9.1 二元一次方程组教学目标：1认识二元一次方程和二元一次方程组. 2了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解. 教学重点：理解二元一次方程组的解的意义. 教学难点：求二元一次方程的正整数解. 教学过程：一、创设情境情境一：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2 分. 负一场得 1 分，某队为了争取较好的名次， 想在全部 22 场比赛中得到 40 分，那么这个队胜负场数分别是多少？思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：胜的场数负的场数总场数，胜场积分负场积分总积分. 这两个条件可以用方程xy22 2xy40 表示. 情境二：用大小两种汽车17 辆，一次运输水泥75 吨。大汽车每辆运5 吨，小汽车每辆运 3 吨。大小汽车各有几辆？分析：本题中有两个未知数，两个等量关系：（1）大小汽车的辆数（ 2）大小汽车运输的水泥吨数上面几个方程中，每个方程都含有两个未知数（x 和 y） ，并且未知数的指数都是 1，像这样的方程叫做 二元一次方程 . 把两个方程合在一起，写成xy22 2xy40 像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组 . 探究：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页满足方程， 且符合问题的实际意义的x、y 的值有哪些？把它们填入表中. 上表中哪对 x、y 的值还满足方程一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解 . 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解 . 例 1 （1）方程（ a2）x +(b-1) y = 3 是二元一次方程，试求a、b 的取值范围.（2）方程 xa 1+(a-2) y = 2 是二元一次方程，试求a 的值. 例 2若方程 x2 m 1 + 5y3n 2 = 7 是二元一次方程 . 求 m、n 的值例 3已知下列三对值：x6x10x10y9y6y1 （1） 哪几对数值使方程21xy6 的左、右两边的值相等？（2） 哪几对数值是方程组的解？例 4求二元一次方程 3x2y19 的正整数解 . 课堂练习：教科书第 102 页练习习题 8.1 1、2 题作业：教科书第 102 页 3、4、5 题六、课后反思 : 9.2 二元一次方程组的解法代入法（一）知识技能目标1. 了解解方程组的基本思想是消元, 即把较为复杂的多元一次方程组化为较简单的一元一次方程来解决；2. 了解代入法是消元的一个基本方法, 掌握代入法 .过程性目标在积极参与探索二元一次方程组的解法的数学活动中，培养数学思维能力, 发展应用数学知识的意识教学过程设计21xy62x31y11精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页一、创设情境1. 复习提问 : 什么叫做二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解? 2. 回顾上节课中的问题2: 设应拆除旧校舍2xm , 建造新校舍2ym, 那么根据题意可列出方程组: xyxy4%3020000 (*) 问 怎样求出这个二元一次方程组的解? 二、探索归纳我们知道此题可以用一元一次方程来求解, 即设应拆除旧校舍2xm, 则建造新校舍24xm, 根据题意可得到%30200004xx(*) . 对于一元一次方程的解法我们是非常熟悉的. 那么我们如果能将解二元一次方程组转化为解一元一次方程 , 我们的问题不就可以解决了吗? 可是如何来转化呢 ? 引导学生观察方程组 (*) 和相应的一元一次方程 (*) 间的联系 . 在方程组 (*) 中的方程xy4, 把它代入方程中y 的位置 , 我们就可以得到一元一次方程%30200004xx. 通过“代入” , 我们消去了未知数y ,得到了一元一次方程 , 这样就可以求解了 . 解方程 (*) 得:2000x, 把2000x代入，得8000y. 所以80002000yx. 答 应拆除旧校舍22000m , 建造新校舍28000m. 能否用同样的方法来求解问题1 中的二元一次方程组 . 三、实践应用例 1 解方程组 : 1737yxyx与方程组 (*) 不同, 这里的两个方程中 , 没有一个是直接用一个未知数表示另一个未知数的形式 , 这时怎么办呢 ? 由学生观察后得出结论: 可以将方程变形成为用x来表示 y 的形式 , 即xy7, 然后再将它代入方程, 就能消去 y , 得到一个关于x的一元一次方程. 解 由得xy7. 将代入 , 得1773xx. 即5x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页将5x代入 , 得2y. 所以25yx. ( 可以在依据二元一次方程组的定义来验证得出的解是否正确.) 由上面的例题可看出 , 我们是通过“代入”消去一个未知数 , 方程转化为一元一次方程来解的 . 这种解法叫做代入消元法, 简称代入法 . 解方程组的基本思想方法就是“消元” . 