学习必备欢迎下载中考数学点直线与圆的位置关系解答题（4）31. （2014?湖北黄冈 , 第 20 题 7 分）如图，在 RtABC中，ACB =90，以 AC为直径的 O与 AB边交于点D，过点D的切线，交BC于点E（1）求证： EB =EC ；（2）若以点 O 、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断ABC 的形状，并说明理由第 4 题图考点：切线的性质；正方形的性质分析：（1） 连接 BD ， 根据直径所对的圆周角是直角， 得到直角三角形 ABD 和 BCD ，根据切线的判定定理知BC是圆的切线，结合切线长定理得到BE =DE ，再根据等边对等角以及等角的余角相等证明DE =CE ；（2）当以点 O 、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，则DEB是等腰直角三角形，据此即可判断解答：（1）证明：连接 CD ，AC是直径， ACD =90，BC是O的切线， BDA =90DE是O的切线，DE =BE （切线长定理）EBD =EDB 又DCE+EBD=CDE+EDB=90，DCE =CDE ，DE =CE ，又DE =BE ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载DE =BE （2）解：当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，则DEB=90，又DE =BE ，DEB是等腰直角三角形，则 B=45，ABC是等腰直角三角形点评：本题考查了切线的性质以及切线长定理、圆周角定理，解题的关键是连接CD构造直角三角形32 （2014?莱芜，第 23 题 10 分）如图 1，在O 中，E是弧 AB的中点， C为O 上的一动点（ C与 E在 AB异侧） ，连接 EC交 AB于点 F，EB=（r 是O 的半径） （1）D为 AB延长线上一点，若DC=DF ，证明：直线 DC与O 相切；（2）求 EF?EC 的值；（3）如图 2，当 F是 AB的四等分点时，求EC的值考点：圆的综合题 . 专题：综合题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习必备欢迎下载分析：（1）连结 OC 、OE ，OE交 AB于 H，如图 1，由 E是弧 AB的中点，根据垂径定理的推论得到 OE AB ， 则HEF+ HFE=90 ， 由对顶相等得 HFE= CFD ，则HEF+ CFD=90 ，再由 DC=DF 得CFD= DCF ，加上 OCE= OEC ，所以OCE+ DCE= HEF+ CFD=90 ，于是根据切线的判定定理得直线DC与O 相切；（2） 由弧 AE= 弧 BE ， 根据圆周角定理得到 ABE= BCE ，加上FEB= BEC ，于是可判断 EBF ECB ，利用相似比得到EF?EC=BE2=（r ）2=r2；（3）如图 2，连结 OA ，由弧 AE= 弧 BE得 AE=BE=r ，设 OH=x ，则 HE=rx，根据勾股定理，在RtOAH 中有 AH2+x2=r2；在 RtEAH中由 AH2+（rx）2=（r）2，利用等式的性质得x2（rx）2=r2（r ）2，即得 x=r，则 HE=rr=r ， 在 RtOAH 中， 根据勾股定理计算出AH=， 由 OE AB得 AH=BH ，而 F是 AB的四等分点，所以 HF=AH=， 于是在 RtEFH中可计算出 EF=r ，然后利用（ 2）中的结论可计算出EC 解答：（1）证明：连结 OC 、OE ，OE交 AB于 H ，如图 1，E 是弧 AB的中点，OE AB ，EHF=90 ，HEF+ HFE=90 ，而HFE= CFD ，HEF+ CFD=90 ，DC=DF ，CFD= DCF ，而 OC=OE，OCE= OEC ，OCE+ DCE= HEF+ CFD=90 ，OC CD ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习必备欢迎下载直线 DC与O 相切；（2）解：连结 BC ，E 是弧 AB的中点，弧 AE= 弧 BE ，ABE= BCE ，而FEB= BEC ，EBF ECB ，EF ：BE=BE ：EC ，EF?EC=BE2=（r ）2=r2；（3）解：如图 2，连结 OA ，弧 AE= 弧 BE ，AE=BE=r ，设 OH=x ，则 HE=rx，在 RtOAH 中，AH2+OH2=OA2，即 AH2+x2=r2，在 RtEAH中，AH2+EH2=EA2，即 AH2+（rx）2=（r）2，x2（rx）2=r2（r ）2，即得 x=r，HE=rr=r ，在 RtOAH 中，AH=，OE AB ，AH=BH ，而 F是 AB的四等分点，HF=AH=，在 RtEFH中，EF=r ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习必备欢迎下载EF?EC=r2，r?EC=r2，EC=r 点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推论、切线的判定定理和圆周角定理；会利用勾股定理进行几何计算，利用相似三角形的知识解决有关线段等积的问题33 （2014?