第 1 页 共 16 页全等三角形类型一：全等三角形性质的应用1、如图，ABDACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角. 思路点拨 : AB=AC，AB和AC是对应边，A是公共角，A和A是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析：AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，A和A是对应角，B和C，AEC和ADB是对应角 .总结升华： 已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.举一反三：【变式 1】如图，ABCDBE. 问线段AE和CD相等吗？为什么？【答案】证明：由ABCDBE，得 AB=DB,BC=BE，则 AB-BE=DB-BC，即 AE=CD 。【变式 2】如右图，。求证：AE CF【答案】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页第 2 页 共 16 页AE CF2、如图，已知 ABC DEF ，A=30 ，B=50 ，BF=2 ，求DFE的度数与 EC的长。思路点拨 :由全等三角形性质可知：DFE= ACB ，EC+CF=BF+FC，所以只需求ACB的度数与 BF的长即可。解析： 在 ABC中， ACB=180-A-B，又A=30 ，B=50 ，所以ACB=100.又因为ABC DEF ，所以ACB= DFE ， BC=EF （全等三角形对应角相等，对应边相等）。所以DFE=100 EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。总结升华： 全等三角形的对应角相等，对应边相等。举一反三：【变式 1】如图所示，ACD ECD ，CEF BEF ，ACB=90 .求证：（ 1）CD AB ；（ 2）EF AC.【答案】(1）因为 ACD ECD ，所以ADC= EDC （全等三角形的对应角相等） .因为ADC+ EDC=180，所以ADC= EDC=90.所以 CD AB.(2）因为 CEF BEF,所以CFE= BFE （全等三角形的对应角相等） .因为CFE+ BFE=180 ，所以CFE= BFE=90 .因为ACB=90 , 所以ACB= BFE.所以 EF AC.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页第 3 页 共 16 页类型二：全等三角形的证明3、如图， AC BD ，DF CE ，ECB FDA ，求证：ADF BCE 思路点拨 :欲证ADF BCE ，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过AC BD而得解析： AC BD(已知)AB-BD AB-AC(等式性质 )即 ADBC在ADF 与BCE中ADF BCE(SAS)总结升华： 利用全等三角形证明线段 ( 角) 相等的一般方法和步骤如下：(1) 找到以待证角 (线段) 为内角 (边)的两个三角形，(2) 证明这两个三角形全等；(3) 由全等三角形的性质得出所要证的角( 线段) 相等举一反三：【变式 1】如图，已知 AB DC ， AB DC ，求证：AD BC【答案】AB CD34在ABD 和CDB中ABD CDB(SAS)12(全等三角形对应角相等)AD BC( 内错角相等两直线平行)【变式 2】如图，已知 EB AD于 B，FC AD于 C ，且 EB FC ，AB CD 求证 AFDE 【答案】EB AD( 已知) EBD 90(垂直定义 )同理可证FCA 90EBD FCAAB CD ，BC BCAC AB+BC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页第 4 页 共 16 页 BC+CD BD在ACF 和DBE中ACF DBE(S AS)AF DE(全等三角形对应边相等 )类型三：综合应用4、如图， AD为 ABC的中线。求证：AB+AC2AD. 思路点拨 :要证 AB+AC2AD，由图想到： AB+BDAD，AC+CDAD，所以AB+AC+BC2AD，所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD ，即倍长中线。解析： 延长 AD至 E，使 DE=AD ，连接 BE因为 AD为 ABC的中线，所以 BD=CD.在 ACD和 EBD中，所以 ACD EBD(SAS).所以 BE=CA.在 ABE中，AB+BEAE，所以 AB+AC2AD.总结升华： 通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三：【变式 1】已知：如图，在RtABC中，AB=AC, BAC=90 ,1=2，CE BD 的延长线于 E，求证： BD=2CE.【答案】分别延长CE 、BA交于 F. 因为BE CF,所以BEF= BEC=90 .在 BEF和 BEC中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页第 5 页 共 16 页所以BEF BEC(ASA).所以CE=FE= CF.又因为BAC=90 ,BECF.所以BAC= CAF=90 ，1+BDA=90 ，1+BFC=90 .所以BDA= BFC.在 ABD和 ACF中，所以ABD ACF(AAS)所以BD=CF. 