例 2 把下列方程写成用含x的代数式表示 y 的形式 : (1) 0143yx；(2)0925yx分析 即将方程作适当的变形 , 把含有 y 的项放在方程的一边 , 其他的项移到方程另一边 , 再把 y 的系数化 1. 解 (1)431xy； (2)295xy. 课堂练习 : 用代入法解下列方程组 : (1)61yxxy； (2)35yxyx；(3)82332yxxy； (4)24352yxyx.四、交流反思1. 解二元一次方程组的问题可以转化为解一元一次方程的问题, 其基本的思想方法是消元 . 通过使用“代入法”可实现消元. 2. 代入法解二元一次方程组的一般步骤为: 如果方程组中有一个方程恰好是一个未知数表示另一个未知数的形式, 就可以直接把它代入另一个方程. 如果没有, 则需将其中一个方程作适当的变形后, 化为一个未知数表示另一个未知数的形式 , 再把它代入另一个方程. 这样得到一个一元一次方程. 解这个一元一次方程 , 求出一个未知数的值； 将求得的值代入前一个方程中， 求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 五、检测反馈解下列方程组 : (1)8323yxyx； (2)xyyx571734. (3)10235yxyx； (4)2.32872xyyx.六、课后反思 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页9.2 二元一次方程组的解法代入法（二）知识技能目标进一步了解代入消元法的原理和一般步骤, 能够熟练地用代入法解一般形式的二元一次方程组 . 过程性目标在进一步探讨代入法解二元一次方程组的过程中, 培养学生的数学纵向思维能力和应用数学解决实际问题的意识. 教学过程设计一、创设情境复习代入法解二元一次方程组的一般步骤. 例 1 解方程组5321yxyx. (由学生来叙述解题过程 , 教师加以板书 .) (1)选取未知数系数比较简单的方程, 作适当变形 , 转化为用一个未知数表示另一个未知数的形式, 得方程xy1；(2)将代入消去 y , 得到关于x的一元一次方程5)1 (32xx；(3)解这个一元一次方程，得2x；(4)把2x代入，得3y；(5)所以方程组的解是32yx. 二、探索归纳例 2 解方程组01083872yxyx. 观察分析此方程组与例1中的方程组在形式上的差别. 易知例 1的方程组中有未知数系数的绝对值是1的方程 , 而此例 2方程组中两个方程未知数的系数都不是 1, 这时怎么办呢 ? 能不能将其中一个方程适当变形, 用一个未知数来表示另一个未知数 ? 显然, 这个变形是能够办到的. 我们有两个办法 , 一个是某个方程两边同除以某个未知数的系数, 使这个未知数的系数化1, 化成例 1的形式； 另一个是将某个方程的某一个未知数移到方程的一边, 其他各项移到另一边 ,再把这个未知数的系数化1, 从而达到“用一个未知数来表示另一个未知数”的目的. 显然第二种方法更为直接, 因而考虑方程中各项的系数, 选择一个系数比较简单的方程 . 易见“2”比较简单 , 所以将方程中的x用 y 来表示 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页解由, 得yx274. 将代入 , 得0108)274( 3yy, 8.0y. 将8 .0y代入 , 得2 . 1x. 所以8. 02. 1yx. 说明 这里是先消去x, 得到关于 y 的一元一次方程 , 可不可以先消去y 呢?(让学生试一试 , 并比较两种解法的优劣 . 易知先消去x使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易 ). 三、实践应用课堂练习 : 解下列方程组 : (1)894132tsts； (2)025109743nmnm. 例 3 学校文化艺术节需要制作一批小红花, 某班全体同学承担了这一任务. 如果每位同学做 20 朵, 则多出 20 朵；如果每位同学做19朵，则还差 31朵. 那么这个班共有多少名同学 ? 这批任务共需要多少朵小红花? 分析 相等关系是 : 实际完成量 = 任务量 +差额. 解设这个班共有x名同学 , 这批任务共需 y 朵小红花 . 根据题意 , 得31192020yxyx, 解之, 得100051yx. 答 这个班共有 51 名同学 , 这批任务共需要 1000 朵小红花 . 四、交流反思用代入法解一般形式的二元一次方程组时, 先观察系数的特点 , 选取的原则是: 尽量选取一个未知数的系数是1 的方程；未知数的系数不是1 时，选取系数绝对值比较小的方程. 变形后的方程要代入没变形的方程, 不能将它代入变形前的方程 . 运算的结果要进行检验 . 五、检测反馈1. 把下列各方程变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式. (1) 14yx； (2)015105yx. 2. 解下列方程组：(1)1723642yxyx； (2)235253yxxy；(3)153732yxyx； (4)2343553yxyx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页3. 某校师生乘汽车春游 , 如果每车坐 50 人, 则刚好坐满；如果每车坐 60 人，则余下一辆车且还多出40 个座位 . 求该校参加春游的人数和汽车的辆数. 六、课后反思 : 9.2 用加减法解二元一次方程组（一）知识技能目标1. 