5.4 能量按能量按自由度自由度分配的统计规律分配的统计规律主要内容：主要内容：1. 分子的自由度分子的自由度2. 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理3. 理想气体理想气体的内能的内能以以刚性分子刚性分子（分子内原子间距离保持不变）为例（分子内原子间距离保持不变）为例自由度自由度：确定一个物体的空间位置所需要的：确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标独立坐标 数目。数目。5.4.1 分子的自由度分子的自由度双原子分子双原子分子单原子分子单原子分子平动平动自由度自由度t=3平动平动自由度自由度t=3转动转动自由度自由度r=2三原子分子三原子分子平动平动自由度自由度t=3转动转动自由度自由度r=3常温下，分子的振动自由度可以不予考虑常温下，分子的振动自由度可以不予考虑常温下，分子的振动自由度可以不予考虑常温下，分子的振动自由度可以不予考虑分子种类分子种类平动自由度平动自由度平动自由度平动自由度 t t转动自由度转动自由度转动自由度转动自由度 r r总自由度总自由度总自由度总自由度 i it tr r单原子分子单原子分子单原子分子单原子分子303刚性双原子分子刚性双原子分子刚性双原子分子刚性双原子分子325刚性三原子以上分子刚性三原子以上分子刚性三原子以上分子刚性三原子以上分子336气体分子的自由度气体分子的自由度5.4.2 能量按能量按自由度均分定理自由度均分定理自由度均分定理自由度均分定理每个平动自由度的平均平动动能为每个平动自由度的平均平动动能为每个平动自由度的平均平动动能为每个平动自由度的平均平动动能为由于沿由于沿由于沿由于沿x, y, zx, y, z三个方向运动的三个方向运动的三个方向运动的三个方向运动的概率均等概率均等概率均等概率均等，有，有，有，有在温度为在温度为T 的的平衡态平衡态下，下，物质物质(气体、液体和固体气体、液体和固体)分子的分子的每一个自由度都具有相同的每一个自由度都具有相同的平均动能平均动能，其值为，其值为这一结论称为这一结论称为能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理，简称，简称能量均分定理能量均分定理一个分子的一个分子的平均平动动能平均平动动能为为？单原子分子、刚性双原子分子、刚性多原子分子的平均单原子分子、刚性双原子分子、刚性多原子分子的平均总动能分别为总动能分别为 . .能量按自由度均分定理是能量按自由度均分定理是大量分子无规则热运动大量分子无规则热运动的能量的能量所遵从的所遵从的统计规律统计规律. . 分子的平均总动能与分子的平均总动能与自由度数自由度数有关，即有关，即 (2)(3) (1) 说明说明1) )能量分配能量分配 没有占优势的自由度没有占优势的自由度2) )注意相关注意相关“词词”的物理含义的物理含义 物质：物质： 对象无限制对象无限制 - 普遍性的一面普遍性的一面 平衡态：平衡态： 对状态的限制对状态的限制 平均动能：平均动能：平均平均-统计统计的结果的结果注注意意3) )由能均分原理可得由能均分原理可得平衡态下每个分子的平衡态下每个分子的平均总动能平均总动能4) )关于振动自由度关于振动自由度( (分子中原子之间距离的变化分子中原子之间距离的变化）5)5)一个分子的一个分子的总平均能量总平均能量每个振动自由度还具有每个振动自由度还具有kTkT/2/2的的平均势能平均势能T低于几千低于几千K 振动自由度冻结振动自由度冻结 刚性刚性T低于几十低于几十K 转动自由度冻结转动自由度冻结 只有平动只有平动6)刚性分子的平均能量只包括平均动能刚性分子的平均能量只包括平均动能气体的内能：气体的内能：气体的内能：气体的内能：包括气体中所有分子的包括气体中所有分子的包括气体中所有分子的包括气体中所有分子的热运动动能热运动动能热运动动能热运动动能、分子内、分子内、分子内、分子内原子间原子间原子间原子间振动势能振动势能振动势能振动势能、分子间、分子间、分子间、分子间相互作用势能相互作用势能相互作用势能相互作用势能的总和的总和的总和的总和. . . . 5.4.3 理想气体的理想气体的内能内能理想气体的内能：理想气体的内能：气体内所有分子的气体内所有分子的动能动能和分子内原子间和分子内原子间振动势能振动势能的总和的总和. 