第2讲动量守恒定律的综合运用动量守恒定律是力学中一个特别重要的规律，它往往与其他各部分知识综合应用，试题难度较大，综合性较强，要求考生具有较高的综合分析能力和熟练应用数学知识处理物理问题的能力智浪教育-普惠英才文库考点1动量守恒与平抛运动的综合图 621【例1】如图 621 所示，一个质量为 m 的玩具青蛙，蹲在质量为 M 的小车的细杆上，小车放在光滑的水平桌面上若车长为 L，细杆高为 h，且位于小车的中点，试求玩具青蛙至多以多大的水平速度跳出，才能落到车面上？思路点拨：青蛙与车组成的系统水平方向动量守恒(反冲运动)，青蛙跳出后做平抛运动，车做匀速直线运动，在水平方向上两者反向运动，要使青蛙能落到车面上，当青智浪教育-普惠英才文库答题规范解：设青蛙起跳的水平速度为v，青蛙起跳后的瞬间车的速度为v，对水平方向，由动量守恒定律得智浪教育-普惠英才文库考点2动量守恒与圆周运动的综合【例2】如图 622 所示，在竖直平面内，一质量为 M的木制小球(可视为质点)悬挂于 O 点，悬线长为 L.一质量为 m的子弹以水平速度 v0 射入木球且留在其中，子弹与木球的相互作用时间极短，可忽略不计图 622(1)求子弹和木球相互作用结束后的瞬间，它们共同速度的大小；(2)若子弹射入木球后，它们能在竖直平面内做圆周运动，v0 应为多大？智浪教育-普惠英才文库解：(1)设共同速度大小为 v，由动量守恒定律得(2)设小球在竖直平面内做圆周运动时，通过最高点的最小速度为v，根据牛顿第二定律有(mM)g(mM)v 2 L小球在竖直平面内做圆周运动的过程中机械能守恒，取小球做圆周运动的最低点所在水平面为零势能平面，有智浪教育-普惠英才文库基本特征：发生相互作用的两个物体动量守恒或在水平方向动量守恒，而且题目所求的时刻，两个物体的速度相同【例3】如图 623 所示，在光滑的水平面上有两物体m1 和 m2，其中 m2 静止，m1 以速度 v0 向 m2 运动并发生碰撞，且碰撞后黏合在一起设系统减少的动能全部转化为内能，求系统增加的内能图 623考点3动量与能量综合(类)完全非弹性碰撞智浪教育-普惠英才文库解：这是一个典型的完全非弹性碰撞问题设两物体碰撞后的共同速度大小为v，由动量守恒定律有智浪教育-普惠英才文库基本特征：相互作用的两物体所构成的系统动量守恒或水平方向动量守恒，从开始发生作用的时刻到所要求解的时刻有相同的动能【例4】如图 624 所示，在光滑的水平面上有两物体m1 和 m2，其中 m2 静止，m1 以速度 v0 向 m2 运动并发生碰撞，设碰撞中机械能的损失可忽略不计求两物体的最终速度图 624考点4动量与能量综合(类)弹性碰撞智浪教育-普惠英才文库解：这是一个典型的弹性碰撞问题两物体碰撞，设碰撞后m1 和m2 两物体的速度分别为v1和v2，由动量守恒定律有智浪教育-普惠英才文库考点5平均动量问题人船模型【例5】如图 625 所示，长为 l、质量为 M 的小船停在静水中，一个质量为 m 的人站在船头，若不计水的阻力，当人从船头走到船尾的过程中，船和人相对地面的位移各是多少？图 625智浪教育-普惠英才文库所以s1Mm解：当人从船头走到船尾的过程中，人和船组成的系统在水平方向上不受力的作用，故系统水平方向动量守恒，设某时刻人对地的速度为v2，船对地的速度为v1，则mv2Mv10在人从船头走到船尾的过程中每一时刻系统的动量均守恒，故 mv2tMv1t0，即ms2Ms10，而s1s2LmMmL，s2ML.智浪教育-普惠英才文库题组1对应考点11 有一礼花炮竖直向上发射炮弹，炮弹的质量 M 6.0 kg(内含炸药的质量可以不计)，射出的初速度 v060 m/s，若炮弹到达最高点时爆炸为沿水平方向运动的两片，其中一片的质量 m4.0 kg.现要求这一片不能落到以发射点为圆心，以 R600 m 为半径的圆周范围内(取 g10 m/s2，不计空气阻力，取地面为零势能面)求：(1)炮弹能上升的高度 H 为多少？(2)爆炸后，质量为 m 的弹片的最小速度是多大？(3)爆炸后，两弹片的最小机械能是多少？