会阐述用加减法解二元一次方程组的基本思路：通过“加减”达到“消元”的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程；2. 会用加减法解简单的二元一次方程组过程性目标1. 让学生在运用已掌握的方法解二元一次方程组时，体会到代入法的不足， 引发寻找新方法的意愿2. 在探究的过程中，获得用加减法解二元一次方程组的初步经验教学过程一、创设情境我们知道解二元一次方程组的关键是“消元”，那对于方程组该如何进行消元呢？哪种是最简便的方法呢（组织学生进行讨论）？结论 较简便方法是把 (2) 变形为 3x=23 + 4 y (3) ，再把 (3) 代入(1) 直接消去“3x” 想一想，还有其它方法可以直接消去“3x”吗？二、探索归纳看一看：上述方程组中，未知数x 的系数有何特征？做一做：把两个方程的左边与左边相减，右边与右边相减你得到了什么结果？ 9y = 18 , (消去了未知数 x，达到了消元的目的 ) y = 2. 把 y = 2 代入（ 1） ，得 3x5( 2) = 5, x = 5. 25yx所以. 从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新的解法吗？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 25 页三、巩固应用例 1解方程组：)2(.574)1(,973yxyx看一看： y的系数有什么特点？想一想：先消去哪一个比较方便呢？用什么方法来消去这个未知数呢？解 (1)+(2) 得, 7x = 14, x = 2. 把 x = 2 代入（ 1）得, 6 + 7y = 9, 7y = 3, .73y732yx所以当方程组中同一未知数的系数互为相反数时，我们可以把两方程相加， 从而达到消元的目的 那当方程组中同一未知数的系数相等时，如何达到消元的目的呢？例 2 解方程组：)2(73) 1(732yxyx解 (1) (2) 得，x = 14把 x = 14 代入(1) 得，y=7归纳 将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解这种解法叫做 加减消元法 ，简称 加减法例 3 解方程组：分析 注意到两方程中有相同的项，也有互为相反数的项，所以只要把两方程相加或相减，即可达到消元的目的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页解 (1)+(2) 得，103131xxx = 16 (2)-(1)得，34242yyy = 6 616yx所以练习解下列方程组：3521135. 0.41976576.31464534.21375.1yxyxyxyxyxyxyxyx四、交流反思用加减法消元的关键是根据方程组中同一未知数的系数的某种特点灵活消元；加减法、代入法都是解二元一次方程组的基本方法，虽然消元的途径不同，但是它们的目的相同，即把“二元”转化为“一元”，可谓“异曲同工”五、检测反馈一、解下列方程组：73732.22451915419.1yxyxyxyx51072107.03.41232634.3xyxyyxyx.23213523的值、的解，试求是方程组已知二baaybxbyaxyx、六、课后反思 : 9.2 用加减法解二元一次方程组（二）知识技能目标1. 能熟练、灵活地运用加减法解一般形式的二元一次方程组；2. 会把比较复杂的方程组化简成一般形式的方程组，并能熟练地求解过程性目标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 25 页1. 让学生在学习的过程中主动寻找解题的方法，提高学生解决问题， 获取知识的能力；2. 通过探求二元一次方程组的解法，体会消元的思想， 使学生会把复杂问题转化为简单问题来处理；3. 培养学生一题多解的能力，增进学好数学的自信心教学过程一、创设情境下列各方程组， 你觉得用哪一种方法消元较恰当呢？并说说你的理由（学生讨论） .8422048)3(;48252)2(;84252) 1(yxyxxyxyyxyx在求上述三个方程组的解时，你发现了什么？看一看：这三个方程组之间有联系吗？有怎样的内在联系？二、探索归纳上述问题只要根据等式的基本性质，方程组(1) 的两个方程变形成用x 的代数式表示 y 的形式，就是方程组 (2) ；方程组 (1) 的方程“ 2x y = 5”两边乘以 4就是方程组 (3) 你能构造出与方程组10431529yxyx解相同的方程组吗？请举例.答 可以构造许多与原方程组的解相同的方程组，如301291529yxyx等等.现在你会求解方程组10431529yxyx吗？通过上面问题的讨论， 实质是让学生参与新问题 对于相同未知数的系数的绝对值不相等的方程组如何用加减法来解的研究，并且开放式的问题有利于培养学生灵活、多角度的思维习惯三、巩固应用例 解方程组：)2(4265) 1(1043yxyx方法一：利用加减消元法消去未知数y解(1)3，(2)2 得，)4(841210)3(30129yxyx( 3)+( 4) 得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 25 页19x = 114，x = 6把 x = 6 代入( 2)得，30 + 6y = 42，y = 2所以26yx方法二：利用加减消元法消去未知数x解( 1) 5，( 2)3，得)4(1261815)3(502015yxyx( 4) -( 3)得38y = 76 y = 2 把 y=2 代入( 2) 得5x + 12=42 x = 6 所以26yx现在请你和你的同桌分别用加减法和代入法来解下面方程组,比较一下谁的方法更方便？