1mol刚性分子刚性分子组成的理想气体的内能为组成的理想气体的内能为 质量为质量为m、摩尔质量为、摩尔质量为Mmol的理想气体的内能为的理想气体的内能为应当指出，刚性分子模型只有在温度不太高（与室温相比）时与实际应当指出，刚性分子模型只有在温度不太高（与室温相比）时与实际气体较符合。温度较高时，必须考虑分子的气体较符合。温度较高时，必须考虑分子的振动自由度振动自由度。对于一定质量为对于一定质量为m的某种理想气体的某种理想气体, 内能与温度成正比且内能与温度成正比且仅是温度的仅是温度的单值函数单值函数. .(1) (2) (3) 说明说明理想气体的理想气体的内能内能与气体分子的与气体分子的自由度数自由度数有关有关, ,与与气体的气体的摩尔数摩尔数有关有关. .气体的温度发生变化气体的温度发生变化T 时，气体的内能的改变量为时，气体的内能的改变量为内能变化与过程无关内能变化与过程无关，内能是气体宏观状态的，内能是气体宏观状态的单值函数单值函数，简称为简称为态函数态函数. .例例.下列各式的物理意义分别为下列各式的物理意义分别为:(1)(2)(3)(4)(5)(6)理想气体分子每一自由度的平均能量理想气体分子每一自由度的平均能量理想气体分子的理想气体分子的平均平动动能平均平动动能自由度为自由度为i 的理想气体分子的的理想气体分子的平均动能平均动能1mol理想气体的内能理想气体的内能m/M mol理想气体的内能理想气体的内能m/M mol理想气体温度由理想气体温度由T1变化到变化到T2的的内能增量内能增量5.5 气体分子气体分子按速率分布按速率分布的统计规律的统计规律主要内容：主要内容：1. 速率分布函数速率分布函数2. 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律3. 与分子速率有关的物理量的统计平均值与分子速率有关的物理量的统计平均值4. 麦克斯韦速率分布的实验验证麦克斯韦速率分布的实验验证气体系统是由大量分子组成，气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞而各分子的速率通过碰撞不断地改变，不断地改变， 不可能逐个加以描述不可能逐个加以描述, 只能给出只能给出分子数按分子数按速率的分布速率的分布。问题的提出问题的提出分布的概念分布的概念例如例如 某班某班大学物理期末考试成绩按大学物理期末考试成绩按分数段分数段的分布情况的分布情况 速率速率v1 v2 v2 v3 vi vi +v 分子数按分子数按速率的分布速率的分布 N1 N2 Ni 分子数比率按分子数比率按速率的分布速率的分布N1/N N2/N Ni/N 例如气体分子按速率的分布例如气体分子按速率的分布Ni 就是就是分子数按速率的分布分子数按速率的分布教学班代号：某班教学班代号：某班人数：人数：29考考试试成成绩绩成绩等级成绩等级9010080897079606960（优秀）（优秀）（良好）（良好）（中等）（中等）（及格）（及格）（不及格）（不及格）人数人数13131313人人人人10101010人人人人3 3 3 3人人人人3 3 3 3人人人人0 0 0 0人人人人所占比例所占比例44.82%44.82%44.82%44.82%34.48%34.48%34.48%34.48%10.34%10.34%10.34%10.34%10.34%10.34%10.34%10.34%0.0%0.0%0.0%0.0%平均值平均值平均值平均值85.7685.7685.7685.76标准差标准差标准差标准差18.7918.7918.7918.795.5.1 速率分布函数速率分布函数 定义定义定义定义: :速率在速率在速率在速率在v附近附近附近附近单位速率区间单位速率区间内的分子数占总分子数内的分子数占总分子数内的分子数占总分子数内的分子数占总分子数的百分比称为的百分比称为的百分比称为的百分比称为速率分布函数速率分布函数速率分布函数速率分布函数， 用用用用f (v)表示表示表示表示. . . .d dN/NN/N表示单个分子速率取值在表示单个分子速率取值在表示单个分子速率取值在表示单个分子速率取值在v vv vd dv v 区间内的概率；区间内的概率；区间内的概率；区间内的概率；f f( (v v) )表示单个分子速率取值在速率表示单个分子速率取值在速率表示单个分子速率取值在速率表示单个分子速率取值在速率v v 附近附近附近附近单位速率间隔内单位速率间隔内单位速率间隔内单位速率间隔内的的的的概率概率概率概率. . . .