸伸伸伸（或或或或压压压压缩缩缩缩）时时时时的的的的拉拉拉拉伸伸伸伸（或或或或压压压压缩缩缩缩）应力，应力，应力，应力，n n 等等等等效效效效应应应应力力力力并并并并不不不不代代代代表表表表某某某某一一一一实实实实际际际际平平平平面面面面上上上上的的的的应应应应力力力力，故故故故不不不不能能能能在在在在某某某某一一一一特特特特定平面上表示出来。定平面上表示出来。定平面上表示出来。定平面上表示出来。n n等等等等效效效效应应应应力力力力表表表表示示示示了了了了三三三三个个个个主主主主应应应应力力力力的的的的综综综综合合合合效效效效果果果果，可可可可以以以以理理理理解解解解为为为为代代代代表表表表一一一一点点点点的应力状态中应力偏张量的综合作用。的应力状态中应力偏张量的综合作用。的应力状态中应力偏张量的综合作用。的应力状态中应力偏张量的综合作用。第五节第五节 应力莫尔圆应力莫尔圆表示点的应力状态表示点的应力状态应力摩尔圆是点应力状态的几何表示法，是摩尔在应力摩尔圆是点应力状态的几何表示法，是摩尔在应力摩尔圆是点应力状态的几何表示法，是摩尔在应力摩尔圆是点应力状态的几何表示法，是摩尔在1914191419141914年提出的。年提出的。年提出的。年提出的。若已知某点的一组应力分量或主应力，就可以利用应力摩尔圆通过图解法若已知某点的一组应力分量或主应力，就可以利用应力摩尔圆通过图解法若已知某点的一组应力分量或主应力，就可以利用应力摩尔圆通过图解法若已知某点的一组应力分量或主应力，就可以利用应力摩尔圆通过图解法来确定该点任意方位平面的正应力和切应力。来确定该点任意方位平面的正应力和切应力。来确定该点任意方位平面的正应力和切应力。来确定该点任意方位平面的正应力和切应力。作应力摩尔圆时，切应力的正、负号应按材料力学中的规定确定，即顺时作应力摩尔圆时，切应力的正、负号应按材料力学中的规定确定，即顺时作应力摩尔圆时，切应力的正、负号应按材料力学中的规定确定，即顺时作应力摩尔圆时，切应力的正、负号应按材料力学中的规定确定，即顺时针作用于所研究的单元体上的切应力为正，反之为负。针作用于所研究的单元体上的切应力为正，反之为负。针作用于所研究的单元体上的切应力为正，反之为负。针作用于所研究的单元体上的切应力为正，反之为负。平面应力状态平面应力状态 特特特特点点点点：某某某某一一一一作作作作用用用用面面面面（如如如如面面面面）上上上上的的的的应应应应力力力力为为为为零零零零，应应应应力力力力为为为为零零零零的的的的Z Z Z Z方向为主方向。方向为主方向。方向为主方向。方向为主方向。 所有应力沿向均布。即应力分量与轴无所有应力沿向均布。即应力分量与轴无所有应力沿向均布。即应力分量与轴无所有应力沿向均布。即应力分量与轴无关，对轴的偏导数为零。关，对轴的偏导数为零。关，对轴的偏导数为零。关，对轴的偏导数为零。 平面应力状态的应力张量为平面应力状态的应力张量为平面应力状态的应力张量为平面应力状态的应力张量为应用：薄壁管扭转、薄壁容器承受内压，某些板料成形工序等。应用：薄壁管扭转、薄壁容器承受内压，某些板料成形工序等。应用：薄壁管扭转、薄壁容器承受内压，某些板料成形工序等。应用：薄壁管扭转、薄壁容器承受内压，某些板料成形工序等。平面应力状态的应力张量为平面应力状态的应力张量为平面应力状态的应力张量为平面应力状态的应力张量为 S Sx x= = x xl+l+ yxyxm+m+ zxzxn n S Sy y= = xyxyl+l+ y ym+m+ zyzyn n S Sz z= = xzxzl+l+ yzyzm+m+ z zn n S S2 2=S=S2 2x x+S+S2 2y y+S+S2 2z z = =S Sx xl+Sl+Sy ym+Sm+Sz zn=n= x xl l2 2+ + y ymm2 2+ + z zn n2 2+2(+2( xyxylm+lm+ yzyzmn+mn+ zxzxnl) nl) 2 2=S=S2 2- - 2 2 现求平面应力状态下的任意斜微分面现求平面应力状态下的任意斜微分面现求平面应力状态下的任意斜微分面现求平面应力状态下的任意斜微分面ACAC上的应力，上的应力，上的应力，上的应力，ACAC面法线面法线面法线面法线N N方向余弦为方向余弦为方向余弦为方向余弦为2.