解方程组01083872yxyx通过交流让学生体会到学习加减法必要性，进一步感受到用加减法解二元一次方程组的基本思路是：通过“加减” ，达到化“二元”为“一元”，即消元的目的你能说说用加减法解二元一次方程组的一般步骤是什么？一般步骤是：(1) 方程组的两个方程中， 如果同一未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；(2) 把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3) 解这个一元一次方程；(4) 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解练习解下列方程组：575832. 410073203. 3751424. 21732623. 1xyyxyxyxyxyxyxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 25 页四、交流反思你觉得用加减法解方程组时要注意些什么？你能说出用加减法解二元一次方程组的一般步骤吗？通过学习你觉得加减法和代入法有何异同点？与学生共同总结出两种方法实质是相同的即消元，只是消元的途径不同五、检测反馈一解下列方程组：73482.40100730203.363402.218223.1yxxyyxyxbabayxyx）原方程组的解（的值；）试求：（写成了相反数，解得乙将一个方程中的；，解得甲解题时看错了）（）（组甲、乙两位同学解方程二2,1112325311bayxbyxabyxbyax六、课后反思 : 9.3 二元一次方程组的应用（一）知识技能目标1. 会找出简单问题中的相等关系，从而列出二元一次方程组解简单的实际问题；2. 培养学生用数学知识来解决实际问题的能力过程性目标1. 让学生在掌握了二元一次方程组的解法后，再次体验二元一次方程组与现实生活的联系和作用2. 有的实际问题既可以用列一元一次方程也可以列二元一次方程组解，让学生从中体会它们之间的联系和区别教学过程一、创设情境情境 1：小军买了 80 分与 2 元的邮票共 16 枚，花了 18 元 8 角你知道小军 80分与 2 元的邮票各买了多少枚？这是一个大家熟悉的购物问题，你会用所学到的知识来解决吗(学生讨论 )？解 设 80 分的邮票买了 x 枚，则 2 元的邮票买了 (16x)枚根据题意得 0.8x + 2 (16 - x) = 18.8 解这个方程得 x = 11 16x = 5.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 25 页答 小军买了 80 分的邮票 11 枚, 买了 2 元的邮票 5 枚.那如果设小军买了80 分的邮票x 枚，2 元的邮票 y 枚呢，如何来解呢？二、探索归纳引导学生发现两种面值的邮票的数量与数量之间、总价与总价之间的相等关系. 考虑它们有什么样的相等关系呢？在上述问题中数量与数量之间的相等关系：x + y = 16总价与总价之间的相等关系：0.8x + 2y = 18.8根据题意从而列出方程组，8.1828. 016yxyx511yx解这个方程组得答 小军买了 80 分的邮票 11 枚, 买了 2 元的邮票 5 枚. 我们可以发现在实际问题中， 都存在着一些等量关系， 因此我们可借助列方程或方程组的方法来处理这些问题. 情景 2：大马和小马驮着物品在途中有一段对话P73 分析：大马的两句话， 说出了两个等量关系： 大马驮的包数与小马驮的包数三、巩固应用例 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140 吨，准备加工后上市销售该公司的加工能力是：每天可以精加工6 吨或者粗加工 16吨现计划用 15 天完成加工任务， 该公司应安排几天粗加工， 几天精加工， 才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为 1000 元，精加工后为 2000 元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？分析 问题的关键是先解答前一半问题， 即先求出安排精加工和粗加工的天数 我们不妨用列方程组的方法来解答抓住“计划用15 天完成加工任务”和“收购到某种蔬菜共 140 吨”这两个数量关系建立二元一次方程组解 设应安排 x 天精加工， y 天粗加工，14016615yxyx根据题意得，510yx解这个方程组得.出售这些加工后的蔬菜一共可获利，200061010165200000元答 应安排 10 天精加工， 5 天粗加工，加工后出售共可获利200000元. 处理这些实际问题的过程可以进一步概括为：练习122 名工人按定额完成了1400 件产品，其中三级工每人定额200 件，二级工每人定额 50 件若这 22 名工人中只有二级工与三级工问二级工与三级工各有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 25 页多少名 ? 2. 为改善富春河的周围环境, 县政府决定 , 将该河上游 A 地的一部分牧场改为林场, 预计林场和牧场共有162 公顷, 牧场面积是林场面积的20%.