特殊三角形一、选择题 (每小题 6 分，共 24 分) 1 (2014黄石 )如图，一个矩形纸片， 剪去部分后得到一个三角形，则图中 1 2 的度数是 (C) A30B60C90D120,第 1 题图 ),第 2 题图 ) 2 (2013攀枝花 )如图，在ABC 中， CAB 75， 在同一平面内， 将 ABC 绕点 A 旋转到 ABC的位置，使得CC AB，则 BAB (A) A30B35C40D503(2014滨州 )下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(B) A4， 5，6 B1.5，2，2.5 C2， 3，4 D1，2，3 4(2012乐山 )如图，在 ABC 中， C90， AC BC 4，点 D 是 AB 的中点，点E，F 分别在AC ，BC 边上运动 (点 E 不与点 A，C 重合 )，且保持 AECF，连接 DE，DF，EF.在此运动变化的过程中，有下列结论： DFE 是等腰直角三角形；四边形CEDF 不可能为正方形；四边形CEDF 的面积随点E 位置的改变而发生变化；点 C 到线段 EF 的最大距离为2. 其中正确的有(B) A1 个B2 个C3 个D4 个解析： 连接 CD ，如图 ， ABC 是等腰直角三角形，DCB A45， CD AD DB，AE CF， ADE CDF ，ED DF， CDF EDA ， ADE EDC 90， EDC CDF EDF 90， DFE 是等腰直角三角形故此选项正确；当点 E，F 分别为 AC ，BC 中点时，四边形CEDF 是正方形，故此选项错误；如图 所示，分别过点D 作 DM AC，DN BC 于点 M ，N，利用割补法可知四边形CEDF 的面积等于正方形CMDN的面积， 故面积保持不变 故此选项错误； DEF 是等腰直角三角形，EF2DE.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页当 DF 与 BC 垂直，即DF 最小时， FE 取最小值22，此时点C 到线段 EF 的最大距离为2.故此选项正确故正确的有2 个二、填空题 (每小题 7 分，共 28 分) 5(2014临夏 )等腰 ABC 中， ABAC10 cm，BC 12 cm，则 BC 边上的高是 _8_cm. 6(2014 呼和浩特 )等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为_63或 27_在三角形ABC 中，设 ABAC，BDAC 于点 D. 若是锐角三角形，A90 36 54，底角 (18054 )263； 若三角形是钝角三角形，BAC 36 90 126 ， 此时底角 (180126)227.所以等腰三角形底角的度数是63或 277(2014凉山 )已知一个直角三角形的两边的长分别是3 和 4，则第三边长为_5 或7_8(2013张家界 )如图， OP1，过点 P 作 PP1OP，得 OP12；再过点P1作 P1P2 OP1且 P1P21， 得 OP23； 又过点 P2作 P2P3OP2且 P2P31， 得 OP32依此法继续作下去，得 OP2012_2013_解析：由勾股定理得OP422 15，OP12，得 OP23；依此类推可得OPnn 1，OP20122013，故答案为2013三、解答题 (共 48 分) 9(12 分)(2014襄阳 )如图，在 ABC 中，点 D，E 分别在边 AC ，AB 上， BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：EBO DCO； BECD； OBOC. (1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形) (2)请选择 (1)中的一种情形，写出证明过程(1) ； (2)选 证明如下， OB OC， OBC OCB ， EBO DCO ， 又 ABCEBO OBC， ACB DCO OCB， ABC ACB， ABC 是等腰三角形10(12 分)(2014温州 )如图，在等边三角形ABC 中，点 D，E 分别在边BC，AC 上， DEAB ，过精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页点 E 作 EFDE，交 BC 的延长线于点F. (1)求 F的度数；(2)若 CD2，求 DF 的长(1) ABC 是等边三角形，B60， DEAB， EDC B60， EFDE ，DEF 90， F90 EDC 30(2) ACB60， EDC 60， EDC 是等边三角形ED DC2， DEF 90，F 30， DF 2DE411(12 分)(2012泰安 )如图，在 ABC 