平面应力状态的莫尔圆平面应力状态的莫尔圆把上式看成含有 的方程，消去参数，得平面应力状态下的应力莫尔圆平面应力状态下的应力莫尔圆平面应力状态下的应力莫尔圆平面应力状态下的应力莫尔圆2.平面应力状态的莫尔圆平面应力状态的莫尔圆莫尔圆莫尔圆莫尔圆莫尔圆圆心圆心圆心圆心：半径半径半径半径： 由图中的几何关系，可方便地得到主应力、主切应力公式：由图中的几何关系，可方便地得到主应力、主切应力公式：由图中的几何关系，可方便地得到主应力、主切应力公式：由图中的几何关系，可方便地得到主应力、主切应力公式：只有在只有在1 1和和2 2的的大小相等方向相大小相等方向相反的时候反的时候1212才是才是最大切应力最大切应力 可写出主应力的方向与轴的夹角可写出主应力的方向与轴的夹角可写出主应力的方向与轴的夹角可写出主应力的方向与轴的夹角 3.三向应力莫尔圆三向应力莫尔圆 把把l2, m2, n2看做未知数看做未知数 对于三向应力状态，也可作应力莫尔圆，圆上的任何一点的横对于三向应力状态，也可作应力莫尔圆，圆上的任何一点的横对于三向应力状态，也可作应力莫尔圆，圆上的任何一点的横对于三向应力状态，也可作应力莫尔圆，圆上的任何一点的横坐标值代表某一斜微分面上的正应力及切应力大小。坐标值代表某一斜微分面上的正应力及切应力大小。坐标值代表某一斜微分面上的正应力及切应力大小。坐标值代表某一斜微分面上的正应力及切应力大小。1 1 1 1 表示三个圆的方程，圆心都在表示三个圆的方程，圆心都在表示三个圆的方程，圆心都在表示三个圆的方程，圆心都在轴上轴上轴上轴上2 2 2 2 圆心到坐标原点的距离等于主切应力平面上的正应力。对于三向应力状圆心到坐标原点的距离等于主切应力平面上的正应力。对于三向应力状圆心到坐标原点的距离等于主切应力平面上的正应力。对于三向应力状圆心到坐标原点的距离等于主切应力平面上的正应力。对于三向应力状态，也可作应力莫尔圆，圆上的任何一点的横坐标值代表某一斜微分面上的态，也可作应力莫尔圆，圆上的任何一点的横坐标值代表某一斜微分面上的态，也可作应力莫尔圆，圆上的任何一点的横坐标值代表某一斜微分面上的态，也可作应力莫尔圆，圆上的任何一点的横坐标值代表某一斜微分面上的正应力及切应力大小。正应力及切应力大小。正应力及切应力大小。正应力及切应力大小。3 3 3 3 半径随半径随半径随半径随l l l l，m m m m，n n n n变化。变化。变化。变化。若若若若l, m, nl, m, nl, m, nl, m, n分别为分别为分别为分别为0 0 0 0，称为三向应力摩尔圆。半径为三个主切应力。称为三向应力摩尔圆。半径为三个主切应力。称为三向应力摩尔圆。半径为三个主切应力。称为三向应力摩尔圆。半径为三个主切应力。l=0l=0l=0l=0，外法线，外法线，外法线，外法线N N N N与与与与1111主轴垂直微分面在主轴垂直微分面在主轴垂直微分面在主轴垂直微分面在22223333坐标面上旋转时，坐标面上旋转时，坐标面上旋转时，坐标面上旋转时， - - - - 的变化规律。的变化规律。的变化规律。的变化规律。m=0m=0m=0m=0，外法线，外法线，外法线，外法线N N N N与与与与2222主轴垂直微分面在主轴垂直微分面在主轴垂直微分面在主轴垂直微分面在11113333坐标面上旋转时，坐标面上旋转时，坐标面上旋转时，坐标面上旋转时， - - - - 的变化规律。