请你算一算 , 完成后林场、牧场的面积各为多少公顷？四、交流反思列二元一次方程组和列一元一次方程解同一个实际问题，是用两种不同的表达形式揭示了问题中的相等关系；反过来，求解实际问题的实质是把问题中的相等关系翻译成数学表达式， 从而把实际问题转化为数学问题. 学习各类实际问题 ,不仅要熟悉各类问题的基本数量关系, 而且还要弄清各类问题之间的本质联系. 五、检测反馈1某船的载重为260吨，容积为 1000 立方米. 现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8 立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，若要充分利用这艘船的载重与容积， 甲、 乙两种货物应各装多少吨 （设装运货物时无任何空隙） ？2第一小组的同学分铅笔若干枝. 若其中有 4 人每人各取 4 枝, 其余的人每人取3 枝, 则还剩 16枝；若有 1 人只取 2 枝，则其余的人恰好每人各可得6 枝，问同学有多少人？铅笔有多少枝？3有一批机器零件共418 个，若甲先做 2 天，乙再加入合作，则再做2 天可超产 2 个；若乙先做 3 天，然后两人再共做2 天，则还有 8 个未完成 . 问甲、乙两人每天各做多少个零件？4. 某厂第二车间的人数比第一车间的人数的54少 30 人. 如果从第一车间调10 人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间的43. 问这两个车间各有多少人？六、课后反思 : 9.3 二元一次方程组的应用（二）知识技能目标1. 通过对实际问题的探索与解决, 逐步形成结合具体事例情境发现, 提出数学问题的能力；2. 学会用二元一次方程组解决简单的实际问题. 过程性目标1. 通过学生积极思考、 互相讨论，经历探索事物之间的数量关系， 形成方程模型，解方程和运用方程解决实际问题的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型；2. 通过在解决实际问题的过程中同伴之间的讨论、交流与合作，体会与他人合作的重要性，逐步形成积极参与讨论、 敢于发表见解并尊重与理解他人见解的合作意识精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 25 页教学过程一、创设情境1. 通过前面的学习 , 你能说出列二元一次方程组解决实际问题的步骤吗?其中什么是关键 ? 2. 请同学们阅读教科书第76 页例题 2. 二、探究归纳请同学们独立思考 , 试解上面的问题 , 然后与你的同伴讨论、 交流，探索解题的方法在学生探索解题方法的过程中， 教师要鼓励学生多角度地思考， 只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励鼓励学生进行质问和大胆创新学生有困难，教师可加以引导：学生解答完成后追问：两个相等关系分别是三、实践应用四交流反思通过上面对实际问题的探索与解决，你有什么感受吗？(1) 认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用；(2) 每个实际问题的解决，都要经历“问题情境建立模型求解解释与应用”的基本过程(3) 面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学的知识和方法寻求解决问题的策略，自主探索与同伴合作讨论、交流是学习数学的重要方式五检测反馈1. 教科书第 77 页练习第 1，2 题2. 拓展练习：某服装厂计划生产某款运动服, 已知每卷布料可做上装200件或裤子 300条,一件上装与一条裤子为一套, 仓库现有这种布料12 卷, 请你设计一个方案 , 分配给生产上装的车间和生产裤子的车间各几卷布料. 要求： 分配布料时 , 每卷布料不能拆零；尽可能多地安排生产任务. 要求: 学生独立思考后与同伴讨论、交流，探索解题的方法在师生交流的基础上板书解题过程解 设分配给生产上装的车间x卷布料，分配给生产裤子的车间y 卷布料根据题意，得.30020012yxyx解这个方程组，得8. 42. 7yx由于不能拆零分配，且要配套，故选择4,6 yx答 分配给生产上装的车间6 卷布料，生产裤子的车间4 卷布料精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 25 页说明 (1) 上面是先在 12 卷布全部用完的情况下讨论该问题的，由于不能拆零且生产产品要配套，所以只能取满足yx300200，则x:3y: 2 的最接近8.4,2.7yx的整数值；(2) 如果可以拆零分配，原方程组的解8.42 .7yx就符合题意了3. 教科书第 77 页习题 14 题六、课后反思 : 9.4 二元一次方程和两个数量之间的对应关系知识技能目标1. 使学生对二元一次方程的解，二元一次方程组的解有进一步理解，；2. 从对应关系角度认识二元一次方程，了解二元一次方程的本质。过程性目标1. 在经历归纳本章的知识要点和复习练习过程中，体会把“二元”转化为“一元”的消元思想，进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法；2. 通过对实际问题的探索与解决， 使学生再次体验二元一次方程组与现实生活的联系和作用教学过程一、创设情境问题：甲、乙两个有理数之和等于15，求这两个数 . 如果设甲数为 x，乙数为 y，则有 x+y=15.