设一定量气体设一定量气体(总分子数为总分子数为N)在给定的温度下处于在给定的温度下处于平衡态平衡态，把速率分成许多把速率分成许多相等的区间相等的区间相等的区间相等的区间，若速率分布在某一速率区间，若速率分布在某一速率区间vvdv内的分子数为内的分子数为dN，则，则dN/N表示表示分布在这一速率分布在这一速率区间内的分子区间内的分子数数占总分子数的百分比占总分子数的百分比. .5.5.2 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律1. 麦克斯韦麦克斯韦速率分布函数速率分布函数1859185918591859年麦克斯韦从年麦克斯韦从年麦克斯韦从年麦克斯韦从理论上理论上理论上理论上导出导出导出导出平衡状态下理想气体分子平衡状态下理想气体分子平衡状态下理想气体分子平衡状态下理想气体分子的的的的速率速率速率速率分布函数分布函数分布函数分布函数(1)(1)(1)(1)该该该该函函函函数数数数给给给给出出出出的的的的是是是是一一一一种种种种统统统统计计计计平平平平均均均均结结结结果果果果. . . .某某一一时时刻刻某某个个分分子子的的速速率率有有大大有有小小，是是偶偶然然的的. .但但对对大大量量分分子子的的总总体体而而言言，在在平衡态下，平衡态下，分子速率遵从分子速率遵从麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律. . (2)(2) f (v)的物理意义是：速率的物理意义是：速率的物理意义是：速率的物理意义是：速率v v 附近附近附近附近单位单位单位单位速率速率速率速率区间内的区间内的区间内的区间内的分子数分子数分子数分子数占总分子数的百分比，且满足归一化条件占总分子数的百分比，且满足归一化条件占总分子数的百分比，且满足归一化条件占总分子数的百分比，且满足归一化条件. . . .(4)(4)(4)(4)分布函数仅适用于由分布函数仅适用于由分布函数仅适用于由分布函数仅适用于由大量分子大量分子大量分子大量分子构成并处于构成并处于构成并处于构成并处于平衡状态平衡状态平衡状态平衡状态的的的的理想理想理想理想气体系统气体系统气体系统气体系统. . . .(3)(3)(3)(3)分布函数与分布函数与分布函数与分布函数与物质的种类物质的种类物质的种类物质的种类分子质量、温度分子质量、温度分子质量、温度分子质量、温度有关有关有关有关. . . . 说明说明（没考虑重力作用没考虑重力作用没考虑重力作用没考虑重力作用）2. 麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线速率分布曲线下的总面积速率分布曲线下的总面积速率分布曲线下的总面积速率分布曲线下的总面积( (速率分布函数的归一化条件速率分布函数的归一化条件速率分布函数的归一化条件速率分布函数的归一化条件) )在在v1v2区间的曲线下面积区间的曲线下面积曲线下的窄条面积元曲线下的窄条面积元函数曲线形象地反映了平衡态下理想气体分子按速率的分布情况函数曲线形象地反映了平衡态下理想气体分子按速率的分布情况. .(1)(1)当当当当v v00 和和和和v v时，时，时，时， f f( (v v) )0 0 速率速率速率速率很大很大很大很大和和和和很小很小很小很小的分子数占总的分子数占总的分子数占总的分子数占总分子数的比率都分子数的比率都分子数的比率都分子数的比率都很小很小很小很小，具有中，具有中，具有中，具有中等速率的分子数占总分子数的等速率的分子数占总分子数的等速率的分子数占总分子数的等速率的分子数占总分子数的比率却比率却比率却比率却很大很大很大很大. . . . 3. 麦克斯韦速率分布曲线的特征麦克斯韦速率分布曲线的特征(2)(2)(2)(2)分布函数存在一个极大值，与分布函数存在一个极大值，与分布函数存在一个极大值，与分布函数存在一个极大值，与极大值对应的速率极大值对应的速率极大值对应的速率极大值对应的速率称为称为称为称为最概然速率最概然速率. . 由求极值的条件由求极值的条件 可求得可求得 ( (最概然速率最概然速率最概然速率最概然速率)(3)(3)(3)(3)曲线直观地反映出曲线直观地反映出曲线直观地反映出曲线直观地反映出温度温度温度温度和和和和分子质量分子质量分子质量分子质量对速率分布的影响对速率分布的影响对速率分布的影响对速率分布的影响. . . .f (v)vOT2(T1T2m2)vf (v)ol温度温度降低降低时时, vp减小，减小，曲线变得较为曲线变得较为凸起凸起; ;l分子质量分子质量减小减小时时, , vp增大，曲线变得较为增大，曲线变得较为平坦平坦. .5.5.3 与分子速率有关的物理量的统计平均值与分子速率有关的物理量的统计平均值1. 