智浪教育-普惠英才文库解：(1)取地面为参考平面，由机械能守恒定律得智浪教育-普惠英才文库智浪教育-普惠英才文库题组2对应考点2智浪教育-普惠英才文库vD22R(2)子弹击中物块前的速度；(3)系统损失的机械能图 626(Mm)g(Mm)解：(1)在轨道最高点D 由牛顿第二定律有(1)物块与子弹一起刚滑上圆弧轨道 B 点的速度；智浪教育-普惠英才文库智浪教育-普惠英才文库题组3 对应考点33如图 627 所示，木块 A 和 B 的质量分别为m1和m2，固定在轻质弹簧的两端，静止于光滑的水平面上现给 A 以向右的水平速度 v0，求在两物体相互作用的过程中，弹性势能的最大值 图 627智浪教育-普惠英才文库解：木块A、B 相互作用过程中，速度相等时弹簧的弹性势能最大，设共同速度的大小为v.由动量守恒定律有智浪教育-普惠英才文库4如图 628 所示，在光滑的水平面上有一静止的光滑曲面滑块，质量为 m2.现有一大小忽略不计的小球，质量为 m1，以速度 v0 冲向滑块，并进入滑块的光滑轨道，设轨道足够高求小球在轨道上能上升的最大高度图 628智浪教育-普惠英才文库解：小球和滑块具有相同速度时，小球的上升高度最大，设共同速度的大小为v.由动量守恒定律有m1v0(m1m2)v 设小球在轨道上能上升的最大高度为h.由于水平面光滑，故小球和滑块组成的系统机械能守恒，以水平地面为零势能面，有智浪教育-普惠英才文库5如图 629 所示，在光滑的横梁上有一质量为 m2 的小车，车上用轻绳吊一质量为 m1 的小物体，现给小物体一水平初速度 v0，求小物体能上升的最大高度 h(或已知绳长为 L，求绳与竖直方向所成的最大夹角)图 629智浪教育-普惠英才文库解：车与物体具有相同速度时，物体上升的高度最大，设共同速度的大小为 v.由动量守恒定律有m1v0(m1m2)v 由于横梁光滑，故车和物体组成的系统机械能守恒，有智浪教育-普惠英才文库6如图 6210 所示，一大小可忽略不计、质量为 m1的小物体放在质量为 m2 的长木板的左端，长木板放在光滑的水平面上现让 m1 获得向右的速度 v0，若小物体最终没有从长木板上滑落，两者间的动摩擦因数为.求长木板的长度至少是多少？图 6210智浪教育-普惠英才文库解：若使小物体不从长木板上滑落，则须小物体到达长木板的右端时两者具有共同的速度设共同速度的大小为v，长木板的长度为L，由动量守恒定律有m1v0(m1m2)v由能的转化和守恒定律知，由小物体和长木板组成的系统减少的动能转化为内能，有智浪教育-普惠英才文库7如图 6211 所示，木块 A 和 B 的质量分别为 m1 和m2，固定在轻质弹簧的两端，静止于光滑的水平面上现给 A以向右的水平速度 v0，求弹簧恢复原长时两物体的速度图 6211题组4对应考点4智浪教育-普惠英才文库上述结果表明此题为周期性变化过程，弹簧恢复原长有从压缩恢复原长和从伸长恢复原长两种情况，其解依次为、式，交替出现解：设弹簧恢复原长时，m1和m2两物体的速度分别为v1和v2，由动量守恒定律有m1v0m1v1m2v2 智浪教育-普惠英才文库8如图 6212 所示，在光滑的水平面上有一静止的光滑曲面滑块，质量为 m2.现有一大小忽略不计的小球，质量为m1，以速度 v0 冲向滑块，并进入滑块的光滑轨道，设轨道足够高求小球再次回到水平面上时，两物体的速度图 6212智浪教育-普惠英才文库解：设小球再次回到水平面上时，m1 和 m2 两物体的速度分别为v1和v2，由动量守恒定律有智浪教育-普惠英才文库9如图 6213 所示，在光滑的横梁上有一质量为 m2小车，车上用轻绳吊一质量为 m1 的小物体，现给小物体一水平向右的初速度 v0，求绳子回到竖直位置时，两物体的速度图 6213智浪教育-普惠英才文库解：设绳子回到竖直位置时，m1和m2两物体的速度分别为v1和v2，由动量守恒定律有m1v0m1v1m2v2 或v1v0，v20上述结果表明此题为周期性变化过程，绳子回到竖直位置有从右向左经过和从左向右经过竖直位置两种情况，其解依次为、式，交替出现智浪教育-普惠英才文库题组5对应考点510载人气球原静止于高 h 的高空，气球质量为 M，人的质量为 m.若人沿绳梯滑至地面，则绳梯至少为多长？解：气球和人原静止于空中，说明系统所受合力为零，故人下滑过程中系统动量守恒，人着地时，绳梯至少应触及地面，因为人下滑过程中，人和气球任意时刻的动量大小都相等，所以整个过程中系统平均动量守恒若设绳梯长为l，人沿绳梯滑至地面的时间为t，由图 30 可看出，智浪教育-普惠英才文库图30智浪教育-普惠英才文库热点1动量与平抛、圆周运动综合问题【例1】(2011 年天津卷)如图 6214 所示，圆管构成的半圆形轨道竖直固定在水平地面上，轨道半径为 R，MN 为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球 A 以某一速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点 M 时与静止于该处的质量与 A 相同的小球 B 发生碰撞，碰后两球粘在一起飞出轨道，落地点距N 为 2R.