这是一个二元一次方程。将这个方程改写为 y=15-x. 当 x 取任意一个有理数时，根据这个关系，就可以确定出 y 的一个对应数值。如：x -15 -9 -3 120 1 2 10310 15 100 y=15-x 30 24 18 31215 14 13 3135 0 -85 可以看出，一个二元一次方程，实际上确定了两个数量之间的一种对应关系，两个量的每一对对应的数值，都是这个二元一次方程的一个解。如上表中的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 25 页10,15,9,0,100,330;24;15;3185;3xxxxxyyyyyL容易看出， x+y=15有无数多个解。二探索归纳(一)由二元一次方程确定的两个数量之间的对应关系例 1 已知二元一次方程 3x2y6. (1) 找出它的 5 个解. (2) 写出 x 分别 2,12,10 取时,y 所对应的值 . 解:(1) x 0 1 3 6 50 362xy-3 32326 72 即:1,3,0,6,50,333;6;72;22xxxxxyyyyy都是这个二元一次方程的解. (2) x -2 1210 362xy-6 9412 即当 x=-2 时,y=-6; 当 x=12时,y=94; 当 x=10 时,y=12; ( 二) 从两个数量之间对应关系的角度, 寻求二元一次方程组的解 . 对于一个二元一次方程组, 我们可以从两个数量之间的对应关系来寻求它的解.如方程组7326xyxy可变形为7362yxxy列表, 求对应值x -5 -2 0 2 3 4 5 10 y=7-x 12 9 7 5 4 3 2 -3 362xy212-6 -3 0 323 9212 可以看出 , 当 x=4时, 同时有 y=7-x=3,362xy=3.即 x=4,y=3 同时满足两精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 25 页个方程 , 所以. 方程组的解为43xy. 三、实践应用例 2 一个三位数 , 十位数字是1, 百位数字与各位数字之和等于8; 如果将这个三位数的百位数字与是为数字互换位置, 那么新的三位数比原三位数大198. 求这个三位数 . 解: 设这个三位数的百位数字为x, 个位数字为 y. 依题意得8,(10010)(10010)198,xyyxxy即8,9999198,xyyx也就是8,2.yxyx列表 (注意 x 是小于 10 的正整数 ,y 是小于 10 的自然数 ) x 1 2 3 4 5 6 7 y=8-x 7 6 5 4 3 2 1 y=2+x 3 4 5 6 7 8 9 当 x=3 时,同时有 y=8-x=5 和 y=2+x=5. 所以方程组的解35xy答: 这个三位数是 315. 练习P82 练习, 作业 P82 习题 2,3 四、交流反思五、检测反馈2. 习题 1,4 六课后反思单元复习（一）知识技能目标1. 使学生对二元一次方程， 二元一次方程的解， 二元一次方程组以及二元一次方程组的解有进一步理解，能熟练准确地用代入法和加减法解二元一次方程组；2. 能较熟练地列出一次方程组解简单的应用题过程性目标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 25 页1. 在经历归纳本章的知识要点和复习练习过程中，体会把“二元”转化为“一元”的消元思想，进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法；2. 通过对实际问题的探索与解决， 使学生再次体验二元一次方程组与现实生活的联系和作用教学过程一、创设情境本章我们学习了二元一次方程， 二元一次方程的解， 二元一次方程组以及二元一次方程组的解和一次方程组的应用通过今天的复习， 相信同学们对本章的知识有更系统，更深刻的理解二探索归纳归纳知识结构：在归纳知识结构的过程中 , 同时复习相关的知识要点， 什么叫二元一次方程，二元一次方程的解， 什么叫二元一次方程组， 二元一次方程组的解等概念，且使学生再次体验以下几个要点: (1) 在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题. (2) 二元一次方程组的解法较多，但它的基本思想都是消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代入法和加减法. 一个方程组用什么方法来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定. (3) 通过列方程组来解实际问题，要注意检验和正确作答，检验不仅要检验求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求 . 三、实践应用以下例题采取学生先练习， 然后教师讲评， 也可以采取师生共同完成的方法进行教学 . 例 1 求二元一次方程103yx的正整数解 . 