的变化规律。的变化规律。的变化规律。 3.三向应力莫尔圆三向应力莫尔圆 注：注：注：注：1 1 1 1 每个圆周分别表示某方向余弦为零的斜切面上的正应力每个圆周分别表示某方向余弦为零的斜切面上的正应力每个圆周分别表示某方向余弦为零的斜切面上的正应力每个圆周分别表示某方向余弦为零的斜切面上的正应力和切应力和切应力和切应力和切应力的变化规律。的变化规律。的变化规律。的变化规律。 2 2 2 2 三个圆所围绕的面积内的点，表示三个圆所围绕的面积内的点，表示三个圆所围绕的面积内的点，表示三个圆所围绕的面积内的点，表示l l l l、m m m m、n n n n都不等于零的斜切面上都不等于零的斜切面上都不等于零的斜切面上都不等于零的斜切面上的正应力的正应力的正应力的正应力和切应力和切应力和切应力和切应力的值。故应力莫尔圆形象地表示出点的应力状态。的值。故应力莫尔圆形象地表示出点的应力状态。的值。故应力莫尔圆形象地表示出点的应力状态。的值。故应力莫尔圆形象地表示出点的应力状态。 3 3 3 3 从三向应力莫尔圆上可看出一点的最大切应力、主切应力和主应从三向应力莫尔圆上可看出一点的最大切应力、主切应力和主应从三向应力莫尔圆上可看出一点的最大切应力、主切应力和主应从三向应力莫尔圆上可看出一点的最大切应力、主切应力和主应力。力。力。力。 4 4 4 4 应力莫尔圆上平面之间的夹角是实际物理平面之间夹角的两倍。应力莫尔圆上平面之间的夹角是实际物理平面之间夹角的两倍。应力莫尔圆上平面之间的夹角是实际物理平面之间夹角的两倍。应力莫尔圆上平面之间的夹角是实际物理平面之间夹角的两倍。第四节第四节 应力平衡微分方程应力平衡微分方程 一般认为，一般认为，一般认为，一般认为，在受外载荷且处于平衡状态的物体，各点的应力是在受外载荷且处于平衡状态的物体，各点的应力是在受外载荷且处于平衡状态的物体，各点的应力是在受外载荷且处于平衡状态的物体，各点的应力是连续变化的，也就是说，连续变化的，也就是说，连续变化的，也就是说，连续变化的，也就是说，应力是坐标的连续函数应力是坐标的连续函数应力是坐标的连续函数应力是坐标的连续函数设受力物体中有一点设受力物体中有一点设受力物体中有一点设受力物体中有一点Q Q Q Q，坐标为，坐标为，坐标为，坐标为 x x x x，y y y y，z z z z，应力状态为，应力状态为，应力状态为，应力状态为 ij ij ij ij ，在，在，在，在Q Q Q Q 点的无限邻点的无限邻点的无限邻点的无限邻近处有一点近处有一点近处有一点近处有一点Q Q Q Q，坐标为（，坐标为（，坐标为（，坐标为（x+dxx+dxx+dxx+dx）、（）、（）、（）、（y+dyy+dyy+dyy+dy）、（）、（）、（）、（z+dzz+dzz+dzz+dz），则形成一个边长为），则形成一个边长为），则形成一个边长为），则形成一个边长为dxdxdxdx、dydydydy、dz dz dz dz 的平行六面体。由于坐标的微量变化，的平行六面体。由于坐标的微量变化，的平行六面体。由于坐标的微量变化，的平行六面体。由于坐标的微量变化，Q Q Q Q点的应点的应点的应点的应力要比力要比力要比力要比Q Q Q Q 点的应力增加一个微量，即为点的应力增加一个微量，即为点的应力增加一个微量，即为点的应力增加一个微量，即为 ij + d ij ij + d ij ij + d ij ij + d ij第四节第四节 应力平衡微分方程应力平衡微分方程 直角坐标中一点邻区的应力平衡直角坐标中一点邻区的应力平衡直角坐标中一点邻区的应力平衡直角坐标中一点邻区的应力平衡 简记为简记为简记为简记为质点的应力平衡微分方程式：质点的应力平衡微分方程式：质点的应力平衡微分方程式：质点的应力平衡微分方程式：例题例题