所以 BD=2CE.5、如图， AB CD ，BE DF ，BD ，求证： (1)AECF ，(2)AECF ，(3) AFE CEF思路点拨 : (1) 直接通过ABE CDF 而得， (2) 先证明AEB CFD ， (3) 由(1)(2) 可证明AEF CFE 而得，总之，欲证两边 ( 角) 相等，找这两边 ( 角) 所在的两个三角形然后证明它们全等解析：(1) 在ABE与CDF中ABE CDF(SAS)AE CF(全等三角形对应边相等 )(2) AEB CFD( 全等三角形对应角相等)AE CF(内错角相等，两直线平行)(3) 在AEF与CFE中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页第 6 页 共 16 页AEF CFE(SAS)AFE CEF( 全等三角形对应角相等)总结升华： 在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件举一反三：【变式 1】如图，在ABC 中，延长 AC边上的中线 BD到 F，使 DF BD ，延长 AB边上的中线 CE到 G ，使 EG CE ，求证 AFAG 【答案】在AGE 与BCE中AGE BCE(SAS)AG BC(全等三角形对应边相等 )在AFD 与CBD中AFD CBD(SAS)AF CB(全等三角形对应边相等 )AF AG(等量代换 )6、如图 ABAC ，BD AC于 D，CE AB 于 E，BD 、CE相交于 F求证： AF平分BAC 思路点拨 :若能证得得 AD=AE ，由于ADB 、AEC 都是直角，可证得RtADF RtAEF ，而要证AD=AE ，就应先考虑 RtABD与 RtAEC ，由题意已知AB=AC ，BAC是公共角，可证得RtABD RtACE 解析： 在 RtABD与 RtACE中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页第 7 页 共 16 页RtABD RtACE(AAS)AD=AE( 全等三角形对应边相等)在 RtADF与 RtAEF中RtADF RtAEF(HL)DAF= EAF( 全等三角形对应角相等)AF 平分BAC( 角平分线的定义)总结升华： 条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。举一反三：【变式 1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证已知：如图，在ABC 与ABC 中AB=A B，BC=B C ，AD BC于 D，AD BC 于D 且 AD=A D 求证：ABC ABC 证明： 在 RtABD与 RtABD 中RtABD RtABD (HL)B= B(全等三角形对应角相等 )在ABC 与ABC 中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页第 8 页 共 16 页ABC ABC (SAS)【变式 2】已知，如图， AC 、BD相交于 O ，AC=BD ，C D 90 求证：OC=OD【答案】C= D=90 ABD 、ACB 为直角三角形在 RtABD和 RtABC中RtABD RtABC(HL)AD=BC在AOD 和BOC中AOD BOC(AAS)OD=OC7、ABC中，AB=AC ，D是底边 BC上任意一点，DE AB ，DF AC ，CG AB垂足分别是 E、F、G. 试判断：猜测线段 DE、DF 、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。思路点拨 : 寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径解析： 结论： DE+DF=CG方法一：（截长法）板书此种方法（3 分钟） 作 DM CG于 M DE AB ，CG AB ，DM CG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页第 9 页 共 16 页 四边形 EDMG 是矩形 DE=GM DM/AB MDC=B AB=AC B= FCD MDC=FCD 而 DM CG ，DF AC DMC=CFD 在MDC和FCD中 MDC FCD （AAS ） MC=DF DE+DF=GM+MC=CG总结升华：方法二（补短法）作CM ED交 ED的延长线于 M （证明过程略） 总结：截长补短的一般思路，并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三（面积法）使用等积转化 引申：如果将条件 “D 是底边 BC上任意一点 ”改为“D 是底边 BC的延长线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页第 10 页 共 16 页图图2图QCABEFP上任意一点 ”，此时图形如何？ DE 、DF和 CG 会有怎样的关系？画出图形，写出你的猜想并加以证明举一反三：【变式 1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：（1）截长法（ 2）补短法（3）面积法轴对称考点一、关于 “轴对称图形 ”与“轴对称”的认识典例 1下列几何图形中，线段角直角三角形半圆，其中一定是轴对称图1234形的有（） A1 个 B2 个 C 3 个 D4 个2正 n边形有 _条对称轴，圆有 _条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称典例： 1、如图， Rt ABC ，C=90 , B=30 ,BC=8，D为 AB中点，P为 BC上一动点，连接AP 、DP,则 AP+DP 的最小值是2、已知等边 ABC ，E在 BC的延长线上， CF平分DCE ，P为射线BC上一点， Q为CF上一点，连接AP、PQ.若 AP=PQ ，求证APQ是多少度考点四、线段垂直平分线的性质线段是轴对称图形，它的对称轴是_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页第 11 页 共 16 页EDCBA线段的垂直平分线上的点到_相等归类回忆角平分线的性质角是轴对称图形，其对称轴是_ 角平分线上的点到_相等典例 1、如图，ABC中，A=90 ，BD为ABC平分线， DE BC ，E是 BC的中点，求 C的度数。2、 如图，ABC中，AB=AC ，PB=PC ，连 AP并延长交 BC于 D ，求证： AD垂直平分 BC3、如图 ,DE 是ABC中 AC边的垂直平分线，若BC=8厘米， AB=10厘米，则EBC 的周长为（）A.16 厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米4、 如图，BAC=30 ，P是BAC平分线上一点， PM AC ，PD AC ，PD=28 , 则 AM= 5、如图，在 RtABC中，ACB = 90 ，BAC的平分线交 BC 于 D. 