分析 求二元一次方程的解的方法通常是用一个未知数表示另一未知数，如xy310，然后先给定x一个值，求出 y 的一个对应值，就可得到二元一次方程的一个解，而此题对未知数x、 y 作了限制必须是正整数解 由,103yx得xy310当1x时，71310y；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 25 页当2x时，42310y；当3x时，13310y所以，二元一次方程103yx的正整数解为134271yxyxyx例 2 已知034)43(2yxyx，求x、y的值分析 本题求x、 y 的值，先根据条件得到一个关于x、 y 的方程组，再求出x、y的值，由于一个数的平方是非负数，一个数的绝对值也是非负数；两个非负数的和为零就只能是每个数都是零，因此原方程就转化为方程组.034043yxyx解034)43(2yxyx，2)43(yx0，34yx0，所以，. 034043yxyx解这个方程组，得.11yx答.1, 1 yx例 3 方程组52243ybaxyx与方程组5243yxbyxa有相同的解，求a、 b 的值分析 本题两个方程组有相同的解，可以将两个方程组中的四个方程重新组合，先得到方程组52243yxyx求其解，得出x、 y 的值，再把x、 y 的值代入方程组4352byxaybax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 25 页得到一个关于a、 b 的方程组，求出a、b 的值（解答过程略答案.2,3ba）例 4 A、B 两地相距 150 千米，甲、乙两车分别从A、B 两地同时出发，同向而行, 甲车 3 小时可追上乙车；相向而行，两车1.5 小时相遇，求甲、乙两车的速度分析 这里有两个未知数：甲、乙两车的速度；有两个相等的关系： (1)同向而行：甲车 3 小时的行程 =乙车 3 小时的行程 +150 千米； (2)相向而行：甲车 1.5 小时的行程 +乙车 1.5 小时的行程 =150 千米解 设甲车的速度为x千米/ 小时，乙车的速度为y 千米/ 小时根据题意，得.1505.15. 115033yxyx解这个方程组得.2575yx答 甲车的速度为 75 千米/ 小时，乙车的速度为25 千米/ 小时课堂练习：(1) 已知21yx是方程组352nymxmxn的解，求nm和的值(2) 若单项式1)2(3)3(2232yxxybaba与是同类项，求x和y的值(3) 已知方程组8442yxmyx的解是正整数，求m的值(4) 甲、 乙两人同时绕m400的环形跑道行走，如果他们同时从同一起点背向而行，2 分 30 秒首次相遇；如果他们同时由同一起点同向而行12 分 30 秒首次相遇，求甲、乙二人每分钟各走多少米？四、交流反思1. 小组交流上面练习的完成情况，评判正误；2. 列一次方程组解应用题， 关键是寻找相等关系， 设几个求知数， 就要找出几个相等关系，并把这些相等关系转化为方程组五、检测反馈1. 填空：(1) 在432xy中，如果5.1x，那么_y；如果0y，那么_x；(2) 由523yx，得到用x表示 y 的式子为_y2. 解下列方程组：(1); 23,16133yxyx(2);4147,022yxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 25 页(3); 245,1443stst(4); 4. 023, 2.1565yxyx(5);1553,8 .492nmym(6).122943,32321yxyx3. A、B 两地相距 36 千米，甲从 A 地出发步行到 B 地，乙从 B 地出发步行到 A地， 两人同时出发，4 小时后相遇；6 小时后，甲所余路程为乙所余路程的2 倍 求两人的速度4. 今年，小李的年龄是他爷爷的51小李发现， 12 年之后，他的年龄变成爷爷的31试求出今年小李的年龄5. 两块试验田去年共产花生470 千克，改用良种后， 今年共产花生 523 千克已知其中第一块田的产量比去年增产16，第二块田的产量比去年增产10这两块田改用良种前每块田产量分别是多少千克？今年每块田各增产多少千克？六、课后反思 : 单元复习（二）知识技能目标1. 系统掌握二元一次方程组的概念及解法；2. 能较熟练地用二元一次方程组的知识解决实际问题过程性目标通过积极参与探索解决实际问题的过程中，体会相应的数学思想， 数学与现实生活的紧密联系， 不断培养学生的理解能力， 分析能力和逻辑推理能力以及培养创造思维、用数学的意识教学过程一、创设情境通过前面的学习，我们请一位同学来小结一下列二元一次方程组来解决实际问题的一般步骤有哪些？其中的关键步骤又是什么？二、探索归纳以下例题采取学生先练习， 然后教师讲评， 也可以采取师生共同完成的方法进行教学 . 例 1 方程组2242062ymxbyax的解应为,108yx但是由于看错了系数m，而得到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 25 页的解为,611yx求mba的值解 因为,108yx是方程组)2(22420) 1(62ymxbyax的解所以，把,108yx分别代入方程组中的每一个方程，得)4(2242008)3(62108mba由(4) 得3m，又因为,611yx只是方程 (1) 的解，所以，有)5(62611ba解由(3) ，(5) 组成的方程组6261162108baba得.34ba所以，4334mba. 例 2 某旅行团从甲地到乙地游览甲、乙两地相距100 千米，团中的一部分人乘车先行， 余下的人步行， 先坐车的人到中途某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速是8 千米/ 时，汽车的速度是40 千米/ 时，问要使大家在下午 4: 00 同时到达乙地，必须在什么时候出发？分析 这个问题实质上求的是如果按题设的行走方式，至少需要多少个小时？