攀枝花，第 21 题 8 分）如图， ABC的边 AB为O的直径， BC与圆交于点 D ，D为 BC的中点，过 D作 DE AC于 E（1）求证： AB=AC ；（2）求证： DE为O的切线；（3）若 AB=13 ，sinB=，求 CE的长考点：切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质分（1）连接 AD ，利用直径所对的圆周角是直角和等腰三角形的三线合一可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页学习必备欢迎下载析： 以得到 AB=AC ；（2）连接 OD ，利用平行线的判定定理可以得到ODE= DEC=90 ，从而判断 DE是圆的切线；（3）根据 AB=13 ，sinB=，可求得 AD和 BD ，再由 B=C，即可得出 DE ，根据勾股定理得出CE 解答：（1）证明：连接 AD ，AB是O的直径，ADB=90 AD BC ，又 D是 BC的中点，AB=AC ；（2）证明：连接 OD ，O 、D分别是 AB 、BC的中点，OD AC ，ODE= DEC=90 ，OD DE ，DE是O的切线；（3）解： AB=13 ，sinB=，=，AD=12 ，由勾股定理得 BD=5 ，CD=5 ，B=C ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢迎下载=，DE=，根据勾股定理得CE=点评：本题目考查了切线的判定以及等腰三角形的判定及性质、圆周角定理及切线的性质，涉及的知识点比较多且碎，解题时候应该注意34. （2014?丽水，第 22 题 10 分）如图，已知等边 ABC ，AB=12 ，以 AB为直径的半圆与 BC边交于点 D，过点 D作 DF AC ，垂足为 F，过点 F作 FG AB ，垂足为 G ，连结 GD （1）求证： DF是O 的切线；（2）求 FG的长；（3）求 tanFGD的值考点：切线的判定；等边三角形的性质；解直角三角形. 分析：（1）连结 OD ，根据等边三角形的性质得C= A=B=60 ，而 OD=OC，所以ODB=60 =C ，于是可判断OD AC ，又 DF AC ，则 OD DF ，根据切线的判定定理可得DF是O 的切线；（2）先证明 OD为ABC的中位线，得到 BD=CD=6 在 RtCDF中，由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载C=60 ，得 CDF=30 ，根据含 30度的直角三角形三边的关系得CF=CD=3 ，所以 AF=AC CF=9 ，然后在 RtAFG中，根据正弦的定义计算FG的长；（3）过 D作 DH AB于 H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG DH ，根据平行线的性质可得FGD= GDH 解 RtBDH ，得 BH=BD=3 ，DH=BH=3解 RtAFG ，得 AG=AF= ，则 GH=AB AG BH= ，于是根据正切函数的定义得到tanGDH= =，则 tanFGD可求解答：（1）证明：连结 OD ，如图，ABC为等边三角形，C= A=B=60 ，而 OD=OB，ODB 是等边三角形， ODB=60 ，ODB= C ，OD AC ，DF AC ，OD DF ，DF是O 的切线；（2）解： OD AC ，点 O为 AB的中点，OD为ABC 的中位线，BD=CD=6在 RtCDF中，C=60 ，CDF=30 ，CF=CD=3 ，AF=AC CF=12 3=9，在 RtAFG中， A=60 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习必备欢迎下载FG=AF sinA=9=；（3）解：过 D作 DH AB于 H FG AB ，DH AB ，FG DH ，FGD= GDH 在 RtBDH 中，B=60 ，BDH=30 ，BH=BD=3 ，DH=BH=3在 RtAFG中， AFG=30 ，AG=AF= ，GH=AB AG BH=12 3=，tanGDH= =，tanFGD=tan GDH=点评：本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可也考查了等边三角形的性质以及解直角三角形等知识精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载35 （ （2014?