第十八章勾股定理181 勾股定理（一）一、教学目标1了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、重点、难点1重点：勾股定理的内容及证明。2难点：勾股定理的证明。三、例题的意图分析例 1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例 2 使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为3cm 和 4cm 的直角 ABC ，用刻度尺量出AB 的长。以上这个事实是我国古代3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。再画一个两直角边为5 和 12 的直角 ABC ，用刻度尺量AB 的长。你是否发现32+42与 52的关系， 52+122和 132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例习题分析例 1（补充）已知：在ABC 中， C=90， A、B、C 的对边为 a、b、c。求证： a2b2=c2。分析：让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。拼成如图所示，其等量关系为：4S+S小正=S大正421ab（ ba）2=c2，化简可证。发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。 勾股定理的证明方法，达300 余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。cbaDCAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页例 2 已知：在 ABC 中， C=90， A、 B、 C 的对边为a、b、c。求证： a2b2=c2。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。左边 S=421abc2右边 S=（a+b）2左边和右边面积相等，即421ab c2=（a+b）2化简可证。六、课堂练习1勾股定理的具体内容是：。2如图， 直角 ABC 的主要性质是： C=90，（用几何语言表示）两锐角之间的关系：；若 D 为斜边中点，则斜边中线；若 B=30，则 B 的对边和斜边：；三边之间的关系：。3 ABC 的三边 a、b、c，若满足b2= a2c2，则 =90；若满足 b2c2a2，则 B 是角；若满足 b2c2a2，则 B 是角。4根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。七、课后练习1已知在RtABC 中， B=90 ， a、b、c 是 ABC 的三边，则c=。（已知 a、b，求 c）a=。（已知 b、c，求 a）b=。（已知a、c，求 b）2如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有 ab c，试根据表中已有数的规律，写出当 a=19 时， b，c 的值，并把b、c 用含 a的代数式表示出来。3、4、5 32+42=525、12、13 52+122=1327、24、25 72+242=2529、40、41 92+402=41219，b、c 192+b2=c23在 ABC 中， BAC=120 ， AB=AC=310cm，一动点P从 B 向 C 以每秒 2cm 的速度移动，问当P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直。4已知：如图，在ABC 中， AB=AC ，D 在 CB 的延长线上。bbbbccccaaaabbbbaaccaaACBDbccaabDCAEB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页求证： AD2AB2=BD CD 若 D 在 CB 上，结论如何，试证明你的结论。课后反思：八、参考答案课堂练习1略；2 A+B=90； CD=21AB； AC=21AB ； AC2+BC2=AB2。3 B，钝角，锐角；4提示：因为S梯形ABCD = SABE+ SBCE+ SEDA，又因为S梯形ACDG=21（ a+b）2，SBCE= SEDA=21ab，SABE=21c2,21（a+b）2=221ab21c2。课后练习1 c=22ab； a=22cb； b=22ac21222bccba；则 b=212a，c=212a；当 a=19 时， b=180，c=181。35 秒或 10 秒。4提示：过A 作 AEBC 于 E。181 勾股定理（二）一、教学目标1会用勾股定理进行简单的计算。ADCB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页2树立数形结合的思想、分类讨论思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的简单计算。2难点：勾股定理的灵活运用。三、例题的意图分析例 1 （补充） 使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。例 2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。例 3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。四、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。五、例习题分析例 1（补充）在RtABC ， C=90已知 a=b=5,求 c。已知 a=1,c=2, 求 b。已知 c=17,b=8, 求 a。已知 a：b=1：2,c=5, 求 a。已知 b=15， A=30 ，求 a，c。分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。例 2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5 和 12，求第三边。分析：已知两边中较大边12 可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。例 3（补充）已知：如图，等边ABC 的边长是6cm。求等边 ABC 的高。求 SABC。分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。欲求高CD，可将其置身于RtADC 或 RtBDC 中，但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=21AB=3cm ，则此题可解。六、课堂练习1填空题在 RtABC ， C=90， a=8，b=15，则 c=。在 RtABC ， B=90， a=3，b=4，则 c=。DCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页在 RtABC ， C=90， c=10，a：b=3：4，则 a=，b=。一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。已知直角三角形的两边长分别为3cm 和 5cm，则第三边长为。已知等边三角形的边长为2cm， 则它的高为， 面积为。2已知：如图，在ABC中， C=60， AB=34，AC=4 ，AD 是 BC 边上的高，求BC 的长。3已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。七、课后练习1填空题在 RtABC ， C=90，如果 a=7，c=25，则 b=。如果 A=30 ， a=4，则 b=。如果 A=45 ， a=3，则 c=。如果 c=10，a-b=2，则 b=。如果 a、b、c 是连续整数，则a+b+c=。如果 b=8，a： c=3：5，则 c=。2已知：如图，四边形ABCD 中， AD BC，AD DC，AB AC ， B=60 ， CD=1cm ，求 BC 的长。八、参考答案课堂练习117；7；6， 8；6，8，10；4 或34；3，3；28；348。课后练习124；43；32；6；12；10；2332课后反思：181 勾股定理（三）一、教学目标1会用勾股定理解决简单的实际问题。ACBDBCDA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页2树立数形结合的思想。