最概然速率最概然速率2.2.平均速率平均速率与分子速率与分子速率 v 有关的任意力学量有关的任意力学量 g(v) 的统计平均值的统计平均值例如：例如：3.3.方均根速率方均根速率在相同条件在相同条件(T、m 或或Mmol相同相同)下下: 2004006008001 0001 200 v(m/s)f(v)(10-3s/m)vvp2.01.00.00讨论分子的讨论分子的碰撞次数碰撞次数用用一般三种速率一般三种速率用途用途各不相同：各不相同： 讨论分子的讨论分子的平均平动动能平均平动动能用用讨论讨论速率分布速率分布一般用一般用例例.试计算试计算27下的氧气分子的三种速率下的氧气分子的三种速率.解解:Mmol=0.032kg/mol，T=273+27=300K可见在相同温度下可见在相同温度下:注意注意气体分子的气体分子的平均速率平均速率平均速率平均速率的的数量级大概是数量级大概是102.例例.下列各式的物理意义分别为下列各式的物理意义分别为:(1)(2)(3)(4)速率在速率在v-v+dv内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比速率在速率在v-v+dv内的分子数内的分子数速率在速率在v1v2内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比速率在速率在v1v2内的分子数内的分子数速率速率介于介于v1v2之间的气体分子的之间的气体分子的平均速率平均速率的计算的计算对于对于v的某个函数的某个函数g(v)，一般地，其平均值，一般地，其平均值可以表示为可以表示为 解题思路解题思路利用麦克斯韦速率分布律处理实际问题是本章的利用麦克斯韦速率分布律处理实际问题是本章的难点与重点难点与重点，正确理解和掌握速率分布函数与麦克斯韦分布律的物理意义正确理解和掌握速率分布函数与麦克斯韦分布律的物理意义是关键是关键. .例如例如表示平衡态下，处在速率间隔表示平衡态下，处在速率间隔vvdv 内的分子数占总分内的分子数占总分子数的比率子数的比率表示平衡态下，处在速率间隔表示平衡态下，处在速率间隔vvdv 内的分子数内的分子数表示平衡态下，处在速率间隔表示平衡态下，处在速率间隔v1v2内的分子数内的分子数. . 典型的问题有以下几类：典型的问题有以下几类：1. 根据麦克斯韦分布律求在某速率区间内的分子数根据麦克斯韦分布律求在某速率区间内的分子数. .速率区速率区速率区速率区间很小时间很小时间很小时间很小时，可用，可用，可用，可用2. 已知速率分布函数，求与速率有关的任意物理量的已知速率分布函数，求与速率有关的任意物理量的统计统计平均值平均值（注意区间）（注意区间）（注意区间）（注意区间）5.5.4 麦克斯韦速率分布的实验验证麦克斯韦速率分布的实验验证 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律18591859年由麦克斯韦应用统计概念从年由麦克斯韦应用统计概念从年由麦克斯韦应用统计概念从年由麦克斯韦应用统计概念从理论上导出，由于技术条件的限制，直到理论上导出，由于技术条件的限制，直到理论上导出，由于技术条件的限制，直到理论上导出，由于技术条件的限制，直到2020世纪初才获得实世纪初才获得实世纪初才获得实世纪初才获得实验验证验验证验验证验验证. . . .19201920年，斯特恩（年，斯特恩（年，斯特恩（年，斯特恩（Stern O. 1888 1969Stern O. 1888 1969）第一次用）第一次用）第一次用）第一次用实验证实了麦克斯韦速率分布的正确性实验证实了麦克斯韦速率分布的正确性实验证实了麦克斯韦速率分布的正确性实验证实了麦克斯韦速率分布的正确性. . . . 验证麦克斯韦速率分布的实验装置及数据验证麦克斯韦速率分布的实验装置及数据例例 就质量而言，空气是由就质量而言，空气是由76%的的N2，23%的的O2和和1%的的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩。空气的摩尔质量为尔质量为28.9 10-3kg，试计算，试计算1mol空气在标准状态下的空气在标准状态下的内能内能。解：解： 在空气中在空气中N2质量质量摩尔数摩尔数O2质量质量摩尔数摩尔数Ar质量质量摩尔数摩尔数1mol空气在标准状态下的内能空气在标准状态下的内能求求0时，时，2mol的的H2和和He理想气体分子的理想气体分子的平均平动动能平均平动动能，平均总动能平均总动能和和气体的内能气体的内能各是多少各是多少? ?