过 C点作CG AB于 G ，交 AD于 E. 过 D点作 DF AB于 F.下列结论：MDACPBCED= CDE ；AECSACSAEG AG ；ADF=2 ECD；DFBCEDSS；CE=DF. 其中正确结论的序号是( ) A B C DBDCAPCEBDAFEDCBAG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页第 12 页 共 16 页考点五、等腰三角形的特征和识别典例 1、如图， ABC 中，AB=AC=8 ，D在 BC上，过 D作 DE AB 交 AC于 E，DF AC交 AB于 F，则四边形AFDE的周长为 _ 。2、 如图，ABC中，BD 、CD分别平分 ABC与ACB ，EF过 D且 EFBC ，若 AB = 7 ，BC = 8 ，AC = 6 ，则AEF周长为 ( )A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 3、 如图 , 点 B、D 、F 在 AN上,C、E在 AM上，且AB=BC=CD=ED=EF,A=20o, 则FEB=_ 度4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40，则它的一个底角的度数是_5、 ABC中， DF 是 AB的垂直平分线，交BC于 D，EG是 AC的垂直平分线，交BC于E，若DAE=20 ，则BAC等于 6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于7、已知，在ABC中，ACB=90 ，点 D 、E在直线 AB上，且 AD=AC ，BE=BC ，则DCE = 度.NMFECDBAFEDABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页第 13 页 共 16 页FCDBEA8、如图：在ABC中， AB=AC ，AD BC ， DEAB于点 E, DFAC于点 F。试说明 DE=DF 。9、如图 ,E 在 ABC的 AC边的延长线上， D点在 AB边上， DE交 BC于点 F，DF=EF ，BD=CE.求证：ABC是等腰三角形 .考点六、等边三角形的特征和识别等边三角形的各_相等，各 _相等并且每一个角都等于_三个角相等的三角形是_三角形有一个角是60 的_三角形是等边三角形FEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页第 14 页 共 16 页乙ODCBA特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线_典例 1、下列推理中，错误的是 ( )A ABC， ABC 是等边三角形BAB AC ，且 BC， ABC 是等边三角形C A 60 ，B 60， ABC是等边三角形DAB AC ，B 60，ABC是等边三角形2、如图，等边三角形ABC中，D是 AC的中点， E为 BC延长线上一点，且CE CD ，DM BC ，垂足为 M 。求证： M是 BE的中点。考点七、 30 所对的直角边是斜边的一半典例1、如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁 AB的中点，立柱BC 、DE垂直于横梁 AC ，AB=8m ，A=30 ，则DE等于（）A1m B2m C3m D4m2、如图：ADC中，A = 15 ，D=90 ，B 在 AC的垂直平分线上，AB =34，则 CD = ( )A. 15 B . 17 C. 16 D. 以上全不对3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知AO=BO=40cm，C0=D0=30 cm ，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度AOB刚好为 120 ，求桌面到地面的距离是多少？ABDCEDCBAABCDEMFECBAD第 4 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页第 15 页 共 16 页FECBA4、如图， AB=AC ，DE AB于 E，DF AC于 F，BAC=120o，BC=6 ，则 DE+DF=5、在中，的垂直平分线交于点，交于ABC120ABACA，ABBCDAB点如果，求的长E1DEBC实数例 1、（ 1）下列各数是否有平方根，请说明理由 （-3）2 0 2 -0.01 2（2） 下列说法对不对？为什么？ 4 有一个平方根只有正数有平方根任何数都有平方根若 a0，a 有两个平方根，它们互为相反数解：（ 1） （-3）2 和 0 2 有平方根，因为（-3）2 和 0 2 是非负数。 - 0.01 2 没有平方根，因为 -0.01 2 是负数。（2）只有对，因为一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。例 2、求下列各数的平方根：(1) 9 (2) (3) 0.36 (4) 例 3、设，则下列结论正确的是（） A. B. 甲14169精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页第 16 页 共 16 页 C. D. 解析：（估算）因为，所以选 B【变式1】1）1.25 的算术平方根是 _ ；平方根是 _.2 ） -27立方根是 _. 3 ）_ ，_ ，_. 【答案】 1）；.2）-3. 3 ），【变式 2】求下列各式中的（ 1）（ 2）（ 3）【答案】（ 1）（2）x=4 或 x=-2 （3）x=-4例 4、判断下列说法是否正确（ 1）的算术平方根是 -3；（ 2）的平方根是 15.（ 3）当 x=0 或 2 时，解析：（ 1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故（2）表示 225 的算术平方根，即=15. 实际上，本题是求15 的平方根，故的平方根是.（3）注意到，当x=0 时，=，显然此式无意义，发生错误的原因是忽视了 “负数没有平方根 ”，故x0，所以当x=2 时，x=0.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页