二、重点、难点1重点：勾股定理的应用。2难点：实际问题向数学问题的转化。三、例题的意图分析例 1（教材 P66 页探究 1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。例 2（教材 P67 页探究 2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的关系：保证一边不变，其它两边的变化。四、课堂引入勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。五、例习题分析例 1（教材 P66 页探究 1）分析：在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。 让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度， 探讨以何种方式通过？转化为勾股定理的计算，采用多种方法。注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。例 2（教材 P67 页探究 2）分析：在AOB中，已知AB=3，AO=2.5 ，利用勾股定理计算OB。在 COD 中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。则 BD=OD OB，通过计算可知BDAC 。进一步让学生探究AC 和 BD 的关系，给AC 不同的值，计算 BD。六、课堂练习1小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45 度的坡路走了500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。2如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。2 题图3 题图4 题图3如图，一根12 米高的电线杆两侧各用15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。4如图， 原计划从A 地经 C 地到 B 地修建一条高速公路，后因技术攻关， 可以打隧道由A 地到 B 地直接修建， 已知高速公路一公里造价为300 万元，隧道总长为2 公里， 隧道造价为500 万元， AC=80 公里， BC=60 公里，则改建后可省工程费用是多少？DABC30ABCCABACBOABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页七、课后练习1如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C 两点，在江对岸取一点A，使 AC 垂直江岸，测得BC=50 米，B=60，则江面的宽度为。2有一个边长为1 米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。3一根32 厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点， PQ=16厘米，且RP PQ ，则 RQ= 厘米。4如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米， B=C=30， E、F 分别为 BD、CD 中点，试求 B、C 两点之间的距离，钢索AB 和 AE 的长度。（精确到1 米）八、参考答案：课堂练习：12250；26，32；318 米；4 11600；课后练习1350米；222；320；483 米， 48 米， 32 米；课后反思：181 勾股定理（四）一、教学目标1会用勾股定理解决较综合的问题。2树立数形结合的思想。RPQACBDEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页二、重点、难点1重点：勾股定理的综合应用。2难点：勾股定理的综合应用。三、例题的意图分析例 1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三角形， 三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2， 两对相等锐角， 四对互余角， 及 30或 45特殊角的特殊性质等。例 2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角。 让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。使学生清楚作辅助线不能破坏已知角。例 3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中注意条件的合理运用。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力。例 4（教材 P68 页探究 3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。四、课堂引入复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。五、例习题分析例 1 （补充） 1已知：在 RtABC 中，C=90，CDBC 于 D，A=60 ，CD=3，求线段 AB 的长。分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知 识 点 有 ： 3个 直 角 三 角 形 ， 三 个 勾 股 定 理 及 推 导 式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角， 及 30或 45特殊角的特殊性质等。要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求AB ，可由AB=BD+CD ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出 BD=3 和 AD=1 。 或欲求 AB， 可由22BCACAB，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6 。例 2（补充）已知：如图，ABC 中， AC=4 ， B=45，A=60 ，根据题设可知什么？分析：由于本题中的ABC 不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得ACB=75 。在学生充分思考和讨论后，发现添置AB 边上的高这条辅助线，就可以求得AD ，CD，BD ，AB，BC及 SABC。让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。并指出如何作辅助线？解略。例 3（补充）已知：如图，B=D=90， A=60 ，AB=4 ，CD=2。求：四边形ABCD 的面积。CABDABCDEBACD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ，或延长 AB 、DC 交于 F，或延长 AD 、BC 交于 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。解：延长 AD 、BC 交于 E。 A= 60， B=90 ， E=30。AE=2AB=8 ， CE=2CD=4 ，BE2=AE2-AB2=82-42=48， BE=48=34。DE2= CE2-CD2=42-22=12， DE=12=32。S四边形ABCD=SABE-SCDE=21AB BE-21CDDE=36小结： 不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。例 4（教材 P68 页探究 3）分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。变式训练：在数轴上画出表示22, 13的点。六、课堂练习1 ABC 中， AB=AC=25cm ，高 AD=20cm, 则 BC= ，SABC=。2 ABC 中，若 A=2 B=3C，AC=32cm，则 A= 度， B= 度,C=度，BC=，SABC=。3ABC 中，C=90，AB=4 ，BC=32，CDAB 于 D，则 AC= ，CD=，BD= ，AD=,SABC=。4已知：如图，ABC 中， AB=26 ，BC=25，AC=17 ，求 SABC。七、课后练习1在 RtABC 中， C=90， CDBC 于 D， A=60 ， CD=3，AB= 。