矩阵的分解及其应用内容简介 矩矩阵阵分分解解对对矩矩阵阵理理论论及及近近世世计计算算数数学学的的发发展展起起了了关关键键作作用用 .矩矩阵阵分分解解是是把把一一个个矩矩阵阵写写成成性性质质比比较较熟熟悉悉或或结结构构比比较较简简单单的的另另一一些些矩矩阵阵的的乘乘积积，其其本本质质是是通通过过建建立立相相应应的的矩矩阵阵分分解解使使有有些些问问题题能能够够得得以以简简化化和和分分解解，从从而而更更加加清清晰晰地地得得到到矩矩阵阵的的相相关关特特性性. .本本文文的的具具体体安安排排如如下：下： （1 1）第一章的主要内容是矩阵的概念、分类、运算以及矩阵的秩）第一章的主要内容是矩阵的概念、分类、运算以及矩阵的秩及其特征值和特征向量的等；及其特征值和特征向量的等； （2 2）第二章的主要内容是矩阵的三角分解、）第二章的主要内容是矩阵的三角分解、QRQR分解、满秩分解、分解、满秩分解、奇异值分解的具体方法；奇异值分解的具体方法； （3 3）第三章的主要内容是第二章中研究过的四种矩阵分解方法的）第三章的主要内容是第二章中研究过的四种矩阵分解方法的具体应用具体应用.第一章 矩阵 （1 1）矩阵的概念）矩阵的概念 （2 2）矩阵运算）矩阵运算（3 3）矩阵的初等行变换与矩阵的秩）矩阵的初等行变换与矩阵的秩 （4 4）逆矩阵的概念）逆矩阵的概念第二章 矩阵的分解 矩阵的三角分解矩阵的三角分解 定义定义2.1.1 如果方阵如果方阵 可分解为一个下三角矩阵可分解为一个下三角矩阵 和一个上三角矩和一个上三角矩阵阵 的乘积，则称的乘积，则称 可作三角分解或可作三角分解或 分解分解. .如果如果 是单位下三角矩是单位下三角矩阵，阵， 为上三角矩阵，此时的三角分解为杜利特（为上三角矩阵，此时的三角分解为杜利特（DoolittleDoolittle）分解；）分解；若若 是下三角矩阵，而是下三角矩阵，而 是单位上三角矩阵，则称三角分解为克劳特是单位上三角矩阵，则称三角分解为克劳特（CroutCrout）分解）分解. . 定理定理2.1.2设设 为为 阶方阵，则阶方阵，则 可以惟一地分解为可以惟一地分解为 的充分必要条件是的充分必要条件是 的前的前 个顺序主子式个顺序主子式 . .其中其中 分分别是单位下、上三角矩阵，别是单位下、上三角矩阵， 是对角矩阵是对角矩阵 , 矩阵的QR分解 定义定义2.2.1 如果复（实）矩阵如果复（实）矩阵 可分解成一个酉（正交）可分解成一个酉（正交）矩阵矩阵 与一个复（实）的上三角矩阵与一个复（实）的上三角矩阵 的乘积，即的乘积，即 则称上式为矩阵则称上式为矩阵 的一个的一个 分解分解. . 定理定理 2.2.1 任何实的非奇异任何实的非奇异 阶矩阵阶矩阵 可以分解为正可以分解为正交矩阵交矩阵 和上三角矩阵和上三角矩阵 的乘积，且除去相差一对角元素的乘积，且除去相差一对角元素之绝对值全等于之绝对值全等于1 1的对角阵因子的对角阵因子 外，分解式外，分解式 是惟一是惟一的的. 矩阵QR分解的求法 （1 1）Schmidt正交化法正交化法 （2 2）用初等旋转矩阵）用初等旋转矩阵左乘矩阵左乘矩阵 （3 3）用初等反射矩阵）用初等反射矩阵左乘矩阵左乘矩阵矩阵的满秩分解 定理定理 2.2.4设设 矩阵矩阵 ， . .如果存如果存在一个列满秩矩阵在一个列满秩矩阵 与一个行满秩矩阵与一个行满秩矩阵 使得使得 则称上式为矩阵则称上式为矩阵 的一个满秩分解的一个满秩分解. .满秩分解的步骤 用矩阵的行最简形矩阵求满秩分解的步骤：用矩阵的行最简形矩阵求满秩分解的步骤： （1 1）对）对 施行初等行变化为行最简形施行初等行变化为行最简形 ，得矩阵，得矩阵 ； （2 2）若）若 中的中的 列依次是单位矩阵列依次是单位矩阵 的第的第 列，则取列，则取 ； （3 3）最后最后得得 .矩阵的奇异值分解 定义定义 2.2.5 设设 ， 的特征值为的特征值为 则称则称 为为 的奇异值；当的奇异值；当 为零矩阵时，它为零矩阵时，它的奇异值都是的奇异值都是0.0.定理定理 2.2.6 设设 ，则存在，则存在 阶酉阵阶酉阵 和和 阶阶 酉矩阵酉矩阵 ， 使得使得 （2-2-5） 其中其中 ，而而 为矩阵为矩阵 的全部的全部非零奇异值非零奇异值. . 改写式改写式（2-2-5）为为 （2-2-6） 称式称式（2-2-6）为矩阵的奇异值分解为矩阵的奇异值分解. .奇异值分解的步骤 （1 1）求）求 的特征值的特征值 ，并求其对应的特征向，并求其对应的特征向量量 ，将其单位化为，将其单位化为 从而得正交矩阵从而得正交矩阵 ； （2 2）求）求 的秩的秩 ，奇异值，奇异值 及及 （3 3）计算）计算 ，从而得正交矩阵，从而得正交矩阵 ； (4) (4)的奇异值分解为的奇异值分解为 矩阵分解的应用 例例1 1 求矩阵求矩阵 的的 分解与分解与 分解分解. . 解：因为解：因为 ，所以矩阵，所以矩阵 的的 与与 分解分解存在存在. .令令于是得到于是得到从而求出从而求出 的的 分解及分解及 分解分别分解分别 例例5 用初等反射矩阵求矩阵用初等反射矩阵求矩阵 的的 分解分解. . 解：对解：对 的第一列，构造初等反射矩阵如下：的第一列，构造初等反射矩阵如下： 令令 ，则，则 对对 的第的第1 1列，构造初等旋转矩阵如下：列，构造初等旋转矩阵如下：令令 ，则，则最后，取最后，取 则有则有且且 谢谢 谢谢 老老 师师！