直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点 ( 切点） ；3、直线与圆相交dr有两个交点；drd=rrd二、切线的判定定理与性质（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MNOA且MN过半径OA外端MN是O的切线（2）性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（如上图）过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。例 1、 在中，BC=6cm ，B=30 ，C=45 ，以 A 为圆心，当半径 r 多长时所作的A 与直线 BC 相切？相交？相离？解题思路： 作 AD BC 于 D 在中， B=30 在中， C=45 CD=AD BC=6cm NMAOPBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页BACDO 当时， A 与 BC 相切；当时， A 与 BC 相交；当时， A 与 BC 相离。例 2 如图，AB 为 O 的直径，C 是 O 上一点，D 在 AB 的延长线上， 且 DCB=? A（1）CD 与 O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由（2）若 CD 与 O 相切，且 D=30 ，BD=10 ，求 O 的半径解题思路：（1）要说明 CD 是否是 O 的切线，只要说明OC 是否垂直于CD，垂足为C，?因为 C 点已在圆上由已知易得：A=30 ，又由 DCB= A=30 得： BC=BD=10 解： （1）CD 与 O 相切理由： C 点在 O 上（已知） AB 是直径 ACB=90，即 ACO+ OCB=90 A= OCA 且 DCB= A OCA= DCB OCD=90 综上： CD 是 O 的切线（2）在 RtOCD 中， D=30 COD=60 A=30 BCD=30 BC=BD=10 AB=20 ， r=10 答： （1）CD 是 O 的切线，（2） O 的半径是 10三、切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：PA、PB是的两条切线PAPB PO平分BPA（证明）四、圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O中，弦AB、CD相交于点P，PODCBAPBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页PA PBPC PD（相似）（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在O中，直径ABCD，2CEAE BE（3）切割线定理： 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O中，PA是切线，PB是割线2PAPC PB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 。即：在O中，PB、PE是割线PC PBPD PE五、三角形的内切圆（1）定义：与三角形三边都相切的圆（角平分线的交点）（2）内心、外切三角形例 1：如图， O为ABC的内切圆， C90，AO的延长线交BC于点D，AC 4，DC 1， ，则O的半径等于（）1、如图，ABC=90，O为射线 BC上一点，以点O为圆心、21BO长为半径作O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转度时与0相切六、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点dRr；外切（图2）有一个交点dRr；相交（图3）有两个交点RrdRr；OEDCBADECBPAODECBPAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页内切（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr；图 1rRd图 3rRd例 1两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1 所示（点O，O 是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ 成一条直线，TP、NP 分别为两圆的切线，求TPN 的大小（1）(2) 解题思路：要求TPN，其实就是求OPO 的角度，很明显，POO 是正三角形，如图 2 所示解： PO=OO =PO PO O是一个等边三角形 OPO =60又 TP 与 NP 分别为两圆的切线，TPO=90 ， NPO =90 TPN=360 2 90 60 =120例 2如图 1 所示， O 的半径为7cm，点 A 为 O 外一点， OA=15cm ，求： （1）作 A 与 O 外切，并求 A 的半径是多少？图2rRd图4rRd图 5rRd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页AO(1) (2) (2）作 A 与 O 相内切，并求出此时A 的半径解题思路：（1）作 A 和 O 外切，就是作以A 为圆心的圆与O 的圆心距 d=rO+rA；（?2）?作 OA 与 O 相内切，就是作以A 为圆心的圆与O 的圆心距d=rArO解：如图 2 所示， （1）作法：以A 为圆心， rA=157=8 为半径作圆，则A?的半径为8cm （2）作法：以A 点为圆心， rA =15+7=22 为半径作圆，则A 的半径为22cm 例 3如图所示，点A 坐标为（ 0，3） ，OA 半径为 1，点 B 在 x 轴上（1）若点 B 坐标为（ 4，0） ， B 半径为 3，试判断 A 与 B 位置关系；（2）若 B 过 M（ 2， 0）且与 A 相切，求B 点坐标答（ 1）AB=51+3 ，外离（2）设 B（x， 0）x 2，则 AB=29x， B 半径为 x+2 ，设 B 与 A 外切，则29x= x+2 +1 ，当 x2 时，29x=x+3，平方化简得：x=0 符题意， B（0，0） ，当 x2（舍） ，设 B 与 A 内切，则29x= x+2 1，当 x2 时，29x=x+1，得 x=42， B（4，0） ，当 x2 时，29x= x3，得 x=0，七、 两圆公共弦定理： 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：12O O垂直平分AB。即：1O、2O相交于A、B两点12O O垂直平分ABBAO1O2CO2O1BA_ A_ y_ x_ O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页八、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长：12Rt O O C 中，22221122ABCOO OCO；（2）外公切线长：2CO是半径之差；内公切线长：2CO是半径之和。九、圆内正多边形的计算（1）正三角形在 O中 ABC是 正 三 角 形 ， 有 关 计 算 在Rt BOD中 进 行 ：:1:3 :2ODBD OB；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在Rt OAE中进行，:1:1:2OEAE OA：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB中进行，:1:3:2AB OB OA.ECBADOBAODCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页基础训练1填表：直线与圆的位置关系图形公共点个数公共点名称圆心到直线的距离d与圆的半径r 的关系直线的名称相交相切相离2 若直线 a 与 O交于 A， B两点，O到直线 a?