例例解解理想气体分子的理想气体分子的平均平动动能仅与温度有关平均平动动能仅与温度有关，因而，因而H2和和He的的平均平动动能平均平动动能为为氦气为单原子分子，氦气为单原子分子，i =3，故氦分子的，故氦分子的平均平均总动能总动能为为氦气的氦气的内能内能为为氢气分子为双原子分子，氢气分子为双原子分子，i =5，氢气分子的，氢气分子的平均总动能平均总动能为为因此氢气的因此氢气的内能内能为为质量为质量为0.1kg，温度为，温度为27的氮气，装在容积为的氮气，装在容积为0.01m3的容的容器中，容器器中，容器以以v =100ms-1速率作匀速直线运动，若容器突然速率作匀速直线运动，若容器突然停下来，定向运动的动能全部转化为分子热运动的内能停下来，定向运动的动能全部转化为分子热运动的内能. .例例平衡后氮气的温度和压强各增加多少？平衡后氮气的温度和压强各增加多少？求求当容器突然停下来，定向运动的动能转化为分子热运动的内当容器突然停下来，定向运动的动能转化为分子热运动的内能，使气体的温度升高，如果容器体积不变，气体的压强将能，使气体的温度升高，如果容器体积不变，气体的压强将会增大会增大. .解解常温下，氮气可视为刚性双原子分子，则质量常温下，氮气可视为刚性双原子分子，则质量m的氮气的内的氮气的内能为能为当温度改变当温度改变T 时，内能的增量为时，内能的增量为当系统定向运动的动能全部转化为分子热运动的内能时，有当系统定向运动的动能全部转化为分子热运动的内能时，有则系统温度的变化为则系统温度的变化为容器停止后气体体积不变，由状态方程容器停止后气体体积不变，由状态方程 可得到氮气压强的变化可得到氮气压强的变化思考题思考题: 容器作匀速直线运动时容器作匀速直线运动时,气体的内能改变吗气体的内能改变吗 (为什么为什么?)例例. .图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率分布曲线，图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率分布曲线，试问（试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？对应的是氧气，哪条对应的是氢气？解：解：(1) T1 T2(2) 红：氧红：氧 兰兰：氢：氢f(v)vT1T2(1)由由 确定常数确定常数C. .(2)求粒子的平均速率和方均根求粒子的平均速率和方均根速率速率. .求求解解(1)由由f(v)与与v 的函数曲线可知的函数曲线可知 由速率分布函数由速率分布函数f(v)的归一化条件可确定常数的归一化条件可确定常数C。可写成可写成：所以有所以有若大量粒子的速率分布曲线如图所示（当若大量粒子的速率分布曲线如图所示（当 时，粒子数时，粒子数为零）为零）例例f(v)vv00C平均速率为平均速率为方均根速率为方均根速率为 (2)例例在在温温度度为为300K时时，空空气气中中速速率率在在 (1)vp附附近近；(2)(2)1010vp附附近近，速率区间速率区间v1m/s 内的分子数占分子总数的比率是多少？内的分子数占分子总数的比率是多少？麦克斯韦速率分布为：麦克斯韦速率分布为：解解式中式中vp 为最概然速率为最概然速率 当当T=300K时时，空气分子的，空气分子的最概然速率为最概然速率为(1)(1)在在v= vp附近，附近，v1m/s内单位速率区间的分子数占分子内单位速率区间的分子数占分子总数的比率为总数的比率为(2)在在v= 10vp 附近，附近， v1m/s 的速率区间内的分子数的速率区间内的分子数占分子总数的比率为占分子总数的比率为u105mol空气中的总分子数空气中的总分子数 N=6.021023105 ，在，在vp附近，附近，v = 1 m/s 区间内的分子数为区间内的分子数为 u 在在10vp 附近，附近， v = 1m /s 区间内的分子数为区间内的分子数为 讨论讨论分子出现在分子出现在 vp 附近的概率最大附近的概率最大速率区间较小，可用速率区间较小，可用速率区间较小，可用速率区间较小，可用有有有有0 0 平衡状态下的氧气，试计算速率在平衡状态下的氧气，试计算速率在平衡状态下的氧气，试计算速率在平衡状态下的氧气，试计算速率在300 310m/s300 310m/s区间内区间内区间内区间内氧分子数所占百分比氧分子数所占百分比氧分子数所占百分比氧分子数所占百分比. . . .例例例例解解解解其中其中其中其中