广西来宾，第 24 题 10 分）如图， AB为O 的直径， BF切O 于点 B，AF交O 于点 D，点 C在 DF上，BC交O 于点 E，且BAF=2 CBF ，CG BF 于点 G ，连接 AE （1）直接写出 AE与 BC的位置关系；（2）求证： BCG ACE ；（3）若F=60， GF=1 ，求O 的半径长考点：圆的综合题；角平分线的性质；等腰三角形的判定；含30 度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定专题：综合题分析：（1）由 AB为O 的直径即可得到 AE与 BC垂直（2）易证 CBF= BAE ，再结合条件 BAF=2 CBF就可证到 CBF= CAE ，易证CGB= AEC ，从而证到 BCG ACE （3）由F=60， GF=1可求出 CG=；连接 BD ，容易证到 DBC= CBF ，根据角平分线的性质可得DC=CG= ；设圆 O的半径为 r ，易证 AC=AB ，BAD=30 ，从而得到 AC=2r，AD=r ，由 DC=AC AD=可求出O 的半径长解答：解： （1）如图 1，AB是O 的直径，AEB=90 AE BC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页学习必备欢迎下载（2）如图 1，BF与O 相切，ABF=90 CBF=90 ABE= BAE BAF=2 CBF BAF=2 BAE BAE= CAE CBF= CAE CG BF ，AE BC ，CGB= AEC=90 CBF= CAE ，CGB= AEC ，BCG ACE （3）连接 BD ，如图 2 所示DAE= DBE ，DAE= CBF ，DBE= CBF AB是O 的直径，ADB=90 BD AF DBC= CBF ，BD AF ，CG BF ，CD=CGF=60，GF=1 ，CGF=90 ，tanF=CG=tan60 =CG=，CD=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备欢迎下载AFB=60 ，ABF=90 ，BAF=30 ADB=90 ，BAF=30 ，AB=2BD BAE= CAE ，AEB= AEC ，ABE= ACE AB=AC 设O 的半径为 r，则 AC=AB=2r ，BD=rADB=90 ，AD=rDC=AC AD=2rr=（2）r=r=2+3O 的半径长为 2+3点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定、角平分线的性质、30角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，有一定的综合性连接 BD ，证到 DBC= CBF是解决第（ 3）题的关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页学习必备欢迎下载36 (20XX 年贵州安顺，第 25 题 12分)如图，已知 AB是O 的直径， BC是O 的弦，弦 ED AB于点 F，交 BC于点 G ，过点 C的直线与 ED的延长线交于点 P，PC=PG （1）求证： PC是O 的切线；（2）当点 C在劣弧 AD上运动时，其他条件不变，若BG2=BF?BO 求证：点 G是 BC的中点；（3）在满足（ 2）的条件下， AB=10 ，ED=4，求 BG的长考点： 切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质. 专题： 几何综合题分析： （1） 连OC ， 由 ED AB得到FBG+ FGB=90 ， 又 PC=PD ， 则1=2， 而2=FGB ， 4=FBG ，即可得到 1+4=90，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连 OG ，由 BG2=BF?BO ，即 BG ：BO=BF ：BG ，根据三角形相似的判定定理得到BGO BFG ，由其性质得到 OGB= BFG=90 ，然后根据垂径定理即可得到点G是 BC的中点；（3） 连 OE ， 由 ED AB ， 根据垂径定理得到 FE=FD ， 而 AB=10 ， ED=4， 得到 EF=2， OE=5 ， 在 RtOEF中利用勾股定理可计算出OF ，从而得到 BF，然后根据 BG2=BF?BO 即可求出 BG 解答： （1）证明：连 OC ，如图，ED AB ，FBG+ FGB=90 ，又PC=PG ，1=2，而2=FGB ，4=FBG ，1+4=90，即 OC PC ，PC是O 的切线；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载（2）证明：连 OG ，如图，BG2=BF?BO ，即 BG ：BO=BF ：BG ，而FBG= GBO ，BGO BFG ，OGB= BFG=90 ，即 OG BG ，BG=CG，即点 G是 BC的中点；（3）解：连 OE ，如图，ED AB ，FE=FD ，而 AB=10 ，ED=4，EF=2，OE=5 ，在 RtOEF中，OF=1，BF=5 1=4，BG2=BF?BO ，BG2=BF?BO=4 5，BG=2点评： 本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线也考查了垂径定理、勾股定理以及三角形相似的判定与性质=*以上是由明师教育编辑整理= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页