2在 RtABC 中， C=90， SABC=30， c=13，且 ab，则 a=，b=。3已知：如图，在ABC中， B=30， C=45，AC=22，求（ 1）AB 的长；（ 2）SABC。4在数轴上画出表示52,5的点。八、参考答案：课堂练习：130cm，300cm2；ABCABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页290，60，30，4，32；32，3，3，1，32；4作 BDAC 于 D，设 AD=x ，则 CD=17-x ，252-x2=262-（ 17-x）2，x=7，BD=24 ，SABC=21AC BD=254 ；课后练习：14；25，12；3 提示：作 AD BC 于 D， AD=CD=2 ， AB=4 ， BD=32， BC=2+32， SABC= =2+32；4略。课后反思：182 勾股定理的逆定理（一）一、教学目标1体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2探究勾股定理的逆定理的证明方法。3理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页二、重点、难点1重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。2难点：勾股定理的逆定理的证明。三、例题的意图分析例 1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。例 2（P74 探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。例 3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断那条边最大。分别用代数方法计算出a2+b2和 c2的值。判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。四、课堂引入创设情境：怎样判定一个三角形是等腰三角形？怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。五、例习题分析例 1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？同旁内角互补，两条直线平行。如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半。分析： 每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用。理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。解略。例 2（ P74 探究）证明：如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。分析：注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。证明略。例 3（补充）已知：在ABC 中， A、 B、 C 的对边分别是a、b、c，a=n21，b=2n，c=n21（n 1）求证： C=90。abcabBCAA1C1B1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页分析：运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断那条边最大。分别用代数方法计算出a2+b2和 c2的值。判断a2+b2和 c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。要证 C=90，只要证ABC 是直角三角形，并且c 边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。由于 a2+b2= （n21）2 （2n）2=n42n21， c2= （n21）2= n4 2n21， 从而 a2+b2=c2，故命题获证。六、课堂练习1判断题。在一个三角形中， 如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。命题：“在一个三角形中，有一个角是30，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 ABC 的三边之比是1：1：2，则 ABC 是直角三角形。2 ABC 中 A、 B、 C 的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A如果 C B= A，则 ABC 是直角三角形。B如果 c2= b2a2，则 ABC 是直角三角形，且C=90。C如果（ ca）（ ca）=b2，则 ABC 是直角三角形。D如果 A： B： C=5：2：3，则 ABC 是直角三角形。3下列四条线段不能组成直角三角形的是（）Aa=8，b=15，c=17 Ba=9， b=12，c=15 C a=5，b=3，c=2Da：b：c=2：3：4 4已知：在 ABC 中， A、 B、 C 的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=3，b=22，c=5；a=5，b=7，c=9；a=2， b=3，c=7；a=5，b=62，c=1。七、课后练习，1叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。如果 a30，那么 a20；如果三角形有一个角小于90，那么这个三角形是锐角三角形；如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；关于某条直线对称的两条线段一定相等。2填空题。任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是。在 ABC 中，若 a2=b2c2，则 ABC 是三角形，是直角；若 a2b2c2，则 B 是。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页若在 ABC 中， a=m2n2，b=2mn，c= m2n2，则 ABC 是三角形。3若三角形的三边是1、3、2；51,41,31；32，42，529，40，41；（ mn）21，2（mn），（ mn）21；则构成的是直角三角形的有（）A2 个B个个个4已知：在 ABC 中， A、 B、 C 的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？a=9，b=41，c=40；a=15，b=16，c=6；a=2，b=32，c=4；a=5k，b=12k，c=13k（k 0）。八、参考答案：课堂练习：1对，错，错，对；2D；3D；4是， B；不是；是，C；是， A。课后练习：1如果a20，那么 a30；假命题。如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题。如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题。两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题。2逆命题，逆定理；内错角相等，两直线平行；直角，B，钝角；直角。3B 4是， B；不是，；是，C；是， C。课后反思：182 勾股定理的逆定理（二）一、教学目标1灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。二、重点、难点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页1重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。2难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。三、例题的意图分析例 1（P75 例 2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。例 2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。四、课堂引入创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法。