重力加速度为 g，忽略圆管内径，空气阻力及各处摩擦均不计，求：智浪教育-普惠英才文库图 6214(1)黏合后的两球从飞出轨道到落地的时间 t；(2)小球 A 冲进轨道时速度 v 的大小思路点拨：先通过分析把物理情景分成几个阶段，再根据不同阶段的特点及性质运用相应的物理知识解题智浪教育-普惠英才文库答题规范解：(1)黏合后的两球飞出轨道后做平抛运动，竖直方向分运动为自由落体运动，有(2)设球A 的质量为m，碰撞前速度大小为v1，把球A 冲进轨道最低点时的重力势能定为0，由机械能守恒定律有智浪教育-普惠英才文库设碰撞后黏合在一起的两球速度大小为v2，由动量守恒定律有mv12mv2 飞出轨道后两球做平抛运动，水平方向分运动为匀速直线运动，有2Rv2t智浪教育-普惠英才文库1(2012 年广州一模)如图 6215，木板 A 静止在光滑水平面上，其左端与固定台阶相距 x.与滑块 B(可视为质点)相连的细线一端固定在 O 点水平拉直细线并给 B 一个竖直向下的初速度，当 B 到达最低点时，细线恰好被拉断，B 从 A 右端的上表面水平滑入A 与台阶碰撞无机械能损失，不计空气阻力已知A的质量为2m，B的质量为m，A、B之间动摩擦因数为；细线长为L、能承受的最大拉力为B重力的 5 倍；A足够长，B不会从 A表面滑出；重力加速度为 g.(1)求 B 的初速度大小 v0 和细线被拉断瞬间 B 的速度大小 v1.(2)A 与台阶只发生一次碰撞，求 x 满足的条件智浪教育-普惠英才文库(3)x 在满足(2)条件下，讨论 A 与台阶碰撞前瞬间的速度图 6215智浪教育-普惠英才文库智浪教育-普惠英才文库智浪教育-普惠英才文库智浪教育-普惠英才文库热点2动量与能量综合问题【例2】(2011 年全国卷)装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击通过对以下简化模型的计算可以粗略说明其原因质量为 2m、厚度为 2d 的钢板静止在水平光滑桌面上质量为 m 的子弹以某一速度垂直射向该钢板，刚好能将钢板射穿现把钢板分成厚度均为 d、质量均为 m 的相同两块，间隔一段距离水平放置，如图 6216 所示若子弹以相同的速度垂直射向第一块钢板，穿出后再射向第二块钢板，求子弹射入第二块钢板的深度设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，且两块钢板不会发生碰撞，不计重力影响智浪教育-普惠英才文库图 6216答题规范解：设子弹初速度为v0，射入厚度为2d 的钢板后，最终钢板和子弹的共同速度为v，由动量守恒定律得智浪教育-普惠英才文库智浪教育-普惠英才文库智浪教育-普惠英才文库规律总结：子弹打木块过程中，由于作用时间很短内力很大，可认为动量守恒.子弹打入木块(或者穿出)过程中摩擦力做功，系统机械能减小，减小的机械能转化为内能，不考虑子弹打木块瞬间木块与子弹势能的变化，则机械能的减少量等于系统初、末动能之差，从动量守恒和能量转化的角度来列方程.滑块在木板上滑动，如果木板放在光滑水平面上，则木板与滑块组成系统动量守恒，在相对滑动过程中摩擦力对系统做负功，损失的动能转化为内能，即Qf s相对E损.智浪教育-普惠英才文库2(2010 年湛江二模)如图 6217 所示，固定在地面上的光滑圆弧面与车 C 的上表面平滑相接，在圆弧面上有一个滑块 A，其质量为mA2 kg，在距车的水平面高 h1.25 m 处由静止下滑，车 C 的质量为 mC6 kg，在车 C 的左端有一个质量mB2 kg 的滑块 B，滑块 A与B 均可看做质点，滑块A与 B碰撞后黏合在一起共同运动，最终没有从车C上滑出，已知滑块 A、B 与车 C的动摩擦因数均为0.5，车 C 与水平地面的摩擦忽略不计取 g10 m/s2.