的距离为6， ?AB=?16 ， ?则 O? 的半径为 _3在 ABC中，已知 ACB=90 ， BC=AC=10 ，以 C 为圆心，分别以5，52，8 为半径作图，那么直线AB与圆的位置关系分别是_，_，_4 O的半径是6，点 O到直线 a 的距离为 5，则直线a 与 O的位置关系为（） A相离 B相切 C相交 D内含5下列判断正确的是（）直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；直线上一点到圆心的距离小于半径，?则直线与圆相交 A B C D6OA平分 BOC ，P 是 OA上任一点（ O除外） ，若以 P 为圆心的 P与 OC相离， ?那么 P与 OB的位置关系是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页 A相离 B相切 C相交 D相交或相切7如图所示，RtABC中， ACB=90 ， CA=6，CB=8 ，以 C 为圆心， r 为半径作 C，当 r 为多少时， C与 AB相切？8如图， O 的半径为3cm ，弦 AC=42cm，AB=4cm ，若以O 为圆心， ?再作一个圆与AC相切，则这个圆的半径为多少？这个圆与AB的位置关系如何？提高训练9如图所示，在直角坐标系中，M的圆心坐标为（m ， 0） ，半径为 2，?如果 M与 y 轴所在直线相切，那么 m=_ ，如果 M与 y 轴所在直线相交，那么 m?的取值范围是_10如图， ABC中， AB=AC=5cm ，BC=8cm ，以 A为圆心， 3cm? 长为半径的圆与直线BC的位置关系是 _11如图，正方形ABCD 的边长为2，AC和 BD相交于点O，过 O作 EFAB ，交 BC于 E，交AD于 F， 则以点 B为圆心，2长为半径的圆与直线AC ， EF， CD的位置关系分别是什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页12已知 O的半径为5cm，点 O到直线 L 的距离 OP为 7cm ，如图所示（1）怎样平移直线L，才能使L 与 O相切？（2）要使直线L 与 O相交，应把直线L 向上平移多少cm？13如图， RtABC中， C=90 ， AC=3 ，AB=5 ，若以 C为圆心， r 为半径作圆， ?那么 : （1）当直线AB与 C相切时，求r 的取值范围；（2）当直线AB与 C相离时，求r 的取值范围；（3）当直线AB与 C相交时，求r 的取值范围14在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30?的方向迎着气象站袭来，已知该风暴速度为每小时20 千米，风暴周围50 千米范围内将受到影响，?若该风暴不改变速度与方向，问气象站正南方60 千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页九年级下册直线和圆的位置关系练习题一、选择题：1 若 OAB=30 ， OA=10cm ， 则以 O为圆心，6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是 （）A相交B相切C相离D不能确定2RtABC中， C=90， AB=10 ，AC=6 ，以 C为圆心作 C和 AB相切，则 C的半径长为（）A8 B4 C96 D48 3 O 内最长弦长为m，直线l与 O 相离，设点O 到l的距离为d，则d与m的关系是（）Ad=mBdmCd2mDd2m4以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形5菱形对角线的交点为O ，以 O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为（）A相交B相切C相离D不能确定6 O的半径为6， O的一条弦AB为 63，以 3 为半径的同心圆与直线AB的位置关系是（）A相离B相交C相切D不能确定7下列四边形中一定有内切圆的是（）A直角梯形B等腰梯形C矩形D菱形8已知 ABC的内切圆O与各边相切于D、E、F，那么点O是 DEF的（）A三条中线交点B三条高的交点 C三条角平分线交点D三条边的垂直平分线的交点9给出下列命题：任一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页任一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；任一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；任一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形其中真命题共有（）A1 个B2 个C3 个D4 个二、证明题1如图，已知O中， AB是直径，过B点作 O的切线 BC ，连结 CO 若 AD OC交 O于 D求证： CD是 O的切线2已知：如图，同心圆O ，大圆的弦AB=CD ，且 AB是小圆的切线，切点为E求证： CD是小圆的切线3如图，在 RtABC中， C=90， AC=5，BC=12 ， O的半径为3（1）当圆心O与 C重合时， O与 AB的位置关系怎样？（2）若点 O沿 CA移动时，当OC为多少时？ C与 AB相切？4如图，直角梯形ABCD中， A=B=90， AD BC ，E为 AB上一点， DE平分 ADC ，CE平分 BCD ，以 AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页5设直线到 O的圆心的距离为d，半径为R，并使 x22dxR=0，试由关于x 的一元二次方程根的情况讨论与O的位置关系6如图， AB是 O直径， O过 AC的中点 D，DE BC，垂足为 E（1）由这些条件，你能得出哪些结论？（要求：不准标其他字母，找结论过程中所连的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4 个结论即可）（2）若 ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形（要求：写出6 个结论即可，其他要求同（1） ）7如图，在RtABC中， C=90， AC=3，BC=4 若以 C 为圆心， R 为半径所作的圆与斜边 AB只有一个公共点，则R的取值范围是多少？8如图，有一块锐角三角形木板，现在要把它截成半圆形板块（圆心在BC上） ，问怎样截取才能使截出的半圆形面积最大？（要求说明理由）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页9如图，直线1、2、3表示相互交叉的公路现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？答案 : 一.1-5 A D C B B ;6-9 C D D B 二.1. 提示 : 连结 OC,证 AOC 与 BOC全等 2.作垂直证半径, 弦心距相等 3.垂直三角形的高, 用面积方法求; AOE ABC即可 4.用角平分线定理证明EF=EA=EB 即可 5.做三角形的内切圆 6.DE与 O相切 ,AB=BC,DE2+CE2=CD2, C+CDE=90 BC是 O的切线 , 有 DE=1/2AB等. 7.R=2.4或 3R4 8.A角平分线与BC的交点为圆心O,O到 AC的距离为半径做圆 9.4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页