五、例习题分析例 1（P75 例 2）分析：了解方位角，及方位名词；依题意画出图形；依题意可得PR=121.5=18，PQ=161.5=24，QR=30 ；因为 242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理的逆定理，知 QPR=90； PRS=QPR-QPS=45。小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。例 2（补充）一根30 米长的细绳折成3 段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长 7 米，比较长边短1 米，请你试判断这个三角形的形状。分析：若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形。解略。六、课堂练习1小强在操场上向东走80m 后，又走了60m，再走 100m 回到原地。小强在操场上向东走了80m 后，又走60m 的方向是。2如图，在操场上竖直立着一根长为2 米的测影竿，早晨测得它的影长为4 米，中午测得它的影长为1 米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？3如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13 海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C 地将其拦截。 已知甲巡逻艇每小时航行120 海里，乙巡逻艇每小时航行50 海里，航向为北偏西40，问：甲巡逻艇的航向？七、课后练习1一根24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。2一根12 米的电线杆AB，用铁丝AC 、AD 固定，现已知用去铁丝AC=15 米， AD=13 米，又测得地面上B、C 两点之间距离是 9 米，B、D 两点之间距离是5 米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？3如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜， 爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下BACDPNESQRABCDENABCDCAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页产量。小明找了一卷米尺， 测得 AB=4 米，BC=3 米，CD=13 米，DA=12 米， 又已知 B=90。八、参考答案：课堂练习：1向正南或正北。2能，因为BC2=BD2+CD2=20，AC2=AD2+CD2=5，AB2=25，所以 BC2+AC2= AB2；3由 ABC 是直角三角形，可知CAB+ CBA=90 ，所以有 CAB=40 ，航向为北偏东 50。课后练习：16 米， 8 米， 10 米，直角三角形；2 ABC 、 ABD 是直角三角形，AB 和地面垂直。3提示：连结AC 。AC2=AB2+BC2=25，AC2+AD2=CD2，因此 CAB=90 ，S四边形=SADC+SABC=36 平方米。课后反思：182 勾股定理的逆定理（三）一、教学目标1应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。2灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。3进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。二、重点、难点1重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。2难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页三、例题的意图分析例 1（补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。例 2（补充）使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造3、4、5 勾股数，利用勾股定理的逆定理证明 DE 就是平行线间距离。例 3（补充）勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。四、课堂引入勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。五、例习题分析例 1（补充）已知：在ABC中， A 、 B、 C 的对边分别是a、 b、 c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c 。试判断 ABC 的形状。分析：移项，配成三个完全平方；三个非负数的和为0，则都为 0；已知 a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。例 2（补充）已知：如图，四边形ABCD ，AD BC，AB=4 ，BC=6 ，CD=5 ，AD=3 。求：四边形ABCD 的面积。分析：作DEAB ，连结 BD，则可以证明ABD EDB （ASA ）；DE=AB=4 ，BE=AD=3 ，EC=EB=3 ；在 DEC 中， 3、4、5勾股数， DEC 为直角三角形，DEBC；利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。例 3（补充）已知：如图，在ABC 中， CD 是 AB 边上的高，且 CD2=AD BD。求证： ABC 是直角三角形。分析： AC2=AD2+CD2， BC2=CD2+BD2 AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2 =AD2+2AD BD+BD2 =（AD+BD ）2=AB2六、课堂练习1若 ABC 的三边 a、 b、c，满足（ ab）（ a2b2c2）=0，则 ABC 是（）A等腰三角形；B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形；D等腰直角三角形。2若 ABC 的三边 a、b、c，满足 a：b：c=1：1：2，试判断 ABC的形状。3已知：如图，四边形ABCD ，AB=1 ，BC=43，CD=413，AD=3 ，且AB BC。求：四边形ABCD 的面积。4已知：在ABC 中， ACB=90 ， CDAB 于 D，且 CD2=AD BD 。ABCDEBACDABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页求证： ABC 中是直角三角形。七、课后练习，1若 ABC 的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求 ABC 的面积。2在 ABC 中， AB=13cm ，AC=24cm ，中线 BD=5cm 。求证： ABC 是等腰三角形。3已知：如图，1= 2，AD=AE ，D 为 BC 上一点，且BD=DC ，AC2=AE2+CE2。求证： AB2=AE2+CE2。4已知 ABC 的三边为a、 b、c，且 a+b=4，ab=1，c=14，试判定 ABC 的形状。八、参考答案：课堂练习：1C；2 ABC 是等腰直角三角形；3494提示： AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2， AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2= AD2+2AD BD+BD2=（AD+BD ）2=AB2， ACB=90 。课后练习：16；2提示：因为AD2+BD2=AB2，所以 AD BD，根据线段垂直平分线的判定可知AB=BC 。3提示：有 AC2=AE2+CE2得 E=90；由 ADC AEC ，得 AD=AE ，CD=CE ， ADC=BE=90 ，根据线段垂直平分线的判定可知AB=AC ，则 AB2=AE2+CE2。4 提示：直角三角形， 用代数方法证明， 因为 （a+b）2=16， a2+2ab+b2=16， ab=1， 所以 a2+b2=14。又因为 c2=14，所以 a2+b2=c2 。课后反思：BCAED精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页