求：如图 6217智浪教育-普惠英才文库(1)滑块 A 滑到圆弧面末端时的速度大小(2)滑块 A 与 B 碰撞后瞬间的共同速度的大小(3)车 C 的最短长度智浪教育-普惠英才文库智浪教育-普惠英才文库【例题】如图 6218 所示，带有光滑的半径为 R 的四分之一圆弧轨道的滑块静止在光滑水平面上，此滑块的质量为 M，一个质量为 m 的小球由静止从 A 点释放，当小球从滑块 B 上水平飞出时，滑块和小球的速度分别为多大？易错点系统的动量和能量守恒图 6218智浪教育-普惠英才文库错解分析：小球从A 到B 机械能守恒，设小球从B 点飞出时，小球的速度为v1，则小球和滑块组成的系统在水平方向动量守恒，设滑块的速度为v2，则Mv2mv1动量守恒过程是小球滑下来的整个过程，此过程中小球下滑则滑块反方向后退，错解的原因是把物体运动过程分为先小球下落，再动量守恒智浪教育-普惠英才文库正确解析：设小球从B 点飞出时，滑块的速度为v1，小球的速度为v2，对小球和滑块组成的系统在水平方向上由动量守恒定律有Mv1mv20 系统机械能守恒，有智浪教育-普惠英才文库1如图 6219 所示，一质量为 M 的平板车 B 放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m 的小木块 A，mM，A、B 间动摩擦因数为.现给 A 和 B 以大小相等、方向相反的初速度 v0，使 A 开始向左运动，B 开始向右运动，最后 A 不会滑离B，求：图 6219(1)A、B 最后的速度大小和方向(2)从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，平板车向右运动的位移大小智浪教育-普惠英才文库解：(1)A 刚好没有滑离B 板，表示当A 滑到B 板的最左端时，A、B 具有相同的速度，设此速度为v，A 和 B 的初速度的大小为v0，则根据动量守恒定律可得Mv0mv0(Mm)v解得vMmMmv0，方向向右(2)从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，木块速度为零，设平板车速度为v，由动量守恒定律得Mv0mv0Mv设这一过程平板车向右运动s，由动能定理得智浪教育-普惠英才文库1(双选，2011 年全国卷)质量为 M、内壁间距为 L 的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为 m 的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为.初始时小物块停在箱子正中间，如图 6220 所示现给小物块一水平向右的初速度 v，小物块与箱壁碰撞 N 次后恰又回到箱子正中间，并与箱子保持相对静止设碰撞都是弹性的，则整个过程中，系统损失的动能为()图 6220智浪教育-普惠英才文库答案：BD智浪教育-普惠英才文库2(2011 年新课标卷)如图 6221，A、B、C 三个木块的质量均为 m，置于光滑的水平面上，B、C 之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触而不固连将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把 B 和 C 紧连，使弹簧不能伸展，以至于 B、C 可视为一个整体现 A 以初速度 v0 沿 B、C 的连线方向朝 B 运动，与B相碰并黏合在一起以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C与 A、B 分离已知 C 离开弹簧后的速度恰为 v0.求弹簧释放的势能图 6221智浪教育-普惠英才文库智浪教育-普惠英才文库3(2011 年海南卷)一质量为 2m 的物体 P 静止于光滑水平地面上，其截面如图 6222 所示图中 ab 为粗糙的水平面，长度为 L；bc 为一光滑斜面，斜面和水平面通过与 ab 和 bc 均相切的长度可忽略的光滑圆弧连接现有一质量为 m 的木块以大小为 v0 的水平初速度从 a 点向左运动，在斜面上上升的最大高度为 h，返回后再到达 a 点前与物体 P 相对静止重力加速度为 g.求：(1)木块在 ab 段受到的摩擦力 f；(2)木块最后距 a 点的距离 s.图 6222智浪教育-普惠英才文库解：(1)设木块到达最高点时，木块和物体P 共同速度为v，两物体从开始到第一次达到共同速度过程由动量和能量守恒得mv0(m2m)v智浪教育-普惠英才文库