中， ABC 45， CD AB，BEAC，垂足分别为点D，E，点 F 为 BC 中点， BE 与 DF，DC 分别交于点G，H， ABE CBE. (1)线段 BH 与 AC 相等吗，若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证： BG2GE2EA2. (1) BDC BEC CDA 90， ABC 45， BCD45 ABC ， A DCA 90，AABE 90，DBDC ，ABEDCA ，在DBH 和DCA 中， DBH DCA ，BDCD ， BDH CDA ， DBH DCA (ASA)， BHAC(2)连接 CG ， F 为 BC 的中点，DBDC ，DF 垂直平分BC， BGCG， ABE CBE ，BEAC ，在 RtABE 和 RtCBE 中，AEB CEB ，BE BE， CBE ABE， ABE CBE (ASA )， EC EA.在 RtCGE中，由勾股定理得CG2GE2EC2， BG2GE2EA212(12 分)(2013常德 )已知两个共一个顶点的等腰RtABC ，RtCEF，ABC CEF90，连接 AF，M 是 AF 的中点，连接MB ，ME. (1)如图，当CB 与 CE 在同一直线上时，求证：MB CF；(2)如图，若CBa，CE2a，求 BM ，ME 的长；(3)如图，当BCE45时，求证： BM ME. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页(1)证法一：如图 ，延长 AB 交 CF 于点 D，则易知 ABC 与BCD 均为等腰直角三角形，ABBCBD，点 B 为线段 AD 的中点，又 点 M 为线段 AF 的中点， BM 为 ADF 的中位线，BM CF证法二：如图 ，延长 BM 交 EF 于点 D， ABC CEF 90， ABCE ，EFCE， AB EF ， BAM DFM ， M是AF的 中 点 ， AM FM ， 在 ABM和 FDM中 ，BAM DFM ，AM FM ，AMB FMD ， ABM FDM (ASA)， ABDF ， BECE BC，DE EF DF， BEDE， BDE 是等腰直角三角形， EBM 45，在等腰直角CEF 中， ECF 45， EBMECF ， MB CF(2)解法一：如图 所示，延长AB 交 CF 于点 D，则易知 BCD 与 ABC 为等腰直角三角形，ABBC BDa，AC CD2a，点 B 为 AD 中点，又 点 M 为 AF 中点， BM 12DF.分别延长FE与 CA 交于点 G，则易知 CEF 与CEG 均为等腰直角三角形，CE EFGE2a，CGCF 22a，点 E 为 FG 中点，又点M 为 AF 中点， ME 12AG.CG CF22a，CACD2a， AG DF2a， BM ME 122a22a(3)证法一： 如图 ，延长 AB 交 CE 于点 D，连接 DF，则易知 ABC 与 BCD 均为等腰直角三角形，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页AB BCBD，AC CD ，点 B 为 AD 中点，又点M 为 AF 中点， BM 12DF.延长 FE 与 CB 交于点 G，连接 AG ，则易知 CEF 与CEG 均为等腰直角三角形，CEEFEG，CF CG，点 E 为FG 中点， 又点 M 为 AF 中点， ME 12AG.在ACG 与DCF 中，ACCDACG DCF 45CGCF， ACG DCF (SAS)， DF AG ， BM ME证法二：如图 ，延长 BM 交 CF 于点 D，连接 BE，DE ， BCE 45， ACD 45 245 135， BAC ACF 45 135 180， ABCF， BAM DFM ， M 是 AF的中点， AM FM ，在 ABM 和 FDM 中，BAM DFM ，AM FM ，AMB FMD ， ABM FDM (ASA)， ABDF ，BM DM ， ABBCDF ，在 BCE 和 DFE中，BCDF ，BCE DFE 45，CEFE， BCE DFE (SAS)， BEDE ， BECDEF ， BED BEC CED DEF CED CEF 90， BDE 是等腰直角三角形，又BM DM ， BM ME 12BD，故 BM ME2015 年名师预测1一个等腰三角形的两边长分别是3 和 7，则它的周长为(A) A17 B15 C13 D13 或 17 2已知 ABC 为等边三角形， BD 为中线， 延长 BC 至点 E，使 CECD1，连接 DE，则 DE_3_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页