( 本题比较复杂，可引导学生用线路图帮助分析找出等量关系) (1) 汽车从 A 到 B 到 D 所需的时间 =先步行的一部分人从A 到 D 所需的时间；(2) 汽车从 B 到 D 到 C 所需的时间 =后步行的一部分人从B 到 C 所需的时间解 设先坐车的一部分人下车地点距甲地x 千米，这一部分人下车地点距另一部分人的上车地点相距y 千米，由题意，得8100401002840xxyyxyx化简得2002032yxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 25 页解之得5075yx58751004075810040xx答 要使大家在下午 4: 00 同时到达乙地，必须上午11: 00 出发说明 当直接设元不易列出方程时，应采用间接设元来列方程例 3 某商场以每件a元购进一种服装， 如果规定以每件 b 元卖出，平均每天卖出15 件，30 天共获利润 22500元，为了尽快回收资金，商场决定将每件降价%20卖出，结果平均每天比降价前多卖出10 件，这样 30 天仍可获利润 22500 元，试求a、b 的值分析 本题要求a、b 的值，只要根据条件列出一个关于a、b的二元一次方程组，题中的相等关系为“降价前每件售价与进价的差乘以降价前售出的件数=利润” ；“降价后每件售价与进价的差乘以降价后售出的件数=利润” ；“降价后售价 =降价前售价%)201(” ； “降价后每天售出的件数=降价前每天售出的件数+10” 利用这些关系可表示相应量并列出关于a、 b 的方程组解 根据题意，得.2250030)1015(%)201(225003015)(abab解这个方程组，得.10050ba答.100,50 ba三、实践应用课堂练习： (先独立研究，而后交流对有困难的学生，教师可加以引导) 1. 已知方程组)2(24) 1(155byxyax由于甲看错了方程(1) 中a得到方程组的解为13yx，乙看错了方程 (2) 中 b 得到方程组的解为45yx，若按正确的a、b来解，则方程组的解应为_. 2. 某个体商贩在一次买卖中同时卖出2 件上衣，每件都以 135元出售，按成本核算，其中一件盈利25% ，另一件亏本 25% ，试猜想：(1) 在这一次买卖中，是赚是赔，还是不赚不赔？(2) 若将题中的 135 元改成任何正数a，情况如何？(3) 若将题中的 135 元改成任何正数a，再将题中的%25改写成%m(0m10) 情况又如何？(4) 若将每件上衣都以a元出售，一件盈利 20% ， 那么另一件至多亏本百分之几才可以保证这个商贩在这次买卖中不亏本？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 25 页四、交流反思1. 全班交流上面的练习情况，评判正误2. 通过上面实际问题的探索与研究， 使我们又一次体会到数学与现实生活的紧密联系，而方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型五、检测反馈1. 小明与他的爸爸一起做投篮球游戏两人商定规则为：小明投中1 个得 3 分，小明爸爸投中 1 个得 1 分结果两人一共投中了20 个，一计算，发现两人的得分恰好相等你能告诉我，他们两人各投中几个吗？2. 某检测站要在规定时间内检测一批仪器，原计划每天检测30 台这种仪器，则在规定时间内只能检测完总数的54；现在每天实际检测40 台，结果不但比原计划提前了一天完成任务，还可以多检测25 台问规定时间是多少天？这批仪器共多少台？3. 客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长 150米，货车长 250 米，如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需10 秒钟；如果客车从后面追上货车，那么从客车车头追上货车车尾到客车车尾离开货车车头共需1 分40 秒求两车的速度4. 甲、乙两人同时加工一批零件， 前 3 小时两人共加工 126 件，后 5 小时甲先化了 1 小时修理工具，因此甲每小时比以前多加工10 件，结果在后一段时间内，甲比乙多加工了 10 件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？5. 二果问价（源于我国古代算书四元玉鉴） ：九百九十九文钱甜果苦果买一千甜果九个十一文苦果七个四文钱试问甜苦果几个又问各该几个钱6. 李老师去一家文具店给美术小组的30 名同学买铅笔和橡皮， 到了商店后发现，按商店规定，如果给全组每人都买2 枝铅笔和 1 块橡皮，那么要按零售价计算，共需付 30 元；如果给全组每人都买3 枝铅笔和 2 块橡皮，那么可以按批发价计算，共需付 40.50元，已知铅笔每枝批发价比零售价低0.05 元，橡皮每块批发价比零售价低 0.10 元这家文具店每枝铅笔和每块橡皮的批发价是多少元？7. 一张方桌由 1 个桌面，4 条桌腿组成 如果 1 立方米木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿 300 条，现有 5 立方米木料， 那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？六、课后反思 :精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 25 页